Dénombrement

Bonjour,

On peut voir les choses de la manière suivante:
$\mathcal A =\{(k_1,k_2,...k_p) \in (\N^*)^p \mid \displaystyle{\sum_{i=1}^p k_i = n}\}$
$\mathcal B $ désigne l'ensemble des suites à $p-1$ éléments de $ \{1,2,...n-1\}$ , strictement croissantes :
$\mathcal B =\left \{(x_1,x_2,...x_{p-1}) \in \{1,2,...n-1\}^{p-1}\mid \forall i \in \{1,2,,...p-2\}\:\: x_i < x_{i+1}\right\}$
Alors: $(k_1,k_2 ...k_p) \longmapsto (k_1, k_1+k_2,....,k_1+k_2+...+k_{p-1})$ réalise une bijection de $\mathcal A$ sur $\mathcal B$.
Ainsi: $\text{Card } \mathcal A = \text{Card} \mathcal B=\displaystyle{ \binom {n-1}{p-1}}$.

Se ramener au problème précédent. Indication : $k$ est un entier positif ou nul si et seulement si $k+1$ est un entier strictement positif.

Il me semble.

En ce qui me concerne c'est sous cette forme que les combinaisons avec répétitions me sont le plus intuitives : chaque solution de l'équation $x_1+\cdots +x_p=N$ avec les $x_i\in\mathbb N$ se visualise par $N$ bulles séparées par $p-1$ signes $+$ ou encore par $N+p-1$ bulles dont on choisit d'écraser $p-1$ par un séparateur représentant un signe + :



pour $N=6$ et $p=4$.