Calcul de statistique au lancer de dés de 6

Velen2066 · June 2018

Bonjour à tous

En préambule :
Je tiens d'avance à m'excuser si dans ce post vous décelez un nombre certains de fautes d'orthographe. J'ai acquis un certain vocabulaire mais ce n'était pas livré avec l'orthographe ni la grammaire :-) .
Je tiens également à préciser que je ne suis pas mathématicien, je viens ici pour demander de l'aide. J'ai fait quelques recherches postérieurement, qui n'ont pas abouti.
Mon domaine professionnel est la programmation, ce qui me donne certaines aptitudes pour la logique mais ne me demandez pas de résoudre une équation complexe :-)
Je suis également un joueur de jeu de figurine et plus particulièrement Warhammer. Peut-être que certains d'entre vous connaissent ce jeu.
Et dans ce jeu il est question de lancer des dés, plus particulièrement des dés à 6 faces (le standard). Et j'aimerais bien mettre au point un petit calculateur de probabilité afin de faire mes petits rapports de partie.
Pour résumer, j'ai l'idée (le calculateur), j'ai l'outil (la programmation). Il me manque simplement la formule magique (:D

Mon problème :

Etape 1 :
Je voudrais pouvoir calculer les probabilités d'un nombre x de réussite(s) sur un jet de n dés en sachant que, par exemple, 123 = échec & 456 = réussite.

Exemple : Je lance 7 dés à 6 faces, quelles sont mes chances d'obtenir 4 réussites en sachant que 4/5/6 équivalent à une réussite.

Etape 2 :
Je voudrais garder toutes les réussites du jet précédent et répéter le même processus que l'étape 1 en gardant les statistiques du premier jet.

Exemple : Je jette 7 dés à 6 faces, j'obtiens 4 réussites (4/5/6). Je calcule mes probabilités pour ce jet. Ensuite, je reprends tous les dés qui ont été une réussite et je les relance.
Quelles sont mes chances d'obtenir 3 réussites sur ces 4 dés en sachant que (5/6) est une réussite. Cette statistique combinée à la statistique du jet précédent.

Je voudrais répéter le même processus pour un troisième jet mais je pense que la formule serait la même. N'hésitez pas à me contredire.
Voilà, je vous ai exposé mon petit problème mathématique, si vous avez la moindre question, si je n'ai pas été assez précis, je vous invite à m'en faire part dans la discussion.
Merci beaucoup pour l'éventuelle aide que vous pourrez m'apporter.

P. · June 2018

Bref tu consideres $(X,Y)$ tel que $X\sim B(n,\frac{1}{2})$ et $Y$ sachant $X$ est de loi $ B(X,\frac{1}{3}).$ Donc si $0\leq y\leq x\leq n$ on a $$\Pr(X=x, Y=y)=\frac{n!}{(n-x!y!(x-y)!}\frac{1}{2^{n-x+y}}\frac{1}{3^{x}}.$$

Velen2066 · June 2018

Salut P.

C'est super gentil de donner une réponse si rapidement,

comme je l'ai préciser dans mon poste, je ne suis pas mathématicien, du coup je n'ai juste rien compris à la formule que tu m'as donné. Que j'aimerais comprendre justement.

Peux tu éventuellement me la décrire en m'expliquant quoi est quoi?

Merci d'avance

P. · June 2018

Si $n$ est un entier et si $0<p<1$, dire que la variable aleatoire $X$ suit la loi binomiale $B(n,p)$ est dire que pour tout entier $x$ entre 0 et $n$ alors
$$\Pr(X=x)=\frac{n!}{x!(n-x)!}p^x(1-p)^{n-x}.$$ Cette loi intervient en particulier dans le schema succes echec: si tu fais $n$ tirages undependants don't le resultat est soit $S$ avec pb $p$, soit $E$ avec probabilite $1-p$ tu obtiens des suites du style $EEESSEEESESES$ de longueur $n$ et le nombre $X$ de $S$ dans une telle suite est de loi $B(n,p).$

Velen2066 · June 2018

Je suis vraiment désolé P.

Je ne comprend pas, je viens de tester ta formule.

En lançant 6 dés et voulant 1 réussite avec une probabilité 1/2, j'obtiens -12 :-S

P. · June 2018

Si $X\sim B(6;1/2)$, alors $\Pr(X=1)=\frac{6!}{5!1!}\frac{1}{2^6}=\frac{3}{32}\neq -12.$

Velen2066 · June 2018

J'aurais 3 chances sur 32 d'obtenir une réussite en lançant 6 dés?

Il y a un truc qui m'échappe complètement dans les maths, je ne comprend jamais rien 8-)

roumegaire · June 2018

C'est la probabilité d'obtenir exactement une réussite, qui n'est pas la même que celle d'obtenir une réussite ou plus...

P. · June 2018

Bah, si tu veux au moins une reussite alors $\Pr(X\geq 1)=1-\Pr(X=0)=\frac{63}{64}.$

Velen2066 · June 2018

Je suis désole, je me rends compte que je me suis mal exprimer depuis le début.

Oui la formule que je recherche c'est pour trouver la probabilité d'obtenir au moins x réussite(s).

P. · June 2018

Alors, tu n'as plus qu'a faire des additions, pas trop dur si $n$ est petit. Si tu veux une formule generale, alors on a
$$X\sim B(n,p)\Rightarrow \Pr(X\geq x)=\frac{n!}{(x-1)!(n-x)!}\int_0^p t^{x-1}(1-t)^{n-x}dt,$$ qui se demontre en derivant de chaque cote par rapport a $p.$

Velen2066 · June 2018

Ca devient super intéressant.
Pourrait tu me montre cette formule en utilisant un cas concret.

Par exemple :

Nombre de dés lancés : 8
Minimum de réussite souhaitée : 4
Réussite sur : 4/5/6