Nombre d'ordres possibles pour une liste — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Nombre d'ordres possibles pour une liste

Bonjour,
je ne suis pas très forte en mathématiques et je voudrais tester un programme pour une liste dans tous les ordres possibles.
Il s'agit d'une liste de 18 mots : 10 a et 8 b
AAAAAAAAAABBBBBBBB

Je souhaiterais connaitre le nombre d'ordres différents qui existe pour cette liste et surtout comment calculer ce nombre.

J'ai pensé aux factorielles (18!) et au coefficient binomiale ( 2 18) mais je ne suis pas du tout sur du résultat.

je vous remercie par avances pour vos réponses.

Réponses

  • Numérotons les lettres sur un mot choisi à peu près au hasard :
    \[\begin{array}{cccccccccccccccccc}
    \mathbf1&\mathbf2&\mathbf3&\mathbf4&\mathbf5&6&\mathbf7&8&\mathbf9&\mathbf{10}&11&\mathbf{12}&13&\mathbf{14}&15&16&17&18\\
    A&A&A&A&A&B&A&B&A&A&B&A&B&A&B&B&B&B\end{array}\]Pour décrire ce mot, il suffit de se donner les emplacements (marqués en gras) correspondant à la lettre $A$, n'est-ce pas ? Autrement dit, si je te donne $\{1,2,3,4,5,7,9,10,12,14\}$, tu sais reconstituer le mot, n'est-ce pas ?
  • Merci de votre réponse.

    Oui, en effet il faut connaitre les 10 emplacements de la lettre A.
    il faut donc ramener cela à l'ordre possible de 10 lettres parmi 18 ?
    je pense que cela est égal à : 18! / (10! x 8!) = 43758 ordres possibles
    est-ce bien correct ?
  • Plutôt au choix de dix emplacements parmi dix-huit.

    Pour te convaincre, deux choses à faire (la première pour te convaincre toi, la deuxième pour convaincre les autres) :
    • commencer par énumérer tous les mots à $2$, $3$, $4$... lettres ne comportant que des $A$ et des $B$, en fixant le nombre de $A$, et compter ; comparer au nombre de choix de ??? entiers parmi ??? ;
    • écrire une preuve pour justifier qu'il y a autant de mots avec $10$ lettres $A$ et $8$ lettres $B$ que de..., puis compter le nombre de... grâce au fameux « théorème du cours » et conclure.
  • Merci beaucoup !
    je pense avoir compris, j'ai fait le test pour des mots de 1 lettre à 3 lettres et le calcul du coefficient binomial fonctionne parfaitement !
    c'est la première fois depuis longtemps que je comprends quelque chose en maths.
    Malheureusement je ne pense pas avoir les capacités pour réaliser la démonstration mathématique.

    encore merci beaucoup !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!