Il y a un bouquin qui refait une bonne partie de l'algèbre linéaire/bilinéaire en remplaçant les espaces vectoriels par des modules, c'est Algebra An approach via module theory de Adkins et Weintraub. On y trouve notamment des résultats sur les formes bilinéaires symétriques sur les modules, ça pourrait t'intéresser.
Mathcoss liste des critères. J'en ajoute un. Il n'existe pas (ou ultra peu) de preuves "ascendantes" en maths. Donc si une preuve en peu de.lignes est possible même pour un résultat célèbre par contre il y a une chose qui est quasiment inévitable (et on peut prouver cette inevitabilite) c'est que le truc démontré est SPECTACULAIREMENT PLUS GENERAL que le résultat initialement visé qui n'en est qu'un "minuscule" corollaire. Si cet enchainement n'est pas présent les risque de faute son t proches de 100%.
De mon téléphone bloqué en Italie par une compagnie aérienne mafieuse.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
De mon téléphone bloqué en Italie par une compagnie aérienne mafieuse.
Ce message montre qu'en plus, tu as été piraté ! Ou bien que la compagnie aérienne mafieuse n'est pas compétente pour bloquer les téléphones, vu qu'il passe encore des choses suspectes.
Même si ce message est hors-mathématiques, permettez-moi de faire remarquer que lorsque je vois certains échanges j'ai l'impression de lire du Ionesco. C'est beau et terrible à la fois.
Olala j'avais oublié que mathcoss et Rémi sont dans mon hate-club (expression from fdp) pardon si j'avais su je n'aurais pas fait cette remarque (quoiqu'on puisse essayer de rire à leur blague donc c'est positif).
@alesha: qui aboutit au théorème prouvé par conquête de ses cas particuliers qui conjonctes le donnent. C'est rare (hors bien sur les théorèmes qui sont des conjonctions formelles).
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Etant de retour sur mon PC après un vol arraché violemment, je peux préciser un peu. Au doigt mouillé, je pense qu'on peut évaluer à 99% minimum les problèmes qui furent longtemps ouverts et furent fermés grace à ce que j'ai décrit ** au sein des problèmes fermés comme ça ou autrement.
** Je rappelle pour la 902387361736ième fois que tout théorème est un cas particulier d'évidence***. Et que ce qui fait qu'il est difficile, pour un énoncé X de savoir si c'est ou pas un théorème, c'est qu'il peut en être un mais TELLEMENT cas ULTRAPARTICULIER de la première évidence qu'on trouve qui le généralise que ce n'est absolument pas facile à voir, ni à sentir, et on ne sait pas dans quelle direction partir.
Un corollaire de l'info rouge est, comme je l'ai aussi dit 30268436 fois, que tout théorème non généralisable est FORCEMENT EVIDENT.
Le rapport avec ce que j'ai signalé est le suivant: soit P un théorème, longtemps resté problème ouvert. Très peu de chemin mènent à P "par en dessous" (ce que j'ai résumé en preuve ascendante), en fait même, AUCUN chemin y mène par en dessous pour la plupart. La plupart se verront "enfion résolus" par des acteurs qui ont longuement ruminé et cogité à des généralités sur le thème de P et fini par trouver une piste rouge ou noir qui y descend.
Pour faire une métaphore, ils sont montés à 4000, le problème P se situe à 1600, ils ont exploré des années durant les hauteurs entre 3500 et 4500, puis ont "enfin" réalisé à un moment (ce qui n'est pas no nplus facile) qu'ils se trouvaient "à la verticale" de P, qui est 2400m sous leur pied. Ils plongent et gagnent (ou se font mal). Toujours dans la métaphore, il n'y a pas de chemin allant de 0 à P qui ne passe pas au dessus de 3000 (par exemple), pour la plupart des P concernés. Ce phénomène ne m'a d'ailleurs pas attendu pour recevoir une publicité, tous les chercheurs savent parfaitement, en recherche sur P=NP, par exemple, que les maximums locaux, faciles à trouver, sont des leurres assez épuisants et non des indications de "bonne route".
*** un énoncé précis (parmi moult dans la même veine): pour tout théorème $P$, il existe $X$ tel que $(X\to X)\to P$ est un cas particulier d'une conjonction d'axiomes (la conjonction des $A_i$ est $\forall Y: [(A_1\to (A_2\to (....\to (A_n\to Y)..))\to Y]$) dont un cas particulier est:
En général, on abrège $\forall Y: [(A_1\to (A_2\to (....\to (A_n\to Y)..))\to Y]$ par $<<A_1$ et $A_2$ et .. et $A_n>>$, en tout cas, pour le "tout venant du monde des maths" (ie travaillant en logique classique), mais (voir autres fils), son abréviateur officiel est
$$ A_1 \otimes ...\otimes A_n $$
qui d'ailleurs est très mal choisi car il devrait s'appeler plutôt :
$$ A_1 + ... + A_n $$
et ce qui a tendance à s'appeler "officiellement" $ A_1 + ... + A_n $ devrait s'appeler
$$ inf(A_1,...,A_n)$$
( ou $sup(A_1,..,A_n)$ suivant le pôle dont on choisit de regarder les choses), mais c'est une question intralogique peu éclairante pour les matheux usuels.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
De mon téléphone à propos de ce fil: attention Yves raconte PRESQUE n'importe quoi à la zentille personne qui a posé la question (plus précisément la réponse qu'il fait ne peut être comprise QUE PAR UNE PERSONNE qui n'aurait pas ouvert le fil!!)
La formule u.v := somme_i des ui fois vi marche TOUJOURS au sens de marcher que tout matheux devine. Simplement elle est CONSTATEE en accord avec les angles droits QUE NOUS OFFRE la nature que quand le repère est orthonormé. La notion d'angle droit n'a pas de fondement mathématique direct elle arrive DONNEE par Lady Nature.
La réponse de Yves nécessite donc d'être très largement commentée si l'étudiante est entre bac-1 et bac+1 ou en premier cycle de physique. Ce qui est probable je ne connais pas grand monde qui ouvrirait son fil sinon. De mon téléphone je n'envoie pas de MP tout de suite à l'étudiante plus tard on verra il est possible que quelque professionnel du forum poste des compléments dans le fil auquel cas tout ira mieux.
@christophe c: on peut s'amuser à décréter que l'espace satisfait tous les axiomes (ou presque) de cette page: https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Hilbert, poser, si $u,v$ sont des vecteurs,
$<u,v>:=f(A,B,C)$ où $A,B,C$ sont des points tels que $\vec{AB}=u$ et $\vec{AC}=v$ et $f(A,B,C)=\frac{1}{2} (AB^2+AC^2-BC^2)$ et enfin, montrer les propriétés de cette application (bilinéarité, expression simple dans un repère orthonormé, etc).
Après, dire que les axiomes de la géométrie sont faits pour coller à ce qui est constatable expérimentalement dans le monde sensible est un peu une lapalissade. Mais de là à qualifier la notion d'angle droit de non mathématique c'est carrément exagéré.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Il existe également des caractérisations (à isométrie près) de l'espace euclidien $\left (\R^d,\sqrt{\langle \cdot \mid \cdot \rangle} \right)$ comme espace métrique: voir par exemple https://msp.org/pjm/1975/60-2/pjm-v60-n2-p16-s.pdf.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
à foys. Je comprends ta réaction et je pense sue tu comprends la mienne. J'aurais dû en écrire bien plus long pour faire passer un message "moins clair" qu'avec ce post "exagéré" si j'avais voulu satisfaire les pros et leur sensibilité (dont certains mettent carrément la physique dans les maths voire même les statistiques*).
* la partie non comptable ie l'interprétation.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
En attendant personne n'est allé documenter la réponse d'Yves. Espérons qu'Audrey ne va pas faire ses conversions d'un repère non orthonormé à un autre lors d'un prochain partiel :-D
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Au fait je voulais te remercier pour ton lien vers le pdf mais de mon téléphone je n'ai pas pu le TELECHARGER (ça buggue). Habituellement j'ai du mal à les lire mais je peux les télécharger. Je verrai d'un PC du coup. Concernant Audrey j'ai de sérieux doutes puisqu'une fois de plus j'insiste le problème n'a pas de sens sans s'être donné un produit scalaire (ou dons equivalents) D'AVANCE. La réponse de Yves SUPPOSE ce produit scalaire fixé u e fois pour toute mais comme je l'ai dit si Audrey formule sa question comme elle le fait c'est qu'elle doit probablement considérer qu'on peut en construire un (que nous appellerions , nous , "canonique", c'est à dire invariant par isomorphisme). Après bien évidemment je n'ai pas me monopole des interprétation s psychologiques des questions des étudiants!!! Je laisse la question en suspens disons.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Je commente ce fil, en particulier le débats contradictoire qui s'est installé entre Ramon Mercader et Zeitnot, intervenants réguliers dont on connait les combats idéologiques répétés.
Pour commencer, Ramon, sous couvert de dénoncer l'état désastreux du niveau des collègiens-lycéens français en maths enjolive (malgré lui?? Pas sûr... Ce n'est pas la première fois qu'il dénonce des "petites choses" alors que la situation est incommensurablement pire) exagérément la situation, et ceci est dû à une méthodologie particulière composée de deux ingrédients:
1/ il prend des exemples
2/ il s'adresse à des matheux (donc a le souci de les toucher).
Je ne commenterai pas la réponse que Zeitnot lui fait, car elle est évidemment factuellement fausse et il n'y a plus grand monde à l'ignorer en 2018.
Je commence par commenter (2). J'avais un collègue qui "croyait choquer" en dénonçant que peu d'élèves de TS savent que $\sqrt{2} / 2 $ est l'inverse de $\sqrt{2}$ et autre choses savantes de ce genre. Je lui ai dit 1000 fois d'arrêter de dénoncer des non problèmes, mais il n'a rien voulu entendre. Cette dérive survient (entre autre, pas toujours) à cause de 2 phénomènes psycho:
2.1/ une volonté inconsciente de s'aveugler (par exemple en hurlant contre un restaurant qui refuse de vous servir du dessert, on arrive à oublier qu'il a en fait explosé à cause de bouteilles de gaz ma l réglées et qu'on est tous morts). Ca défoule de hurler contre l'absence de dessert.
2.2/ la tradition devenue unanime de donner en devoir sur table des exercices déjà corrigés (à la virgule près je veux dire). Certes elle permet d'esquiver le stress du métier et le fait de ne plus servir à rien après le crash, mais elle permet aussi à leur metteur en scène quotidien de s'auto-persauder qu'ils "se passe encore quelque chose" en leur présence à leur cours de maths (le récit de Zeitnot est emblématique et cas d'école d'une certaine manière, dans sa réponse à Ramon. On a l'impression d'être devant le (l'excellent) film "sixième sens" avec Zeitnot en lieu et place de Bruce Willis qui se croit en vie).
2.3/ Bref, tout ça fait que les faiblesses dénoncées sont non seulement peu significatives du vrai problème, mais en plus offrent chaque fois à ceux qui les entendent l'option tentante de répondre "ah, ce n'est que ça? le crash?... Mouais"
Pour commenter le (1), j'ai une métaphore qui m'est revenue en discutant de ça sur la liste news du cnrs, qui m'a obligé à chercher une description du problème, d'un côté accessible à des gens déjà experts et de l'autre pas trop longue: c'est parti pourl a métaphore:
1.1/ Tant qu'on avait des machines en 16 bit ou en 32 bit, et que j'avais trouvé (en cherchant longtemps) comment prendre le pouvoir sur l'écran, et bien comme certains s'en souviennent peut-être, j'avais fait s'exécuter des machines de Turing directement dans la mémoire écran de manière à voir en live 10000000/seconde pixels changer (le ruban de la machine). Après, en 32 bits, j'avais encore quelques options revenant au même. Et puis peu à peu, mes distractions se sont éloignées de ça, on est passé au 64bits, je n'avais quasiment plus rien d'autre comme outil que les équivalents de "setpixelbit" (qui est une instruction API qui exécute 20000 opelem pour changre la couleur ... d'un pixel). Alors pour continuer de faire mes petites expériences et "voir ce qui se passe", et bien j'ai tout exécuté dans un tableau de mémoire interne et lancé parallèlement une procédure affichant aléatoirement des pixels actualisés à raison de 50000/seconde seulement. Et vu de loin, je pouvais "me faire une idée" de la scène telle que je l'aurais vue si les pixels avaient en permanence été de la bonne couleur.
1.2/ Après la disparition des maths du secondaire, et la seule question ouverte reste de savoir la part exacte de dysfonctionnement et celle de volontarisme coupable, il s'est mis en place des vitrines diverses qui fonctionnent un peu sur le même registre (à la différence très grande près que les pixels actualisés sont prémédités!!!!! ). Autrement dit, on produit des clichés (au sens équivalent à "photographique") que l'on diffuse un peu partout, et surtout qui sont relativement assez bien adaptés aux habitudes des lanceurs d'alerte: "vous dites que les élèves ne savent pas simplifier 30/20, je vous en amène un dans 2 jours qui saura", etc, etc (je passe les détails techniques, on a vu l'arnaque utilisé par Zeitnot conre Ramon dans le fil en lien, chacun peut imaginer ce que ça donne produit en quantité industrielle).
1.3/ Je formalise un peu pour extraire le mécanisme logique de ce que je raconte (mais je pense qu'avec les mots ci-dessus, beaucoup peuvent comprendre). Avant la disparition des maths, ce qui caractérisait le paysage estudiantin c'est qu'on avait un ensemble infini (imaginons un carré vert) qui était rempli. Aujourd'hui, pour diverses raisons intrapolitique, le carré est évidemment vide (disons tout rouge), mais PAR CONTRE, il y a quelques POINTS (d'aire nulle) qui sont verts, car ils correspondent aux éternels exemples pris par des lanceurs d'alerte comme Ramon. C'est pourquoi il ne faut pas tomber dans le piège des exemples choisis trop vite.
1.4/ De plus, il n'y a de toute façon pas à se fatiguer: tout le monde (de concerné) connait parfaitement la réalité (croyez bien que les enseignants de L1, L2,L3 qui se prennent les lycéens dans la figure ne sont pas des aveugles, pas plus que les enseignants de CPGE (qui reçoivent pourtant les meilleurs), mais par contre, il faut bien comprendre qu'il y en des personnes qui SE FELICITENT de ça (pour des raisons idéologiques, elles s'estiment bienfaitrices de "saboter" le capitalisme). Il y a des autocollants partout dans le métro de Paris d'ailleurs actuellement, parlant de ça (ps que pour les maths) et titrés "révolution et sabotage, allez taffer, la grève vous pénalise, mais sabotez votre travail"
Bref, on est en pleine guerre idéologique, et ça ne sert à rien de "dénoncer" le crash des maths car il est connu et peut-être encore mieux connu, par un grand nombre de gens qui le conteste car ils pensent que c'est une des manières de "tordre le cou au capitalisme". J'ai une preuve de ce que j'avance. J'ai correspondu avec un matheux célèbre que je croyais réfléchi et "au moins un peu objectif" et j'ai vu qu'il a signé 2 pétitions anti-sélection à la fac (ce qui montre que quand il m'écrivait qu'il savait pour le crash, il me roulait dans la farine).
Ce post peut paraitre confilctuel, mais j'attire l'attention sur le fait que j'ai déjà exprimé mon opinion 1000 fois et qu'il ne l'a re-assène pas une fois de plus. J'ai juste voulu placer dans son contexte ce que je voulais dire de "logico-fondationnel" à propos de la méthodologie de Ramon, consistant à ne pas prendre garde aux pixels qu'il choisit qui ont été colorés exprès en vert à beaucoup d'endroits (alors que tout le reste du carré est rouge) en prévision d'une prise de photo du problème (afin de le cacher). Pour prouver l'état de la situation actuelle, le procédé le plus simple est de m'amener les 15 premiers d'une TS lambda, je leur pose des questions INCONTESTABLEMENT et unanimement reconnue évidentes et sans piège de niveau CM1 et le pot aux rose est démasqué. Mais pour ce faire, je ne peux bien sûr pas annoncer à l'avance la teneur du test. Donc pas débattre sur un forum de ses résultats. Et je tiens le pari qui on mélange des élèves de Zeitnot aux autres, ils ne feront pas non plus illusion tout sachant développer ou autre qu'ils sont prétendus être.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
De mon téléphone ça doit être la première fois que je tente une citation par copier coller:
De Ramon:
à venir comme par exemple: "f(x)=0 donc f=0 ou x=0 "..... (1)
Danc cet exemple on voit à quel point il enjolive la situation réelle. Ce qu'il dit aurait pu être dit en 1997 à propos d'etudiants de L2 de maths (je devais sanctionner cette faute dans environ 30% des copies de L1-L2 à l'époque).
La situation d'aujourd'hui n'a rien à voir: on lit dans 80% des copies l'inférence << f(5x) = 62 donc f=62 ou 5x =62>> (2)
Mais SURTOUT: là où en 98 en 3mn on obtenait de l'étudiant même parmi les moins forts qu'il se tape la tête de colere contre lui même face à son (1), actuellement on peut devoir guerroyer 40mn (c'est du vécu) face à un groupe entier de TS spécialité face à (2) qui n'en démordra pas répétant jusqu'à plus soif "mais msieur c'est la règle du produit".
Autrement dit Ramon n'a pas réussi à mettre de côté ses connaissances et le "=0" lui a échappé. Il ne fait pourtant aucun doute qu'il voulait DENONCER l'État des lieux.
En gros ce qui s'est perdu ce n'est pas le niveau (il est devenu négatif et non pas bas) c'est CE QUE SONT les maths. A force d'asséner le trucage "dites toujours 44" (et nous on se charge de vous poser une question dont la bonne réponse est 44 et en répondant 44 on sera tous beau sur la photo vous aurez l'air de savoir faire l'exercice et nous de savoir enseigner), on a fini par obtenir des gens qui EN TOUTE BONNE FOI répondent 44 à "combien vaut 100+77?" et à qui on a ARRACHE la conscience qu'ils ne le savent pas. C'est ce remplacement des bonnes fonctions par des fonctions constantes qui est ESSENTIEL dans la difficulté qu'il y aura le jour où on voudra remettre des maths à l'école. Car ces fonctions constantes sont devenues des valeurs PAR DEFAUT auxquelles s'accroche le tissu social concerné. Ramon insiste bien trop inutilement sur les pointeurs vers Nil mais il se trompe considérablement: les mémoires sont bel et bien remplies elles ne pointent pas vers Nil (ou Null selon les langages informatiques).
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
[small]Bon, mine de rien, c'est bien ce que je disais, non ?
a)Tu formules une réponse quant à un fil d'un autre forum.
b)Tu parles "d'une volonté inconsciente de s'aveugler" au sujet d'un intervenant qui ne pense pas comme toi (pour le dire vite).
Bon ça ne me dérange absolument pas.
Mais après tu vas jusqu'à dire que je ne suis pas agréable même quand je dis que c'est factuel.
Je ne discute pas ta thèse défendue depuis des lustres ici, entendons-nous bien.
[size=x-small]J'ai pensé à un MP mais on ne sait jamais si tu peux les lire ou pas...
Une option type "accusé réception" serait pas mal d'ailleurs dans la messagerie.[/size][/small]
Je peux les lire quand ma messagerie me les envoie mais par exemple il y en a un récemment qui est passe a la trappe. Je vois "11 PSG non lus" (avant c'était 10).
Et non pas vraiment d'accord j'essaie vraiment d'apporter un COMPLEMENT et non de redire longuement ce sue j'ai déjà dit. Ici par exemple sur la méthodologie du débat (Tu me fais rire avec le supposé désaccord de Zeitnot: tu n'as jamais dit si tu enseignes ACTUELLEMENT dans le secondaire. Il y a des indices que non car tu sembles avoir un positionnement qui s'appuie sur des trucs qui étaient dénonçab les déjà en 2005)
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Bel effort méritoire, mais je doute qu'hormis les habitués du forum, qui connaissent déjà par coeur tes opinions de pin parasol, quiconque lise ce fil.
[small]Amusante réponse : revoir les Columbo pour déduire des choses plus justes :-)
Heu...participer à un fil c'est bien apporter un complément, justement...
Mais je ne veux pas passer pour le troll du dimanche soir.
Bonne soirée.[/small]
L'aveuglement que j'évoque est MASSIF et touche la quasi totalité des enseignants. Je précise quand même. Il semble que ce soit un mécanisme de survie. Zeitnot n'est ici qu'un exemple de personne qui énonce ce qu'on peut entendre à tout bout de champ dans les salles des profs. J'ai même vu pure: des gens qui prenaient un air désolé parce qu'on ne fait plus d'equadiff (et je précise qu'ils réagissait à une personne qui demandait si le niveau baissait vraiment bcp et estimait là apporter une preuve que oui). Heureusement que juste après (c'était il y a 5 ans j'en ai déjà parlé ici), j'ai aussi signalé à la demandeuse que 40% d'une classe de ES pariait sur "40+1=50". Elle a mieux compris et comme ça avait défilé sur facebook elle a même vue en live en lurkeuse la date et l'heure de survenue . A côté des "equadiff"... :-D
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
@shah: pin parasol??? What is meaning? Et sinon je ne m'adresse justement qu'aux relais. Après évidemment les camoufleurs je n'espère pas les aider à sauto détruire. Mais pour les autres j'essaie de vraiment signaler les "valeurs par défaut" comme premier adversaire à tuer.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Ramon, hélas, commet pas mal d'erreurs. Je recommande aux personnes intéressées de chercher les (longs) détails qui ont été discutés sur la notion de fonction.
Il est parfaitement vrai que les programmes commettent plein de fautes graves (j'en ai encore croisé une agaçante aujourd'hui, même quand on s'y attend pas, ça arrive, bien que je me revendique habitué, donc blasé), mais il est important aussi de rappeler pourquoi ils en commettent: elles sont dues au fait que nous (les matheux), enfin avec les physiciens, à être la seule matière à être dirigée dans le secondaire par des non matheux, à voir leur programme écrit par des non matheux et à recevoir nos ordres de non matheux. Par exemple, en anglais, ce sont des bilingues (même s'ils ne sont pas que ça) qui dirigent les enseignants d'anglais. En EPS, ce sont des "sportifs". En lettres, ce sont des littéraires, en philo, ce sont des philosophes, etc. Seules les sciences ont cette étrange originalité.
Beaucoup ont l'habitude de critiquer le pédagogisme (je ne m'en prive pas, loin de là), mais le choix de faire diriger l'enseignement secondaire des maths par des non matheux n'est, probablement, pas dû à l'invasion du cancer pédagogiste, ni à l'époque récente. C'est, semble-t-il, pour le peu d'explication qu'on m'ait donné de ce fait, un très vieux fait sociétal basé sur le préjugé qu'il ne faut jamais les matheux se diriger tout seuls.
Les fautes présentes dans les manuels, ne sont pas de même nature que celles contenues dans les programmes (qui font 2 pages, quand les manuels en font 200).
Concernant le post en lien (et plus généralement le fil), je rappelle que l'écriture $f(a)=b$ est un abus de langage**** qui peut s'avérer catastrophique quand on ne sait pas quelle convention adopter (donner la valeur vraie ou donner la valeur fausse?) face à elle quand $a\notin dom(f)$. Cet abus n'a donc pas à figurer dans une définition,même qui prendrait soin de ne "parler que d'éléments de $dom(f)$".
Le domaine (noté $dom(f)$) est $\{x\mid \exists y: (x,y)\in f\}$. Il est parfois renommé "ensemble de définition" dans l'enseignement secondaire, mais c'est là aussi une maladresse puisque le mot "définition" est trompeur ici. Cela provient (cette confusion) du fait qu'existait autrefois un exercice invalide (qui n'avait pas de sens mathématique) consistant à "jouer à la devinette" de trouver pour quelles valeurs une suite de signes avait une valeur (on calculait en quelque sorte l'ensemble le plus large possible et on l'appelait ensemble de définition). Cette idiotie a effectivement cessé et, pour une fois (tout n'est pas noir), on peut parler d'amélioration. Il appartient à l'auteur et non au lecteur d'être correct quand il donne une fonction, et elle vient FORCEMENT avec son domaine.
dom commet aussi une erreur moins grave, bien connue, et traditionnel, consistant à vouloir coller les coordonnées d'un point à ce point. C'est évidemment une tendance d'écriture qu'il faudra un jour (on y est presque) rayer des pratiques. Curieusement, Arturo avait utilisé le bon procédé en utilisant les expressions $x_M$ et $y_M$ qui sont des abréviations de $<<abscisse$ de $M>>$ etc.
Pour ceux qui préfèrent l'approche lourdingue** de Bourbaki, les fils du forum sont faciles à trouver via google
Sa seule différence (et ça ne change rien à ce que j'ai dit ci-dessus) est de vouloir ajouter un couple $(A,B)$ à $f$ et d'appeler le triplet tout entier $(A,B,f)$ la fonction et $f$ le graphe de $(A,B,f)$. Cette complication inutile a son utilité dans UNE spécialité que je connais, mais je ne suis pas sûr que dans d'autres en grand nombre elle soit préférable, mais c'est à la liberté de chacun.
Pour le reste du fil (le troll de GBZM***, etc), une fois de plus je "hurle" que les matheux sont décidément "entre matheux" et n'arrivent pas à se mettre à la place des non matheux (qui à l'opposé de l'idéologie actuelle, devraient avoir droit à des profs incorruptibles, qui ne cherchent JAMAIS à sacrifier à l'abus de langage ou l'impression que c'est plus intuitif la stabilité et la précision parfaite du langage). Par exemple, (mais GBZM n'est pas le seul loin de là, et lui au moins s'amuse) dériver dans $\R[X] / X^2$ (enfin je veux dire, faire "à la main" ce qui est décrit froidement ainsi) parle PARFAITEMENT aux matheux (y compris aux lycéens, rares, qui le sont, et découvrent). Ca n'a strictement aucun sens pour les NM qui de toute façon dans la PLUPART des cas, considèrent que $a/b=a-b$, etc, etc (entre autre $(a+\varepsilon) / truc$, ça leur passe ... vraiment à des années lumière :-D )
*** qui a bien le droit de temps en temps, il est tellement sérieux d'habitude
**** c'est une abréviation de $(a,b)\in f$
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Je ne "réagis" pas, je propose quelques remarques.
1)
Une erreur ? C'est discutable.
Cela me gênerait que l'on additionne des points, par exemple (cas de l'abscisse d'un point sur une droite graduée). Je préfère distinguer point et abscisse. Et point et coordonnées.
Alors, oui on peut s'amuser à dire que "c'est pas bien".
Tant qu'on ne définit pas les structures vectorielles et affines...
N'oublions pas qu'après on voit des additions de segments. Et pourquoi pas définir des additions de carrés et de triangles (oui bon, un peu d'humour, c'est tout !).
Mais je ne m'offusque pas, je comprends ce que tu dis.
D'autre part, c'est une notation, donc ce n'est pas une erreur.
2)
Pour $x_M$ étant une "abréviation", oui d'accord, mais si c'est tacite, alors il ne faut pas se battre contre les "équations cartésiennes" de droites : $y = ax+b$ puisqu'on peut aussi dire que cela abrège quelque chose "dont on pense bien que c'est la chose".
A vrai dire, j'intervenais pour dire qu'il fallait quand même le dire et que cela ne coûtait pas de le dire.
En gros, si l'on rappelle l'abréviation, alors ça me va.
Bon cela dit, ce n'est pas un désaccord frontal en ce qui me concerne.
J'utilise le mot "erreur" comme un tag pour exciter la lecture. Il n'a pas de sens très précis. Chez moi, en fait, "faute" et "erreurs" renvoient surtout à "choses conséquentes dont il ne faudrait pas venir se plaindre ensuite de les voir inspirer chez les débutants que" mais j'ai très franchement la PURE FLEMME" de taper ça à la place :-D
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Oups oubli de préciser: et chez "faute" il y a en plus de ma part l'affirmation que la conséquence grave qui a été induite était quasiment certaine et légitime alors que dans l'erreur la conséquence chez l'élève est juste un peu probable sans quantification très sûre. Par exemple l'abus "ab = a fois b" est une erreur (il induit chez 30% des élèves que 37=21) alors que << f(x)=x^2 => f'(x)=2x >> est une faute grave (il démolit systématiquement à miettes près tout l'enseignement lycéen sur fonctions dérivation et il faut être très fort pour ne pas légitimement subir sa destruction ). Degrés mais aussi nature différente entre faute et erreur mais TOUJOURS vus en termes de conséquences sur récepteurs de la forme linguistique.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Tonton Cristobal,
Pourrais-tu avoir l'amabilité de m'expliquer mes erreurs?
Le misérable vermisseau que je suis te serait éternellement reconnaissant d'avoir été ramené dans le droit chemin mathematique.....
Par contre, ne pouvant cliquer sur "citer" car non droit d'écriture dans l'autre fil, je le parcours et copie-colle dans un fichier word tes extraits et les commente, puis je te poste le pdf qui en résulte. Je te cite en bleu.
Je rappelle les exercices-canulars classiques qui illustrent (et peut-être permettent de mieux cerner les erreurs que j'ai signalées, chez les "déjà-matheux"):
1/ Vrai ou faux: << 1/0 = 3>>
2/ Vrai ou faux: << 1/0 = 3 ou 5=5>>
3/ Vrai ou faux: << si 1/0 = 3 alors 2/0=3 >>
4/ Soit g telle que pour tout (x,y) dans IR²: g(x) = [if (x=y) then 47 else 8]. Vrai ou faux: << g(2/0,5/0)= 8>>
5/ Etc, etc.
Une autre information me parait aussi utile. La notion la plus facile à faire passer, si bien exposée, est JUSTEMENT celle de fonction. (J'ai rappelé les définitions des mots fonctions, etc, dans d'autres fils). On a cette chance, alors que la plupart des maths ne sont pas faciles à faire passer, au moins dispose-t-on de cette notion, facile à enseigner. Or sociologiquement, c'est celle qui pose le plus de problème aux .... profs de maths!!! (Et non pas aux élèves). Pour noyer cette carence les profs sacrifient donc (involontairement, inconsciemment) les élèves pour, eux, être plus à l'aise. Ca peut prendre de terribles proportions allant jusqu'à un abjecte spectaculaire. J'illustre ça par un exemple de dialogue fictif entre un IPR et une enseignante:
<<IPR: Mme, vous avez empêché les élèves de distinguer entre une fonction et sa courbe avec votre message
enseignante: bin, c'était carrément le but, non?
IPR: quoi, mais vous êtes sérieuse, une fonction n'est pas égale à sa courbe>>
C'est bien évidemment l'enseignante qui a raison. Autrement dit, on en est arrivé au point (ce qui se produit souvent dans les crash) où c'est l'opposé de la vérité qui finit par gagner, comme une sorte de "rage exercée" à un moment donné par les commandeurs qui ne veulent pas voir démasquée leur indigence. Ce phénomène est général et ne se produit pas QUE pour la thématique "fonction et enseignement secondaire".
[large]Je rappelle qu'une fonction (à un chouya totalement inconséquent et inoffensif près, le repère par exemple), c'est sa courbe.[/large]
La fausseté de cette affirmation n'a pas d'inconvénient quand elle est présentée comme une vérité. Je recommande donc aux intoxiqués ou aux anciens ignares de se soigner avec ce principe rouge définitivement (ils n'auront que trop le temps plus tard, d'ajouter le négligeable alinéa qui "rend vraie" ce principe rouge, dont la simplification permet d'exposer ce qu'est une fonction*** de IR dans IR dès les petites classes.
[small]*** courbe qui ne rencontre pas de droite verticale en 2 points différents ou plus[/small]
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
1)
Heu...quand tu dis "courbe" tu veux dire "graphe", non ?
Pour moi la courbe est un dessin, c'est une représentation de son graphe.
On dit, à juste titre, "courbe représentative de fonction" aux zenfants.
Chipotais-je ?
Cela dit, tu vas me dire que le dessin n'est pas mathématique, ce que j'entends.
Ta vraie réponse va être : bah oui pour moi "courbe"="graphe". ;-)
On touche du doigt un problème hors-sujet : un segment, est-ce un ensemble de points ou un dessin ?
Réponse : oui c'est un ensemble de points. Le dessin n'est qu'une représentation.
2)
a) J'essaye de te suivre.
Il manque bien au collège, voire au primaire, les rudiments de langage des ensembles (Notation accolade, réunion/ou, intersection/et, autre ?)
Une fois établi, ce serait simple de définir plein de choses, dont les fonctions.
C'est ça ?
b) À l'heure actuelle, ce n'est pas le cas : pas de langage des ensembles "formalisé" (j'entends par là qu'on a entendu le mot point, le mot nombre et le mot ensemble parfois sans jamais l'avoir défini ni même sans s'être attardé dessus plus d'une seconde).
Dans ce cas, avec cette carence, que fais-tu écrire dans le cahier de Marcelle comme définition pour fonction ?
Ne me dis pas "j'ai écrit ça mille fois". L'assistance désire une définition pour Marcelle telle qu'elle est aujourd'hui en 3eC à Asnières.
Dans son cahier ou dans son manuel, c'est pareil.
De mon téléphone: tu as parfaitement raison de dire que la guerre aux ensembles a été un désastre MEME ET SURTOUT pour le secondaire. Ça peut même conduire certains professionnels "classiques" à passer une semaine à réinventer l'eau chaude puis partager ça sur des forums comme une idée bien explorée intimement pour ne dire qu'en fait 3 mots parfaitement formels concernant deux ensembles. L'exemple emblématique est le premier post de rouge maire dans l'autre fil où il énonce traduits en français lesdits 3mots.
@Marcelle je fais un cours sur les couples (pour éviter de ne documenter sue le terme "fonction de IR dans IR) puis je fais écrire que "X est une fonction" abrege "X ne contient sue des couples et pas deux couples différents ayant le même abscisse" (Autrement dit je ne fais que dire formellement et froidement sans chichi ce que tout le monde pense au lieu d'aller chercher je ne sais quel discours construit artificiellement sur le refus de dire "ce qu'on pense" en essayant de récupérer hors piste avec des mots stupides et sans sens comme correspondre , associer, etc ce qu'on peut dire franchement et sur piste et surtout SINCEREMENT).
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Pour courbe vs graphe non je ne chercherai pas à "répondre quelque chose". Je laisse les lecteurs libres d'appréhender avec leurs pulsions individuelles la différence sue je recommande de négliger et l'égalité que je recommande de sublimer. Pourquoi devrais-je "répondre"? Je suis convaincu que la balle est dans ton camp de lecture sur ce point. Vu ce que tu suggérés tu as manifestement t compris.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Rappel : la fonction $x\mapsto \cos(x)-x$ s'annule une fois et une seule sur $\R$.
Y a-t-il une différence fondamentale philosophico-logico-cognitive entre les trois constructions suivantes :
Soit la fonction $f : \R \to \R$ définie par :
$\forall x \in \R,
f(x) =
\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{\cos(x)-x} & \text{ si } \cos(x)-x \neq 0 \\
0 & \text{ sinon.} \\
\end{array}
\right.
$.
Soit la fonction $g$ à valeurs réelles définie par :
$\forall x \in \R,
g(x) =
\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{\cos(x)-x} & \text{ si } \cos(x)-x \neq 0 \\
\text{rien} & \text{ sinon.} \\
\end{array}
\right.
$.
Soit la fonction $h$ à valeurs réelles (avec une valeur interdite) définie par l'expression :
$h(x) = \frac{1}{\cos(x)-x}$.
N'étant pas sur un PC je ne peux détailler. Mais aucun de ces 3 abus de langage classiques ne me plait. Je peux témoigner du terrain en disant t que le premier est le moins ambigu pour les étudiants et élèves, mais au delà du thème discuté je recommande d'éviter les "si" à droite des phrases d'une part et l'usage du français dans les commandes informatiques d'autre part, ainsi que la tournure "définie par ..." suivie d'une affirmation (une définition est une abreviation et non un pari sur le monde) donc on a le choix entre:
On suppose que pour tout x..: f(x)=blabla
et
Soit f := [x MAPSTO ....]
Mais pas "soit a défini par a= ....".
Pour revenir au thème fonction je pense avoir tout dit et seulement d'un PC je commenterai les différents abus de langage traditionnels.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
@marsup
Je voulais pointer du doigt le fait que tu ne donnes pas l'ensemble de départ dans ton "rappel".
@cc
Ok.
Remarque : Message difficile à lire (c'est très personnel, j'ai du mal avec la prose sous forme condensé). Je ne parle que de la forme "physique".
Merci Christophe, c'est une nuance très intéressante.
Définir c'est étiqueter un objet, ce n'est pas en fabriquer un, c'est ça ?
Qu'est ce que tu penses des définitions récursives comme : $$n ! =
\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \text{pour } n=0 \\
n \cdot (n-1)! & \text{pour } n>0 \\
\end{array}
\right.
$$ ou bien : soit $(u_n)$ la suite définie par $$
\left\{
\begin{array}{c}
u_0 = 3 \\
u_{n+1} = f(u_n) \\
\end{array}
\right.
$$ avec ensuite parfois des questions du type :
montrer que la suite $(u_n)$ est bien définie
ou bien
montrer que pour tout $n$, le terme $u_n$ existe bien.
(je dois reconnaître que je trouve ça assez horrible comme questions !)
Pour répondre, il faut justifier que la suite $(u_n)$ ne peut pas prendre de valeurs interdites de la fonction $f$.
Lorsque $x$ est précisément la solution de $\cos x-x=0$, je ne sais pas si l'assertion « $\cos(x)-x\ne0$ et $y=\frac{1}{\cos(x)-x}$ » est vraie. C'est parce que je ne suis pas une machine et donc, quand je vois la conjonction « $A$ et $B$ », je ne commence pas par examiner si $A$ est vraie avant de lire $B$ si ce n'est pas le cas. Au contraire, je crois que « $A$ et $B$ » doit être équivalente à « $B$ et $A$ ».
On pourrait à la place écrire que le point $(x,y)\in\R^2$ appartient au graphe SSI $y(\cos x-x)=1$ mais là, on perdrait la forme $y=f(x)$.
Ni l'un ni l'autre. 1/0 n'existe pas en mathématiques (terrestres).
C'est comme si j'insérais des mots du lexique hongrois dans une phrase en français. Je ne pourrais analyser la syntaxe de cette phrase. Mon compilo intime la recracherait avec un message d'erreur et dégoût avant même de savoir si je peux passer à l'exécution, c'est-à-dire décider du vrai ou du faux.
Je veux bien admettre que 3 a été défini auparavant. C'est un peu implicite entre nous, mais, OK, ça passe, je l'ai déjà vu passer dans une publi. Mais 1/0, bernique, je sais pas ce que c'est, ça n'a pas été défini et je n'ai pas le 06 de Chuck Norris.
Une autre formulation de 1/
1'/ Vrai ou faux: << Schtroumpf = 3>>
@marsup, on est un peu dans le même registre de départager le hors-math du in-math. "définition récursive" est un terme informatique, il n'y a pas de définition récursive (ni de définition du tout, d'ailleurs) en maths. Juste des abréviations.
Pour info, il y a équivalence entre l'axiome de récurrence et l'axiome qui autorise à faire du récursif, l'un n'est pas moins fort que l'autre, et c'est le sens "def rec autorisées" => récurrence" qui se prouve en 3 lignes* (alors que la réciproque nécessite 10 à 20 lignes**).
** $<<A:=\{u\mid \forall n: u(n+1) = f(u(n))\wedge u(0) = a\}$ est tel que $\{n \mid card(\{u(n)\mid u\in A\})\leq 1\}\supset \N>>$ fait une ligne, mais attention, il y a plusieurs lignés à taper pour avoir le $\geq 1$.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Je reviens, étant sur un pc, aux définitions informatiques singées par le secondaire. Je ne pense pas qu'il soit utile de singer maladroitement, on peut juste "importer" la syntaxe (par exemple) du caml au sens où :
est parfaitement correct alors que le suivant ne l'est pas tellement si on a mis le mot "défini par" avant:
$\forall x...: f(x) = h(x) $ si $g(x)$ et $f(x)=k(x)$ sinon
Sans le mot "défini par", c'est mathématiquement tout à fait correct de faire des hypothèses (et c'est toujours préférable d'ailleurs). De plus, le statut d'hypothèse est moins désagréable pour les auteurs de sujets, comme l'illustre:
<< Supposons que $\forall x\in \R: f(3x+7)=x+x^2$. Existe-t-il un point $A$ de $C_f$ tel que la droite $[ 2x-3y+8 = f(5)] $ est tangente à $C_f$ en $A$? >>
qui, sans demander d'effort, permet de recaler les personnes qui récitent des corrigés sans comprendre. Je ferai un autre post, mais j'avais repéré il y a quelques temps un fil où un lycéen demandait des exercices de renforcement et où, conformément à une habitude fautive, les gens lui donnaient des exercices totalement inutiles (genre des trucs ne posant pas d'autres problèmes que d'être dur aussi pour un matheux alors que l'utile pour un lycéen consiste à lui poser des questions évidentes (comme la précédente) avant pour savoir s'il parle le langage** (dans la plupart des cas, les lycéens les plus performants sont épatants, car ils parlent très peu la langue et réussissent QUAND MEME des exercices "à l'aveugle".
** et non p[small]our savoir s'il est doué: pour savoir si un chinois parle au moins un peu français, le fait qu'il ne sache pas répondre à "quelle est la couleur du cheval blanc d'Henri4?" atteste qu'il ne le parle pas assez et non qu'il relève de la SEGPA. Et bien cette erreur d'appréciation dans l'enseignement est CONTINUELLEMENT commise et comme je l'ai déjà dit (et ça déplaît fortement), je soupçonne une volonté inconsciente de voir en l'autre (de la part des matheux) un être inférieur dont les problèmes seraient soit disant de la compréhension de fond (alors qu'on peut quasiment prouver que c'est faux, ie on ne rencontre jamais ou presque de collègiens qui sont A LA FOIS en parler correct du LM*** et en incapacité mathématique).
*** je rappelle que le LM est 1000 fois plus simple que le français à maitriser.[/small]
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Réponses
Il y a un bouquin qui refait une bonne partie de l'algèbre linéaire/bilinéaire en remplaçant les espaces vectoriels par des modules, c'est Algebra An approach via module theory de Adkins et Weintraub. On y trouve notamment des résultats sur les formes bilinéaires symétriques sur les modules, ça pourrait t'intéresser.
Dans ce fil :http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1639822,1639944#msg-1639944
Mathcoss liste des critères. J'en ajoute un. Il n'existe pas (ou ultra peu) de preuves "ascendantes" en maths. Donc si une preuve en peu de.lignes est possible même pour un résultat célèbre par contre il y a une chose qui est quasiment inévitable (et on peut prouver cette inevitabilite) c'est que le truc démontré est SPECTACULAIREMENT PLUS GENERAL que le résultat initialement visé qui n'en est qu'un "minuscule" corollaire. Si cet enchainement n'est pas présent les risque de faute son t proches de 100%.
De mon téléphone bloqué en Italie par une compagnie aérienne mafieuse.
Qu'est-ce que "quasiment inévitable" ?
Qu'est-ce que "spectaculairement" ?
Qu'est-ce que "minuscule" ?
Bref comme d'habitude, beaucoup de sémantique de l'exagération (dans un sens ou dans l'autre), mais pour dire quoi de concret finalement ?:-S
@alesha: qui aboutit au théorème prouvé par conquête de ses cas particuliers qui conjonctes le donnent. C'est rare (hors bien sur les théorèmes qui sont des conjonctions formelles).
** Je rappelle pour la 902387361736ième fois que tout théorème est un cas particulier d'évidence***. Et que ce qui fait qu'il est difficile, pour un énoncé X de savoir si c'est ou pas un théorème, c'est qu'il peut en être un mais TELLEMENT cas ULTRAPARTICULIER de la première évidence qu'on trouve qui le généralise que ce n'est absolument pas facile à voir, ni à sentir, et on ne sait pas dans quelle direction partir.
Un corollaire de l'info rouge est, comme je l'ai aussi dit 30268436 fois, que tout théorème non généralisable est FORCEMENT EVIDENT.
Le rapport avec ce que j'ai signalé est le suivant: soit P un théorème, longtemps resté problème ouvert. Très peu de chemin mènent à P "par en dessous" (ce que j'ai résumé en preuve ascendante), en fait même, AUCUN chemin y mène par en dessous pour la plupart. La plupart se verront "enfion résolus" par des acteurs qui ont longuement ruminé et cogité à des généralités sur le thème de P et fini par trouver une piste rouge ou noir qui y descend.
Pour faire une métaphore, ils sont montés à 4000, le problème P se situe à 1600, ils ont exploré des années durant les hauteurs entre 3500 et 4500, puis ont "enfin" réalisé à un moment (ce qui n'est pas no nplus facile) qu'ils se trouvaient "à la verticale" de P, qui est 2400m sous leur pied. Ils plongent et gagnent (ou se font mal). Toujours dans la métaphore, il n'y a pas de chemin allant de 0 à P qui ne passe pas au dessus de 3000 (par exemple), pour la plupart des P concernés. Ce phénomène ne m'a d'ailleurs pas attendu pour recevoir une publicité, tous les chercheurs savent parfaitement, en recherche sur P=NP, par exemple, que les maximums locaux, faciles à trouver, sont des leurres assez épuisants et non des indications de "bonne route".
*** un énoncé précis (parmi moult dans la même veine): pour tout théorème $P$, il existe $X$ tel que $(X\to X)\to P$ est un cas particulier d'une conjonction d'axiomes (la conjonction des $A_i$ est $\forall Y: [(A_1\to (A_2\to (....\to (A_n\to Y)..))\to Y]$) dont un cas particulier est:
$$ [(A_1\to (A_2\to (....\to (A_n\to Q)..))\to Q] $$
En général, on abrège $\forall Y: [(A_1\to (A_2\to (....\to (A_n\to Y)..))\to Y]$ par $<<A_1$ et $A_2$ et .. et $A_n>>$, en tout cas, pour le "tout venant du monde des maths" (ie travaillant en logique classique), mais (voir autres fils), son abréviateur officiel est
$$ A_1 \otimes ...\otimes A_n $$
qui d'ailleurs est très mal choisi car il devrait s'appeler plutôt :
$$ A_1 + ... + A_n $$
et ce qui a tendance à s'appeler "officiellement" $ A_1 + ... + A_n $ devrait s'appeler
$$ inf(A_1,...,A_n)$$
( ou $sup(A_1,..,A_n)$ suivant le pôle dont on choisit de regarder les choses), mais c'est une question intralogique peu éclairante pour les matheux usuels.
La formule u.v := somme_i des ui fois vi marche TOUJOURS au sens de marcher que tout matheux devine. Simplement elle est CONSTATEE en accord avec les angles droits QUE NOUS OFFRE la nature que quand le repère est orthonormé. La notion d'angle droit n'a pas de fondement mathématique direct elle arrive DONNEE par Lady Nature.
La réponse de Yves nécessite donc d'être très largement commentée si l'étudiante est entre bac-1 et bac+1 ou en premier cycle de physique. Ce qui est probable je ne connais pas grand monde qui ouvrirait son fil sinon. De mon téléphone je n'envoie pas de MP tout de suite à l'étudiante plus tard on verra il est possible que quelque professionnel du forum poste des compléments dans le fil auquel cas tout ira mieux.
Édit: avec le lien c'est mieux:http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1645340,1645340#msg-1645340
$<u,v>:=f(A,B,C)$ où $A,B,C$ sont des points tels que $\vec{AB}=u$ et $\vec{AC}=v$ et $f(A,B,C)=\frac{1}{2} (AB^2+AC^2-BC^2)$ et enfin, montrer les propriétés de cette application (bilinéarité, expression simple dans un repère orthonormé, etc).
Après, dire que les axiomes de la géométrie sont faits pour coller à ce qui est constatable expérimentalement dans le monde sensible est un peu une lapalissade. Mais de là à qualifier la notion d'angle droit de non mathématique c'est carrément exagéré.
* la partie non comptable ie l'interprétation.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1645466,1645520#msg-1645520
Pour commencer, Ramon, sous couvert de dénoncer l'état désastreux du niveau des collègiens-lycéens français en maths enjolive (malgré lui?? Pas sûr... Ce n'est pas la première fois qu'il dénonce des "petites choses" alors que la situation est incommensurablement pire) exagérément la situation, et ceci est dû à une méthodologie particulière composée de deux ingrédients:
1/ il prend des exemples
2/ il s'adresse à des matheux (donc a le souci de les toucher).
Je ne commenterai pas la réponse que Zeitnot lui fait, car elle est évidemment factuellement fausse et il n'y a plus grand monde à l'ignorer en 2018.
Je commence par commenter (2). J'avais un collègue qui "croyait choquer" en dénonçant que peu d'élèves de TS savent que $\sqrt{2} / 2 $ est l'inverse de $\sqrt{2}$ et autre choses savantes de ce genre. Je lui ai dit 1000 fois d'arrêter de dénoncer des non problèmes, mais il n'a rien voulu entendre. Cette dérive survient (entre autre, pas toujours) à cause de 2 phénomènes psycho:
2.1/ une volonté inconsciente de s'aveugler (par exemple en hurlant contre un restaurant qui refuse de vous servir du dessert, on arrive à oublier qu'il a en fait explosé à cause de bouteilles de gaz ma l réglées et qu'on est tous morts). Ca défoule de hurler contre l'absence de dessert.
2.2/ la tradition devenue unanime de donner en devoir sur table des exercices déjà corrigés (à la virgule près je veux dire). Certes elle permet d'esquiver le stress du métier et le fait de ne plus servir à rien après le crash, mais elle permet aussi à leur metteur en scène quotidien de s'auto-persauder qu'ils "se passe encore quelque chose" en leur présence à leur cours de maths (le récit de Zeitnot est emblématique et cas d'école d'une certaine manière, dans sa réponse à Ramon. On a l'impression d'être devant le (l'excellent) film "sixième sens" avec Zeitnot en lieu et place de Bruce Willis qui se croit en vie).
2.3/ Bref, tout ça fait que les faiblesses dénoncées sont non seulement peu significatives du vrai problème, mais en plus offrent chaque fois à ceux qui les entendent l'option tentante de répondre "ah, ce n'est que ça? le crash?... Mouais"
Pour commenter le (1), j'ai une métaphore qui m'est revenue en discutant de ça sur la liste news du cnrs, qui m'a obligé à chercher une description du problème, d'un côté accessible à des gens déjà experts et de l'autre pas trop longue: c'est parti pourl a métaphore:
1.1/ Tant qu'on avait des machines en 16 bit ou en 32 bit, et que j'avais trouvé (en cherchant longtemps) comment prendre le pouvoir sur l'écran, et bien comme certains s'en souviennent peut-être, j'avais fait s'exécuter des machines de Turing directement dans la mémoire écran de manière à voir en live 10000000/seconde pixels changer (le ruban de la machine). Après, en 32 bits, j'avais encore quelques options revenant au même. Et puis peu à peu, mes distractions se sont éloignées de ça, on est passé au 64bits, je n'avais quasiment plus rien d'autre comme outil que les équivalents de "setpixelbit" (qui est une instruction API qui exécute 20000 opelem pour changre la couleur ... d'un pixel). Alors pour continuer de faire mes petites expériences et "voir ce qui se passe", et bien j'ai tout exécuté dans un tableau de mémoire interne et lancé parallèlement une procédure affichant aléatoirement des pixels actualisés à raison de 50000/seconde seulement. Et vu de loin, je pouvais "me faire une idée" de la scène telle que je l'aurais vue si les pixels avaient en permanence été de la bonne couleur.
1.2/ Après la disparition des maths du secondaire, et la seule question ouverte reste de savoir la part exacte de dysfonctionnement et celle de volontarisme coupable, il s'est mis en place des vitrines diverses qui fonctionnent un peu sur le même registre (à la différence très grande près que les pixels actualisés sont prémédités!!!!! ). Autrement dit, on produit des clichés (au sens équivalent à "photographique") que l'on diffuse un peu partout, et surtout qui sont relativement assez bien adaptés aux habitudes des lanceurs d'alerte: "vous dites que les élèves ne savent pas simplifier 30/20, je vous en amène un dans 2 jours qui saura", etc, etc (je passe les détails techniques, on a vu l'arnaque utilisé par Zeitnot conre Ramon dans le fil en lien, chacun peut imaginer ce que ça donne produit en quantité industrielle).
1.3/ Je formalise un peu pour extraire le mécanisme logique de ce que je raconte (mais je pense qu'avec les mots ci-dessus, beaucoup peuvent comprendre). Avant la disparition des maths, ce qui caractérisait le paysage estudiantin c'est qu'on avait un ensemble infini (imaginons un carré vert) qui était rempli. Aujourd'hui, pour diverses raisons intrapolitique, le carré est évidemment vide (disons tout rouge), mais PAR CONTRE, il y a quelques POINTS (d'aire nulle) qui sont verts, car ils correspondent aux éternels exemples pris par des lanceurs d'alerte comme Ramon. C'est pourquoi il ne faut pas tomber dans le piège des exemples choisis trop vite.
1.4/ De plus, il n'y a de toute façon pas à se fatiguer: tout le monde (de concerné) connait parfaitement la réalité (croyez bien que les enseignants de L1, L2,L3 qui se prennent les lycéens dans la figure ne sont pas des aveugles, pas plus que les enseignants de CPGE (qui reçoivent pourtant les meilleurs), mais par contre, il faut bien comprendre qu'il y en des personnes qui SE FELICITENT de ça (pour des raisons idéologiques, elles s'estiment bienfaitrices de "saboter" le capitalisme). Il y a des autocollants partout dans le métro de Paris d'ailleurs actuellement, parlant de ça (ps que pour les maths) et titrés "révolution et sabotage, allez taffer, la grève vous pénalise, mais sabotez votre travail"
Bref, on est en pleine guerre idéologique, et ça ne sert à rien de "dénoncer" le crash des maths car il est connu et peut-être encore mieux connu, par un grand nombre de gens qui le conteste car ils pensent que c'est une des manières de "tordre le cou au capitalisme". J'ai une preuve de ce que j'avance. J'ai correspondu avec un matheux célèbre que je croyais réfléchi et "au moins un peu objectif" et j'ai vu qu'il a signé 2 pétitions anti-sélection à la fac (ce qui montre que quand il m'écrivait qu'il savait pour le crash, il me roulait dans la farine).
Ce post peut paraitre confilctuel, mais j'attire l'attention sur le fait que j'ai déjà exprimé mon opinion 1000 fois et qu'il ne l'a re-assène pas une fois de plus. J'ai juste voulu placer dans son contexte ce que je voulais dire de "logico-fondationnel" à propos de la méthodologie de Ramon, consistant à ne pas prendre garde aux pixels qu'il choisit qui ont été colorés exprès en vert à beaucoup d'endroits (alors que tout le reste du carré est rouge) en prévision d'une prise de photo du problème (afin de le cacher). Pour prouver l'état de la situation actuelle, le procédé le plus simple est de m'amener les 15 premiers d'une TS lambda, je leur pose des questions INCONTESTABLEMENT et unanimement reconnue évidentes et sans piège de niveau CM1 et le pot aux rose est démasqué. Mais pour ce faire, je ne peux bien sûr pas annoncer à l'avance la teneur du test. Donc pas débattre sur un forum de ses résultats. Et je tiens le pari qui on mélange des élèves de Zeitnot aux autres, ils ne feront pas non plus illusion tout sachant développer ou autre qu'ils sont prétendus être.
De Ramon:
à venir comme par exemple: "f(x)=0 donc f=0 ou x=0 "..... (1)
Danc cet exemple on voit à quel point il enjolive la situation réelle. Ce qu'il dit aurait pu être dit en 1997 à propos d'etudiants de L2 de maths (je devais sanctionner cette faute dans environ 30% des copies de L1-L2 à l'époque).
La situation d'aujourd'hui n'a rien à voir: on lit dans 80% des copies l'inférence << f(5x) = 62 donc f=62 ou 5x =62>> (2)
Mais SURTOUT: là où en 98 en 3mn on obtenait de l'étudiant même parmi les moins forts qu'il se tape la tête de colere contre lui même face à son (1), actuellement on peut devoir guerroyer 40mn (c'est du vécu) face à un groupe entier de TS spécialité face à (2) qui n'en démordra pas répétant jusqu'à plus soif "mais msieur c'est la règle du produit".
Autrement dit Ramon n'a pas réussi à mettre de côté ses connaissances et le "=0" lui a échappé. Il ne fait pourtant aucun doute qu'il voulait DENONCER l'État des lieux.
En gros ce qui s'est perdu ce n'est pas le niveau (il est devenu négatif et non pas bas) c'est CE QUE SONT les maths. A force d'asséner le trucage "dites toujours 44" (et nous on se charge de vous poser une question dont la bonne réponse est 44 et en répondant 44 on sera tous beau sur la photo vous aurez l'air de savoir faire l'exercice et nous de savoir enseigner), on a fini par obtenir des gens qui EN TOUTE BONNE FOI répondent 44 à "combien vaut 100+77?" et à qui on a ARRACHE la conscience qu'ils ne le savent pas. C'est ce remplacement des bonnes fonctions par des fonctions constantes qui est ESSENTIEL dans la difficulté qu'il y aura le jour où on voudra remettre des maths à l'école. Car ces fonctions constantes sont devenues des valeurs PAR DEFAUT auxquelles s'accroche le tissu social concerné. Ramon insiste bien trop inutilement sur les pointeurs vers Nil mais il se trompe considérablement: les mémoires sont bel et bien remplies elles ne pointent pas vers Nil (ou Null selon les langages informatiques).
a)Tu formules une réponse quant à un fil d'un autre forum.
b)Tu parles "d'une volonté inconsciente de s'aveugler" au sujet d'un intervenant qui ne pense pas comme toi (pour le dire vite).
Bon ça ne me dérange absolument pas.
Mais après tu vas jusqu'à dire que je ne suis pas agréable même quand je dis que c'est factuel.
Je ne discute pas ta thèse défendue depuis des lustres ici, entendons-nous bien.
[size=x-small]J'ai pensé à un MP mais on ne sait jamais si tu peux les lire ou pas...
Une option type "accusé réception" serait pas mal d'ailleurs dans la messagerie.[/size][/small]
Et non pas vraiment d'accord j'essaie vraiment d'apporter un COMPLEMENT et non de redire longuement ce sue j'ai déjà dit. Ici par exemple sur la méthodologie du débat (Tu me fais rire avec le supposé désaccord de Zeitnot: tu n'as jamais dit si tu enseignes ACTUELLEMENT dans le secondaire. Il y a des indices que non car tu sembles avoir un positionnement qui s'appuie sur des trucs qui étaient dénonçab les déjà en 2005)
Heu...participer à un fil c'est bien apporter un complément, justement...
Mais je ne veux pas passer pour le troll du dimanche soir.
Bonne soirée.[/small]
Je continue mes promenades. Dans ce fil http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1646182,1646248#msg-1646248
Ramon, hélas, commet pas mal d'erreurs. Je recommande aux personnes intéressées de chercher les (longs) détails qui ont été discutés sur la notion de fonction.
Il est parfaitement vrai que les programmes commettent plein de fautes graves (j'en ai encore croisé une agaçante aujourd'hui, même quand on s'y attend pas, ça arrive, bien que je me revendique habitué, donc blasé), mais il est important aussi de rappeler pourquoi ils en commettent: elles sont dues au fait que nous (les matheux), enfin avec les physiciens, à être la seule matière à être dirigée dans le secondaire par des non matheux, à voir leur programme écrit par des non matheux et à recevoir nos ordres de non matheux. Par exemple, en anglais, ce sont des bilingues (même s'ils ne sont pas que ça) qui dirigent les enseignants d'anglais. En EPS, ce sont des "sportifs". En lettres, ce sont des littéraires, en philo, ce sont des philosophes, etc. Seules les sciences ont cette étrange originalité.
Beaucoup ont l'habitude de critiquer le pédagogisme (je ne m'en prive pas, loin de là), mais le choix de faire diriger l'enseignement secondaire des maths par des non matheux n'est, probablement, pas dû à l'invasion du cancer pédagogiste, ni à l'époque récente. C'est, semble-t-il, pour le peu d'explication qu'on m'ait donné de ce fait, un très vieux fait sociétal basé sur le préjugé qu'il ne faut jamais les matheux se diriger tout seuls.
Les fautes présentes dans les manuels, ne sont pas de même nature que celles contenues dans les programmes (qui font 2 pages, quand les manuels en font 200).
Concernant le post en lien (et plus généralement le fil), je rappelle que l'écriture $f(a)=b$ est un abus de langage**** qui peut s'avérer catastrophique quand on ne sait pas quelle convention adopter (donner la valeur vraie ou donner la valeur fausse?) face à elle quand $a\notin dom(f)$. Cet abus n'a donc pas à figurer dans une définition,même qui prendrait soin de ne "parler que d'éléments de $dom(f)$".
Le domaine (noté $dom(f)$) est $\{x\mid \exists y: (x,y)\in f\}$. Il est parfois renommé "ensemble de définition" dans l'enseignement secondaire, mais c'est là aussi une maladresse puisque le mot "définition" est trompeur ici. Cela provient (cette confusion) du fait qu'existait autrefois un exercice invalide (qui n'avait pas de sens mathématique) consistant à "jouer à la devinette" de trouver pour quelles valeurs une suite de signes avait une valeur (on calculait en quelque sorte l'ensemble le plus large possible et on l'appelait ensemble de définition). Cette idiotie a effectivement cessé et, pour une fois (tout n'est pas noir), on peut parler d'amélioration. Il appartient à l'auteur et non au lecteur d'être correct quand il donne une fonction, et elle vient FORCEMENT avec son domaine.
dom commet aussi une erreur moins grave, bien connue, et traditionnel, consistant à vouloir coller les coordonnées d'un point à ce point. C'est évidemment une tendance d'écriture qu'il faudra un jour (on y est presque) rayer des pratiques. Curieusement, Arturo avait utilisé le bon procédé en utilisant les expressions $x_M$ et $y_M$ qui sont des abréviations de $<<abscisse$ de $M>>$ etc.
Pour ceux qui préfèrent l'approche lourdingue** de Bourbaki, les fils du forum sont faciles à trouver via google
Sa seule différence (et ça ne change rien à ce que j'ai dit ci-dessus) est de vouloir ajouter un couple $(A,B)$ à $f$ et d'appeler le triplet tout entier $(A,B,f)$ la fonction et $f$ le graphe de $(A,B,f)$. Cette complication inutile a son utilité dans UNE spécialité que je connais, mais je ne suis pas sûr que dans d'autres en grand nombre elle soit préférable, mais c'est à la liberté de chacun.
Pour le reste du fil (le troll de GBZM***, etc), une fois de plus je "hurle" que les matheux sont décidément "entre matheux" et n'arrivent pas à se mettre à la place des non matheux (qui à l'opposé de l'idéologie actuelle, devraient avoir droit à des profs incorruptibles, qui ne cherchent JAMAIS à sacrifier à l'abus de langage ou l'impression que c'est plus intuitif la stabilité et la précision parfaite du langage). Par exemple, (mais GBZM n'est pas le seul loin de là, et lui au moins s'amuse) dériver dans $\R[X] / X^2$ (enfin je veux dire, faire "à la main" ce qui est décrit froidement ainsi) parle PARFAITEMENT aux matheux (y compris aux lycéens, rares, qui le sont, et découvrent). Ca n'a strictement aucun sens pour les NM qui de toute façon dans la PLUPART des cas, considèrent que $a/b=a-b$, etc, etc (entre autre $(a+\varepsilon) / truc$, ça leur passe ... vraiment à des années lumière :-D )
*** qui a bien le droit de temps en temps, il est tellement sérieux d'habitude
**** c'est une abréviation de $(a,b)\in f$
Je ne "réagis" pas, je propose quelques remarques.
1)
Une erreur ? C'est discutable.
Cela me gênerait que l'on additionne des points, par exemple (cas de l'abscisse d'un point sur une droite graduée). Je préfère distinguer point et abscisse. Et point et coordonnées.
Alors, oui on peut s'amuser à dire que "c'est pas bien".
Tant qu'on ne définit pas les structures vectorielles et affines...
N'oublions pas qu'après on voit des additions de segments. Et pourquoi pas définir des additions de carrés et de triangles (oui bon, un peu d'humour, c'est tout !).
Mais je ne m'offusque pas, je comprends ce que tu dis.
D'autre part, c'est une notation, donc ce n'est pas une erreur.
2)
Pour $x_M$ étant une "abréviation", oui d'accord, mais si c'est tacite, alors il ne faut pas se battre contre les "équations cartésiennes" de droites : $y = ax+b$ puisqu'on peut aussi dire que cela abrège quelque chose "dont on pense bien que c'est la chose".
A vrai dire, j'intervenais pour dire qu'il fallait quand même le dire et que cela ne coûtait pas de le dire.
En gros, si l'on rappelle l'abréviation, alors ça me va.
Bon cela dit, ce n'est pas un désaccord frontal en ce qui me concerne.
Tonton Cristobal,
Pourrais-tu avoir l'amabilité de m'expliquer mes erreurs?
Le misérable vermisseau que je suis te serait éternellement reconnaissant d'avoir été ramené dans le droit chemin mathematique.....
Par contre, ne pouvant cliquer sur "citer" car non droit d'écriture dans l'autre fil, je le parcours et copie-colle dans un fichier word tes extraits et les commente, puis je te poste le pdf qui en résulte. Je te cite en bleu.
La pièce jointe s'obtient en bas du présent post.
1/ Vrai ou faux: << 1/0 = 3>>
2/ Vrai ou faux: << 1/0 = 3 ou 5=5>>
3/ Vrai ou faux: << si 1/0 = 3 alors 2/0=3 >>
4/ Soit g telle que pour tout (x,y) dans IR²: g(x) = [if (x=y) then 47 else 8]. Vrai ou faux: << g(2/0,5/0)= 8>>
5/ Etc, etc.
Une autre information me parait aussi utile. La notion la plus facile à faire passer, si bien exposée, est JUSTEMENT celle de fonction. (J'ai rappelé les définitions des mots fonctions, etc, dans d'autres fils). On a cette chance, alors que la plupart des maths ne sont pas faciles à faire passer, au moins dispose-t-on de cette notion, facile à enseigner. Or sociologiquement, c'est celle qui pose le plus de problème aux .... profs de maths!!! (Et non pas aux élèves). Pour noyer cette carence les profs sacrifient donc (involontairement, inconsciemment) les élèves pour, eux, être plus à l'aise. Ca peut prendre de terribles proportions allant jusqu'à un abjecte spectaculaire. J'illustre ça par un exemple de dialogue fictif entre un IPR et une enseignante:
<<IPR: Mme, vous avez empêché les élèves de distinguer entre une fonction et sa courbe avec votre message
enseignante: bin, c'était carrément le but, non?
IPR: quoi, mais vous êtes sérieuse, une fonction n'est pas égale à sa courbe>>
C'est bien évidemment l'enseignante qui a raison. Autrement dit, on en est arrivé au point (ce qui se produit souvent dans les crash) où c'est l'opposé de la vérité qui finit par gagner, comme une sorte de "rage exercée" à un moment donné par les commandeurs qui ne veulent pas voir démasquée leur indigence. Ce phénomène est général et ne se produit pas QUE pour la thématique "fonction et enseignement secondaire".
La fausseté de cette affirmation n'a pas d'inconvénient quand elle est présentée comme une vérité. Je recommande donc aux intoxiqués ou aux anciens ignares de se soigner avec ce principe rouge définitivement (ils n'auront que trop le temps plus tard, d'ajouter le négligeable alinéa qui "rend vraie" ce principe rouge, dont la simplification permet d'exposer ce qu'est une fonction*** de IR dans IR dès les petites classes.
[small]*** courbe qui ne rencontre pas de droite verticale en 2 points différents ou plus[/small]
Heu...quand tu dis "courbe" tu veux dire "graphe", non ?
Pour moi la courbe est un dessin, c'est une représentation de son graphe.
On dit, à juste titre, "courbe représentative de fonction" aux zenfants.
Chipotais-je ?
Cela dit, tu vas me dire que le dessin n'est pas mathématique, ce que j'entends.
Ta vraie réponse va être : bah oui pour moi "courbe"="graphe". ;-)
On touche du doigt un problème hors-sujet : un segment, est-ce un ensemble de points ou un dessin ?
Réponse : oui c'est un ensemble de points. Le dessin n'est qu'une représentation.
2)
a) J'essaye de te suivre.
Il manque bien au collège, voire au primaire, les rudiments de langage des ensembles (Notation accolade, réunion/ou, intersection/et, autre ?)
Une fois établi, ce serait simple de définir plein de choses, dont les fonctions.
C'est ça ?
b) À l'heure actuelle, ce n'est pas le cas : pas de langage des ensembles "formalisé" (j'entends par là qu'on a entendu le mot point, le mot nombre et le mot ensemble parfois sans jamais l'avoir défini ni même sans s'être attardé dessus plus d'une seconde).
Dans ce cas, avec cette carence, que fais-tu écrire dans le cahier de Marcelle comme définition pour fonction ?
Ne me dis pas "j'ai écrit ça mille fois". L'assistance désire une définition pour Marcelle telle qu'elle est aujourd'hui en 3eC à Asnières.
Dans son cahier ou dans son manuel, c'est pareil.
@Marcelle je fais un cours sur les couples (pour éviter de ne documenter sue le terme "fonction de IR dans IR) puis je fais écrire que "X est une fonction" abrege "X ne contient sue des couples et pas deux couples différents ayant le même abscisse" (Autrement dit je ne fais que dire formellement et froidement sans chichi ce que tout le monde pense au lieu d'aller chercher je ne sais quel discours construit artificiellement sur le refus de dire "ce qu'on pense" en essayant de récupérer hors piste avec des mots stupides et sans sens comme correspondre , associer, etc ce qu'on peut dire franchement et sur piste et surtout SINCEREMENT).
Y a-t-il une différence fondamentale philosophico-logico-cognitive entre les trois constructions suivantes :
Soit la fonction $f : \R \to \R$ définie par :
$\forall x \in \R,
f(x) =
\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{\cos(x)-x} & \text{ si } \cos(x)-x \neq 0 \\
0 & \text{ sinon.} \\
\end{array}
\right.
$.
Soit la fonction $g$ à valeurs réelles définie par :
$\forall x \in \R,
g(x) =
\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{\cos(x)-x} & \text{ si } \cos(x)-x \neq 0 \\
\text{rien} & \text{ sinon.} \\
\end{array}
\right.
$.
Soit la fonction $h$ à valeurs réelles (avec une valeur interdite) définie par l'expression :
$h(x) = \frac{1}{\cos(x)-x}$.
Ta première phrase (le rappel) est intrigante dans ce débat (et dans l'absolu également bien entendu) : c'est quoi la fonction dont tu parles ?
@cc
De quel message de @rougemaire parles-tu ? (sorry 8-))
On suppose que pour tout x..: f(x)=blabla
et
Soit f := [x MAPSTO ....]
Mais pas "soit a défini par a= ....".
Pour revenir au thème fonction je pense avoir tout dit et seulement d'un PC je commenterai les différents abus de langage traditionnels.
pour dom
Je voulais pointer du doigt le fait que tu ne donnes pas l'ensemble de départ dans ton "rappel".
@cc
Ok.
Remarque : Message difficile à lire (c'est très personnel, j'ai du mal avec la prose sous forme condensé). Je ne parle que de la forme "physique".
Définir c'est étiqueter un objet, ce n'est pas en fabriquer un, c'est ça ?
Qu'est ce que tu penses des définitions récursives comme : $$n ! =
\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \text{pour } n=0 \\
n \cdot (n-1)! & \text{pour } n>0 \\
\end{array}
\right.
$$ ou bien : soit $(u_n)$ la suite définie par $$
\left\{
\begin{array}{c}
u_0 = 3 \\
u_{n+1} = f(u_n) \\
\end{array}
\right.
$$ avec ensuite parfois des questions du type :
montrer que la suite $(u_n)$ est bien définie
ou bien
montrer que pour tout $n$, le terme $u_n$ existe bien.
(je dois reconnaître que je trouve ça assez horrible comme questions !)
Pour répondre, il faut justifier que la suite $(u_n)$ ne peut pas prendre de valeurs interdites de la fonction $f$.
Lorsque $x$ est précisément la solution de $\cos x-x=0$, je ne sais pas si l'assertion « $\cos(x)-x\ne0$ et $y=\frac{1}{\cos(x)-x}$ » est vraie. C'est parce que je ne suis pas une machine et donc, quand je vois la conjonction « $A$ et $B$ », je ne commence pas par examiner si $A$ est vraie avant de lire $B$ si ce n'est pas le cas. Au contraire, je crois que « $A$ et $B$ » doit être équivalente à « $B$ et $A$ ».
On pourrait à la place écrire que le point $(x,y)\in\R^2$ appartient au graphe SSI $y(\cos x-x)=1$ mais là, on perdrait la forme $y=f(x)$.
Si la première n'est pas vérifiée, la deuxième n'est pas évaluée.
Même avec ta version $(\cos(x)-x)\cdot y = 1$,
ça ne marcherait plus avec $f(x)=\ln(\cos(x)-x)$, par exemple !
Ni l'un ni l'autre. 1/0 n'existe pas en mathématiques (terrestres).
C'est comme si j'insérais des mots du lexique hongrois dans une phrase en français. Je ne pourrais analyser la syntaxe de cette phrase. Mon compilo intime la recracherait avec un message d'erreur et dégoût avant même de savoir si je peux passer à l'exécution, c'est-à-dire décider du vrai ou du faux.
Je veux bien admettre que 3 a été défini auparavant. C'est un peu implicite entre nous, mais, OK, ça passe, je l'ai déjà vu passer dans une publi. Mais 1/0, bernique, je sais pas ce que c'est, ça n'a pas été défini et je n'ai pas le 06 de Chuck Norris.
Une autre formulation de 1/
1'/ Vrai ou faux: << Schtroumpf = 3>>
e.v.
@marsup, on est un peu dans le même registre de départager le hors-math du in-math. "définition récursive" est un terme informatique, il n'y a pas de définition récursive (ni de définition du tout, d'ailleurs) en maths. Juste des abréviations.
Pour info, il y a équivalence entre l'axiome de récurrence et l'axiome qui autorise à faire du récursif, l'un n'est pas moins fort que l'autre, et c'est le sens "def rec autorisées" => récurrence" qui se prouve en 3 lignes* (alors que la réciproque nécessite 10 à 20 lignes**).
** $<<A:=\{u\mid \forall n: u(n+1) = f(u(n))\wedge u(0) = a\}$ est tel que $\{n \mid card(\{u(n)\mid u\in A\})\leq 1\}\supset \N>>$ fait une ligne, mais attention, il y a plusieurs lignés à taper pour avoir le $\geq 1$.
$$ f:= [x\mapsto (if \ g(x)\ then \ h(x)\ else\ k(x)) ]$$
est parfaitement correct alors que le suivant ne l'est pas tellement si on a mis le mot "défini par" avant:
Sans le mot "défini par", c'est mathématiquement tout à fait correct de faire des hypothèses (et c'est toujours préférable d'ailleurs). De plus, le statut d'hypothèse est moins désagréable pour les auteurs de sujets, comme l'illustre:
<< Supposons que $\forall x\in \R: f(3x+7)=x+x^2$. Existe-t-il un point $A$ de $C_f$ tel que la droite $[ 2x-3y+8 = f(5)] $ est tangente à $C_f$ en $A$? >>
qui, sans demander d'effort, permet de recaler les personnes qui récitent des corrigés sans comprendre. Je ferai un autre post, mais j'avais repéré il y a quelques temps un fil où un lycéen demandait des exercices de renforcement et où, conformément à une habitude fautive, les gens lui donnaient des exercices totalement inutiles (genre des trucs ne posant pas d'autres problèmes que d'être dur aussi pour un matheux alors que l'utile pour un lycéen consiste à lui poser des questions évidentes (comme la précédente) avant pour savoir s'il parle le langage** (dans la plupart des cas, les lycéens les plus performants sont épatants, car ils parlent très peu la langue et réussissent QUAND MEME des exercices "à l'aveugle".
** et non p[small]our savoir s'il est doué: pour savoir si un chinois parle au moins un peu français, le fait qu'il ne sache pas répondre à "quelle est la couleur du cheval blanc d'Henri4?" atteste qu'il ne le parle pas assez et non qu'il relève de la SEGPA. Et bien cette erreur d'appréciation dans l'enseignement est CONTINUELLEMENT commise et comme je l'ai déjà dit (et ça déplaît fortement), je soupçonne une volonté inconsciente de voir en l'autre (de la part des matheux) un être inférieur dont les problèmes seraient soit disant de la compréhension de fond (alors qu'on peut quasiment prouver que c'est faux, ie on ne rencontre jamais ou presque de collègiens qui sont A LA FOIS en parler correct du LM*** et en incapacité mathématique).
*** je rappelle que le LM est 1000 fois plus simple que le français à maitriser.[/small]