Engendrement des nombres premiers
Bonjour à toutes et à tous.
Je me prénomme Nicolas et je m'intéresse à ce qui à trait à la théorie des nombres et en particulier ce qui touche aux nombres premiers. J'avais envie de vous faire part de certaines propriétés de ceux-ci et surtout la manière de les engendrer. Avant de commencer je voudrais faire un petit rappel sur le crible d'Eratosthene. Ce crible est le moyen de savoir quel nombre est premier et quel ne l'est pas. Comment procède-t-il ? Et bien c'est simple, on va parcourir l'ensemble N des entiers naturels et barrer au fur et à mesure certains nombres. Les nombres qui ne seront pas barrés seront les nombres premiers. Comment fait -on pour barrer les éléments de N? Il faut procéder comme suit...
On déroule l'ensemble N ainsi: 1 n'est pas premier par définition, le nombre qui vient ensuite 2 est notre premier nombre premier. A partir de lui on va déjà barrer 4,6,8,10,12,14, 2n jusque l'infini. Le nombre qui vient après 2 est 3 comme il n'a pas été barré il est donc aussi un nombre premier. A partir de 3 on va donc éliminer tous ses multiples dans N soit 6,9,12,15, 3n jusque l'infini. Après 3 vient 4 qui a déjà été barré et qui n'est donc pas premier. Vient ensuite 5 qui n'a pas été barré et qui est donc premier. On barre donc tous les multiples de 5 jusqu'à l'infini.
Vous réitérez cette algorithme pour tous les élément de N (entiers) et vous obtenez la suite des nombres premiers.
Vous voyez qu'avec ce crible on découvre les nombres premiers et on ne les engendre pas.
Ce petit rappel pour vous parler d'un travail que j'ai effectué en 2007 et qui porte sur l'engendrement de l'ensemble P des nombres premiers.
En étudiant la suite des nombres premiers j'ai découvert des propriétés étonnantes et un moyen de les engendrer.
J'espère que ceux qui seront arrivés jusque cette partie de mon récit seront piqués au vif et me suivront dans mon cheminement de pensée.
Voici la méthode:
Soit la suite 1,1,2,3,4,5,n qui n'est autre que N avec un 1 doublé. nous allons former les sommes n+(n+1)
commençons.
1+1=2 est notre premier nombre premier
1+2=3 premier
2+3=5 premier
3+4=7 premier
Vous allez me dire c'est bien sympa tout ça mais ton raisonnement s'arrête ici car 4+5=9 n'est pas premier.
Et bien voici ce que je vous répondrez. L'addition 4+5=9 n'est pas autorisée car 5 qui est le membre de droite dans l'addition appartient à un type de suites, une suite arithmétique de premier terme 5 et de raison 3.
Continuons:
5+6= 11 premier
6+7= 13 premier
vous allez me dire d'accord mais ensuite on ne peut pas former 7+8=15 et bien je vais vous dire pourquoi c'est parce que 8 qui est le membre de droite (et je précise bien le membre de droite car c'est toujours celui- ci qui déterminera si l'opération est possible) appartient aussi à la suite précédente, en effet 5 étant le premier terme et la raison étant 3 on obtient 8 comme second terme. Je le répète tous les termes appartenant à cette suite et étant dans le membre de droite dans notre addition ne donnerons pas de nombre premier comme résultat.
Continuons.
8+9=17 premier
9+10=19 premier
10+11=21 pas premier car 11 qui est le membre de droite dans l'addition appartient aussi à la suite de premier terme 5 et de raison 3.
11+12=23 premier
12+13=25 pas premier Vous allez mes dire que pourtant 13 n'appartient pas à la série précédente et vous avez raison. 13 est en fait le premier terme d'une nouvelle série de raison 5.
En fait il existe une infinité de suites qui se développe au fur et à mesure que l'on avance dans le processus de calcul.
Le terme général d'un élément de ces suites s'écrit U(n,m) et a pour expression U(n,m)= ((2n+1)(2n+1)+1)/2)+(2n+1)m
Déterminer les endroits où il n'y a pas de nombres premiers c'est déterminer les additions où le membre de droite appartient à l'une des suite U(n,m).
J'espère avoir votre approbation en vous disant que par ce procédé il y a un acte de création, d'engendrement. On les fabrique au fur et mesure par le biais de cet algorithme. De plus cette méthode permet d'écrire d'une manière contractée l'ensemble P des nombres premiers.
P=(1+1=2, n+(n+1) pour tout n appartenant à N tel que (n+1) n'appartient pas à U(n,m))
Petit encart mathématique.
Comment interpréter U(n,m)
la première suite s'écrit U(1,m) son premier terme est U(1,0) qui correspond numériquement au 5 qui n'autorisait pas l'addition 4+5=9.
Le second terme est de cette première suite est U(1,1) qui correspond au 8 qui n'autorisait pas l'addition dans 7+8=15.
le terme U(2,0) donne 13 qui est le premier terme de cette suite et qui n'autorisait pas l'addition dans 12+13=25.
Merci pour celles et ceux qui m'auront lu et je l'espère compris.
Je me prénomme Nicolas et je m'intéresse à ce qui à trait à la théorie des nombres et en particulier ce qui touche aux nombres premiers. J'avais envie de vous faire part de certaines propriétés de ceux-ci et surtout la manière de les engendrer. Avant de commencer je voudrais faire un petit rappel sur le crible d'Eratosthene. Ce crible est le moyen de savoir quel nombre est premier et quel ne l'est pas. Comment procède-t-il ? Et bien c'est simple, on va parcourir l'ensemble N des entiers naturels et barrer au fur et à mesure certains nombres. Les nombres qui ne seront pas barrés seront les nombres premiers. Comment fait -on pour barrer les éléments de N? Il faut procéder comme suit...
On déroule l'ensemble N ainsi: 1 n'est pas premier par définition, le nombre qui vient ensuite 2 est notre premier nombre premier. A partir de lui on va déjà barrer 4,6,8,10,12,14, 2n jusque l'infini. Le nombre qui vient après 2 est 3 comme il n'a pas été barré il est donc aussi un nombre premier. A partir de 3 on va donc éliminer tous ses multiples dans N soit 6,9,12,15, 3n jusque l'infini. Après 3 vient 4 qui a déjà été barré et qui n'est donc pas premier. Vient ensuite 5 qui n'a pas été barré et qui est donc premier. On barre donc tous les multiples de 5 jusqu'à l'infini.
Vous réitérez cette algorithme pour tous les élément de N (entiers) et vous obtenez la suite des nombres premiers.
Vous voyez qu'avec ce crible on découvre les nombres premiers et on ne les engendre pas.
Ce petit rappel pour vous parler d'un travail que j'ai effectué en 2007 et qui porte sur l'engendrement de l'ensemble P des nombres premiers.
En étudiant la suite des nombres premiers j'ai découvert des propriétés étonnantes et un moyen de les engendrer.
J'espère que ceux qui seront arrivés jusque cette partie de mon récit seront piqués au vif et me suivront dans mon cheminement de pensée.
Voici la méthode:
Soit la suite 1,1,2,3,4,5,n qui n'est autre que N avec un 1 doublé. nous allons former les sommes n+(n+1)
commençons.
1+1=2 est notre premier nombre premier
1+2=3 premier
2+3=5 premier
3+4=7 premier
Vous allez me dire c'est bien sympa tout ça mais ton raisonnement s'arrête ici car 4+5=9 n'est pas premier.
Et bien voici ce que je vous répondrez. L'addition 4+5=9 n'est pas autorisée car 5 qui est le membre de droite dans l'addition appartient à un type de suites, une suite arithmétique de premier terme 5 et de raison 3.
Continuons:
5+6= 11 premier
6+7= 13 premier
vous allez me dire d'accord mais ensuite on ne peut pas former 7+8=15 et bien je vais vous dire pourquoi c'est parce que 8 qui est le membre de droite (et je précise bien le membre de droite car c'est toujours celui- ci qui déterminera si l'opération est possible) appartient aussi à la suite précédente, en effet 5 étant le premier terme et la raison étant 3 on obtient 8 comme second terme. Je le répète tous les termes appartenant à cette suite et étant dans le membre de droite dans notre addition ne donnerons pas de nombre premier comme résultat.
Continuons.
8+9=17 premier
9+10=19 premier
10+11=21 pas premier car 11 qui est le membre de droite dans l'addition appartient aussi à la suite de premier terme 5 et de raison 3.
11+12=23 premier
12+13=25 pas premier Vous allez mes dire que pourtant 13 n'appartient pas à la série précédente et vous avez raison. 13 est en fait le premier terme d'une nouvelle série de raison 5.
En fait il existe une infinité de suites qui se développe au fur et à mesure que l'on avance dans le processus de calcul.
Le terme général d'un élément de ces suites s'écrit U(n,m) et a pour expression U(n,m)= ((2n+1)(2n+1)+1)/2)+(2n+1)m
Déterminer les endroits où il n'y a pas de nombres premiers c'est déterminer les additions où le membre de droite appartient à l'une des suite U(n,m).
J'espère avoir votre approbation en vous disant que par ce procédé il y a un acte de création, d'engendrement. On les fabrique au fur et mesure par le biais de cet algorithme. De plus cette méthode permet d'écrire d'une manière contractée l'ensemble P des nombres premiers.
P=(1+1=2, n+(n+1) pour tout n appartenant à N tel que (n+1) n'appartient pas à U(n,m))
Petit encart mathématique.
Comment interpréter U(n,m)
la première suite s'écrit U(1,m) son premier terme est U(1,0) qui correspond numériquement au 5 qui n'autorisait pas l'addition 4+5=9.
Le second terme est de cette première suite est U(1,1) qui correspond au 8 qui n'autorisait pas l'addition dans 7+8=15.
le terme U(2,0) donne 13 qui est le premier terme de cette suite et qui n'autorisait pas l'addition dans 12+13=25.
Merci pour celles et ceux qui m'auront lu et je l'espère compris.
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Réponses
Si j'ai bien compris, tu reproduis nombre par nombre la méthode du crible d’Ératosthène. Quel intérêt ? D'ailleurs, obtenir les 100 premiers nombres premiers, ou les 1000, ou les 10 000, on sait faire depuis des siècles. Avec les ordinateurs, le premier million est obtenu en quelques minutes (le plus long c'est l'affichage).
A la fin tu fais une généralisation sans aucune justification, donc personne n'est obligé de te croire. C'est probablement vrai, mais ça n'a aucun intérêt, car ça n'apporte aucune méthode efficace de calcul.
Un logiciel courant comme Maple donne en un centième de seconde que 5421578951279 est un nombre premier. Comment fais-tu, toi, pour le justifier ? Et 5421578951281 est-il premier ?
Ce sont ces questions-là qui ont une utilité (maintenant avec des nombres de 200 chiffres, voire plus).
On trouve partout des documents sur les nombres premiers, qui permettent de ne pas présenter fièrement des choses déjà extrêmement connues, voire même de se former mathématiquement pour faire une étude sérieuse (pas des petits jeux pour collégiens intéressés). Même si tu es effectivement collégien, renseigne-toi, tu verras qu'il y a des tas de choses intéressantes.
Cordialement.
Commence par te renseigner sur ce qu'on sait des nombres premiers. Ouvre ton moteur de recherche et tape "nombres premiers".
"c'est simple de savoir si il l'est ou pas, pour cela il suffit de retrancher 1 et de diviser le résultat par 2 ce qui nous permet d'obtenir nos n et n+1 ensuite on regarde si n+1 appartient à l'une des suite U(n,m)"
Au lieu d'en parler, tu aurais dû le faire, tu aurais été plus convaincant. Allez ! fais-le ...
Bruno
Regarde ce que tu fais : tu considères des nombres de la forme $n+(n+1)$, en d'autres termes, tu construis la suite des impairs. C'est pertinent, car tu as compris qu'après $2$, plus aucun pair ne saura être premier.
Et ensuite, tu barres des suites arithmétiques, de raisons $3,5, 7 ,\dots$
N'es-tu pas en train de refaire un crible d'Eratosthène 22 siècles plus tard ?
Considérons en effet, la suite définie par $u_1=2\quad$ et $\quad u_n=\dfrac{(n-1)^2 u_{n-1}-n +2}{n}$
On obtient ainsi tous les nombres premiers. Dès que $u_n$ (avec $n\geq 2$) est entier, c'est que $n$ est premier.
$$p_n = 1 + \sum_{k=1}^{2([ n \ln(n)]+1)} \left(1 - \left[{ k - 1 +\displaystyle \sum_{j=2}^k \left[ {2 \over j} \left(1 + \displaystyle\sum_{s=1}^{\left[\sqrt{j}\right]} \left(\left[{ j-1 \over s}\right] - \left[{j \over s}\right]\right) \right)\right] \over n} \right]\right)
,$$
où $[\cdot]$ désigne la partie entière.
Des formules il y en a plein, on peut écrire celle-ci :
$\mathbb{P}=\left\{ n\geq 2\ \text{tels que }\ \forall k, \ 2\leq k\leq \sqrt{n}, \ k \ \text{ne divise pas n}\right\}$.
Jean-éric.
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/formule.htm
http://www.lifl.fr/~jdelahay/pls/062.pdf
-- Schnoebelen, Philippe
ta formule est incomplète puisqu'elle ne contient pas la définition des $U(n, \ m)$. Je suis incapable de l'appliquer sans lire ton texte, la mienne s'applique parfaitement.
Cordialement Jean-éric.
[Tentative de latexification. AD] $$ U(n,m)= \frac{(2n+1)(2n+1) +1}2 +(2n+1)m $$
0+N
Jusqu'à combien de nombres premiers es tu allé, en vérification avec ta suite ?
J'ai l'impression qu'elle va contredire l'infinitude des nombres premiers jumeaux par exemple.
[Christian Goldbach (1690-1764) prend toujours une majuscule. AD]
j'ai bien lu votre rectification ! Parfait par curiosité il me manque un chose pour être parfaitement convaincu !
Par curiosité pouvez-vous me prouver que $n$ ainsi construit, c'est-à-dire, $n\in \mathbb{N}$, avec $n+1$ qui n'appartient pas aux $U(n, \ m)$ pour tout $m$ entier de zéro à $n$ est un nombre premier ?
Je n'attends pas des vérifications jusqu'à 25, mais vraiment une démonstration générale et compréhensible !
Ce qui se conçoit clairement se montre aussi clairement, il ne suffit pas d'inviter les autres à le faire mais parfois il faut montrer ce que l'on fait surtout ici. Un "aussi loin que " ne suffit pas, car l'ensemble des entiers est infini, et l'infini c'est long surtout vers la fin.
Il ne m'en faudra pas plus pour être convaincu d'ailleurs.
Cordialement.
Jean-éric.
Un peu d'humilité te ferait le plus grand bien. Je suis abasourdi par le nombre de demeurés comme tu dis qui pensent pouvoir démontrer des conjectures comme celle de Goldbach avec des idées d'une grande pauvreté en bidouillant vaguement un truc dont ils sont persuadés que c'est l'idée du siècle.
Je ne parle pas non plus de la qualité de la rédaction mathématique, véritable foutoir. Ouvre un livre de mathématiques, un vrai.
Bref, il faut vraiment que j'arrête de lire cette section du forum ayant le sentiment que définitivement, Internet devient une caisse à résonance de tous les illuminés.
Mais ne finissons pas sur une note aigrie en terminant par une blague ma foi fort à propos: comme dirait l'arbre au bûcheron, je suis scié.
Quand à mes travaux sur Goldbach dont vous ne savez rien encore, attendez que je les publie pour en apprécier la qualité.
La vérité est une idole dont le mathématicien se met lui même au supplice...
Avec ce que tu expliques précédemment, est ce que tu as encore besoin des $U(n, m)$ pour définir ton crible ? Parce qu'en fait tu dis en général qu'il faut barrer de $n$ en $n$ à partir de $\dfrac{n^2 + 1}{2}$.
Ceci sur le plan calculatoire, je pense comme les autres que ça ne peut pas être plus intéressant qu’Ératosthène. Mais si mathématiquement c'est intéressant, au point de permettre de résoudre de vieilles conjectures, il y a ici qui sont preneurs.
Alors tu peux exposer !.
Cordialement.
Nicolas.
Patience, patience dans l'azur, chaque atome de silence est la chance d'un fruit mur.
Voici quelques éléments concernant le temps de calcul.
Je vais déterminer le nombre d'oppérations nécessaires dans mon crible et dans celui d'Eratosthène pour voir lequel des deux est le moins gourmand.
Pour aller jusqu'au nombres premiers 19 par exemple.
dans ma méthode:
on effectue 1+1=1
1+2=3
2+3=5
3+4=7
donc jusqu'ici 4 calculs fais d'additions
ensuite vient 4+5=9 qui est un élément à barrer
5+6=11
6+7=13
donc deux additions de plus
7+8=15 qui est un élément à barrer
8+9=17
9+10=19
En comptant toutes ces opérations on voit qu'elles sont au nombre de 10.
Dans le crible d'eratosthène:
1 est barré ce qui représente une oppération.
vient 2 qui nous permet de barrer de 2 en 2 jusque 18 ce quie représente 8 oppérations
Vient ensuite 3 qui nous permer de barrer de 3 en 3 jusque 18 aussi ce qui rajoute 5 oppérations
Vient ensuite 5 qui nous permet de barrer de 5 en 5 jusque 15 ce qui fait 3 oppérations.
Vient ensuite 7 qui nous permet de barrer de 7 en 7 jusque 14 ce qui fait 1 oppération.
Vient ensuite 11,13,17,19.
Soit un total de 18 oppérations.
On voit que mon crible est légèrement moins gourmand en calculs que celui d'Eratosthène pour générer le même nombre de nombres premiers.
ça dépend du programmeur. Ici aussi comme chez toi, $6$ est déjà barré. C'est Ératosthène dit autrement.
De rien.
Merci.
16+17=33
Mais comment génère tu le premier terme 5,13,25,41,61,... facilement?, la raison me semble être les nombres impaire en commençant par 3,non?
Par exemple pour le crible d'Ératosthène le premier terme est P^2 de raison P.
si je comprend bien tu fabrique un crible qui sort la suite.
$u_{i}=1,2,3,4,6,7,9,10,12,15,16,19,22,24,...$
Pour sortir les nombres premier qui pourait s'ecrire comme sa sauf que sa exclus 2 des nombres premier et sa introduit 1.
$p_{i}=2u_{i}-1=1,3,5,7,11,13,17,...$
En réinterprétant a ma sauce.
PS: Je ne suis pas mathématicien.
$$ En prenant $m=0$,
Pour n=1 on obtient numériquement 5
Pour n=2 on obtient numériquement 13
Pour n=3 on obtient numériquement 25
Et ainsi de suite...
Mon crible sort la suite des nombres premiers sans ajouter de 1 ni retrancher le 2. Pour vous en convaincre sachez que je commence par 1+1=2 qui élimine le 1 et fabrique le 2.
Cordialement.
[Latexification de la formule $U(n,m)$. AD]
RIEN du tout
pour générer le même nombre de nombres premiers.
J'espère que tu as conscience qu'Eratosthène savait déjà, qu'il était inutile d'utiliser les nombres premiers supérieur à la racine carrée de 19...ce que tu n'as pas l'air de comprendre....et si tu savais programmer , tu verrais que ton crible il va vite saturer la mémoire de ton PC...et sans aller très loin....!
Voici une variante du crible d'Eratosthène (il en existe beaucoup):
avec ton crible, crible le nombre de nombres premiers de 30 à 60 sans dépasser la limite n = 30 ;
c'est à dire:
indique le nombre...en criblant uniquement jusqu'à 30....
puisque tu sembles connaître la solution de la conjecture de Goldbach ...qui est un dérivé de ce crible....
Sachant que tu as déjà barré les multiples de 2,3 et 5 du fait qu'ils sont inutiles dans cette variante d'Eratosthène; il ne doit pas te rester beaucoup d'opérations, pour donner le résultat...?
La vérité est une idole devant laquelle le mathématicien se met lui même au supplice.
Modestement
Nicolas.
On peut voir les nombres premiers comme un signal (une supperposition de fréquence avec des harmoniques ) et donc toute la mathématique liée au traitement d'un signal pourrait être aussi une nouvelle approche du décriptage du "génôme" des nombres premiers.
Il est fort à parier que ce signal est des choses en rapport intime avec les propriétés de l'univers. Si la matière est faite de cordellettes vibrantes comme on le pense en théorie des cordes, il est fort à parier que ce soit les propriétés de ce signal des nombres premiers qui entre en jeu dans son expression mathématique. Il n'ya rien qui soit plus fondamental que les nombres premiers.Au lieu d'avoir une multitude (on parle 10 puissance 500 possibilités) de déclinaison possibles on n'en aurait plus qu'une seule c'elle qui en un point de sa structure mathématique fait intervenir les nombres premiers.En fait il faut trouver la même structure (et j'utilise bien le terme mathématique quand je parle de structure)Simple spéculation...
a condition que P soit 1,2,3,5,7,11,...
$U(n,m)=\frac{(2n+1)^2+1}2 +(2n+1)m$ pourait etre plus rapide avec $U(p,m)=\frac{(2p+1)^2+1}2 +(2p+1)m$
U(4,0)=U(1,12)
U(4,m) n'est peut être pas nécessaire car deja cribler par U(1,m) tout comme le crible d'Ératosthène
Par exemple le crible d'Ératosthène fonctionne avec les entier naturels le premier terme est n^2 de raison n mais est plus rapide avec P^2 de raison P car il n'est pas nécessaire de cribler plusieurs fois.
Si je ne me trompe.