Pourquoi alpha = (-b)/(2a)

Si c'est des mathématiques, alors les lettres utilisées ont un sens que tu nous caches : qui est alpha ? Et qui sont a et b ? Et d'où sors-tu cette égalité ésotérique ?

Autrement dit, ce n'est pas ainsi que tu t'en sortiras en maths, c'est en sachant de quoi tu parles. Et alors, bizarrement, la compréhension vient. les explications du prof prennent du sens et on a compris et à moitié appris le cours dès qu'il a fini d'expliquer.

Donc reviens avec une explication de ce dont tu parles (je suis assez sûr de ce que c'est, mais c'est toi qui poses la question, c'est à toi de savoir de quoi tu parles).

Cordialement.

Je traduis.

Je suis en seconde.
J'ai un trinôme du second degré \( ax^2 + bx + c \) avec \( a \neq 0 \).
Je veux l'écrire sous la forme \( a(x-\alpha)^2 + \beta \) comme il est écrit dans mon cours.

Je voudrais savoir pourquoi \( \alpha = - \dfrac b{2a} \).

pcc skeletom.

[ Je n'ai pas écrit les quantificateurs implicites, j'aurais dû ? ]

Donc c'est bien ce à quoi je pensais.

$ax^2+bx+c=a[(x-\frac{-b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}]$ (forme canonique du trinôme).
Et comme un carré est toujours positif, le maximum (a<0) ou le minimum (a>0) s'obtient pour $x=\frac{-b}{2a}$.

Cordialement.

Développe la formule et regarde ce que ça donne.

En partant de $f: x \mapsto ax^2+bx+c$, tu peux commencer par résoudre $f(x)=c$ : il y a une solution évidente et une autre qui en découle rapidement. En admettant que la courbe de $f$ admet un axe de symétrie (parallèle à l'axe des ordonnées), tu peux retrouver l'abscisse du sommet de la parabole.

On peut toujours calculer : $P(x+\alpha)$ et $P(\alpha-x)$ ... Pour voir la symétrie. Est-ce que c'est plus simple, pour quelqu'un qui n'a pas compris :-S

Bonjour,

De mon boulot, très rapidement : Posons\[f(x)=a\,x^2+b\,x+c\] quel que soit le nombre (réel) $x$. Je réponds brièvement à ceci. Dans toute la suite, l'on suppose $a\ne0$. Alors,\[a\,x^2+b\,x+c=a\,\left(x^2+\dfrac{b}{a}\,x+\dfrac{c}{a}\right)\]avec\[\left(x+\dfrac{b}{2\,a}\right)^2=x^2+\dfrac{b}{a}\,x+\dfrac{b^2}{4\,a^2}\mbox{, d'où }x^2+\dfrac{b}{a}\,x=\left(x+\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4\,a^2}\]Ainsi obtient-on que\[a\,x^2+b\,x+c=a\,\left(x^2+\dfrac{b}{a}\,x+\dfrac{c}{a}\right)=a\,\left(\left(x+\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4\,a^2}+\dfrac{c}{a}\right)=a\,\left(x+\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4\,a}+c\]d'où ton résultat.

Supposons maintenant que l'on ait $a<0$ (le cas $a>0$ se traitant aisément !). Soit $u$ et $v$ des nombres (réels) tels que\[u<v<-\dfrac{b}{2\,a}\]Alors,\[u+\dfrac{b}{2\,a}<v+\dfrac{b}{2\,a}<0\]soit\[0<\left(v+\dfrac{b}{2\,a}\right)^2<\left(u+\dfrac{b}{2\,a}\right)^2\](la fonction $x\mapsto{x^2}$ étant strictement décroissante sur l'ensemble des nombres négatifs) ou encore\[a\,\left(u+\dfrac{b}{2\,a}\right)^2<a\,\left(v+\dfrac{b}{2\,a}\right)^2<0\]de sorte que\[a\,\left(u+\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4\,a}+c<a\,\left(v+\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4\,a}+c<-\dfrac{b^2}{4\,a}+c\mbox{, avec }f\left(-\dfrac{b}{2\,a}\right)=-\dfrac{b^2}{4\,a}+c\]Nous venons donc de montrer que, si $u$ et $v$ sont des nombres tels que\[u<v<-\dfrac{b}{2\,a}\]alors,\[f(u)<f(v)<f\left(-\dfrac{b}{2\,a}\right)\]De manière analogue, soit $u$ et $v$ des nombres tels que\[-\dfrac{b}{2\,a}<u<v\]Alors,\[0<u+\dfrac{b}{2\,a}<v+\dfrac{b}{2\,a}\]soit\[0<\left(u+\dfrac{b}{2\,a}\right)^2<\left(v+\dfrac{b}{2\,a}\right)^2\](la fonction $x\mapsto{x^2}$ étant strictement croissante sur l'ensemble des nombres positifs) ou encore\[a\,\left(v+\dfrac{b}{2\,a}\right)^2<a\,\left(u+\dfrac{b}{2\,a}\right)^2<0\]de sorte que\[a\,\left(v+\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4\,a}+c<a\,\left(u+\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4\,a}+c<-\dfrac{b^2}{4\,a}+c\mbox{, avec }f\left(-\dfrac{b}{2\,a}\right)=-\dfrac{b^2}{4\,a}+c\]Nous venons donc de montrer que, si $u$ et $v$ sont des nombres tels que\[-\dfrac{b}{2\,a}<u<v\]alors,\[f(v)<f(u)<f\left(-\dfrac{b}{2\,a}\right)\]Je te laisse rédiger une preuve dans le cas où l'on aurait $a>0$ et le soin de conclure que le point\[S\left(-\dfrac{b}{2\,a},\,f\left(-\dfrac{b}{2\,a}\right)\right)\]est bien un extremum.

Je ne sais pas si c'est clair !!

Bien cordialement,

Thierry

@Poirot et Dom : la forme canonique est censée être vue en seconde mais la mise sous forme canonique n'est pas exigée. La différence peut sembler subtile mais 1) passer de forme canonique à forme développée permet de s'entraîner aux développements, justement ; et 2) la forme canonique permet de résoudre f(x)=k grâce aux identités remarquables.

Le cheminement que j'essaye d'effectuer avec mes secondes est plutôt de remarquer que la courbe semble admettre un axe de symétrie, puis que $\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$ semble être constant (où $x_{1}$ et $x_{2}$ sont 2 solutions de $f(x)=k$ si elles existent). Tout cela devient plus évident en 1ere avec le discriminant, puis immédiat avec les fonctions dérivées.