Nombre d'ordres possibles pour une liste

Numérotons les lettres sur un mot choisi à peu près au hasard :
\[\begin{array}{cccccccccccccccccc}
\mathbf1&\mathbf2&\mathbf3&\mathbf4&\mathbf5&6&\mathbf7&8&\mathbf9&\mathbf{10}&11&\mathbf{12}&13&\mathbf{14}&15&16&17&18\\
A&A&A&A&A&B&A&B&A&A&B&A&B&A&B&B&B&B\end{array}\]Pour décrire ce mot, il suffit de se donner les emplacements (marqués en gras) correspondant à la lettre $A$, n'est-ce pas ? Autrement dit, si je te donne $\{1,2,3,4,5,7,9,10,12,14\}$, tu sais reconstituer le mot, n'est-ce pas ?

Plutôt au choix de dix emplacements parmi dix-huit.

Pour te convaincre, deux choses à faire (la première pour te convaincre toi, la deuxième pour convaincre les autres) :

• commencer par énumérer tous les mots à $2$, $3$, $4$... lettres ne comportant que des $A$ et des $B$, en fixant le nombre de $A$, et compter ; comparer au nombre de choix de ??? entiers parmi ??? ;
• écrire une preuve pour justifier qu'il y a autant de mots avec $10$ lettres $A$ et $8$ lettres $B$ que de..., puis compter le nombre de... grâce au fameux « théorème du cours » et conclure.