intégrale impropre
Bonjour,
Je butte sur la compréhension de 2 problèmes d'intégrales impropres (dans un intervalle).
Le corrigé utilise une équivalence en +infini (à 1/racine(t)) pour conclure d'une intégrabilité dans l'intervalle.
Je n'arrive pas à comprendre pourquoi on peut utiliser cette équivalence au voisinage du point 0+ par exemple (premier problème).
Si vous pouvez m'aider à y voir plus clair...
Merci d'avance.
Je butte sur la compréhension de 2 problèmes d'intégrales impropres (dans un intervalle).
Le corrigé utilise une équivalence en +infini (à 1/racine(t)) pour conclure d'une intégrabilité dans l'intervalle.
Je n'arrive pas à comprendre pourquoi on peut utiliser cette équivalence au voisinage du point 0+ par exemple (premier problème).
Si vous pouvez m'aider à y voir plus clair...
Merci d'avance.
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Réponses
On n'est pas obligé de prendre un équivalent asymptotique.
On peut majorer sur $]0,1]$ l'intégrande par la fonction $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$
Sauf erreur, l'intégrande est strictement positive sur l'intervalle $]0;1]$ ce qui permet d'avoir recours à une estimation asymptotique toujours sauf erreur.
On a $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}} \sqrt{x}\times \left(\frac{\cos x}{\sqrt{x}}\right)=1$
PS:
Le critère d'intégration des fonctions $f_r(x)=\frac{1}{x^r}$ sur $[0;1]$ est, sauf erreur,
La fonction $f_r$ est intégrable sur $[0;1]$ si et seulement si $r<1$
Tu notes avec intérêt que l'équivalent est en $0$ et non pas en $+\infty$ : c'est une erreur typographique commise trois fois dans la correction. L'intégrale est impropre pour la borne inférieure $0$ ; on cherche donc un équivalent de l'intégrande en $0$ ; cet équivalent est intégrable en $0$ : on en déduit que l'intégrande est intégrable en $0$ et que donc l'intégrale converge.
Par contre, tu peux toujours considérer $\mid f \mid$ pour te ramener à ce cas-là.
Pour être sur que j'ai bien compris et pour le premier problème par exemple :
- ta première remarque serait que sur ]0,1], la fonction cos/racine t est toujours majorée par 1/racine t, comme les règles des intégrales de riemann disent que l'intégrale du majorant converge (car alpha=0.5 inférieur à 1) alors l'intégrale de notre fonction convergerait aussi
- ta deuxième remarque, serait de dire que l'équivalence en +infini entre les deux fonction serait également utilisable en
]0,1] car l'intégrale de notre fonction est positive c'est cela? si j'ai bien interprété tu t’appuie sur quel théorème?
Merci en tout cas pour ton aide....
Ce n'est pas parce qu'une fonction tend vers l'infini en une borne finie que cette fonction n'est pas intégrable.
(La fonction logarithme est continue et intégrable sur $[0;1]$ pourtant en 0+ la limite de cette fonction est infinie.)
Comme déjà indiqué on a pour tout $x>0$, $\displaystyle \mid\frac{\cos x}{\sqrt{x}}\mid<\frac{1}{\sqrt{x}}$ ta fonction est intégrable en $0$.
(dans le corrigé il n'est mentionné nulle part qu'on s'intéresse au signe de la fonction dont on utilise un équivalent asymptotique)
Pour la seconde et dernière fois : l’equivalent est en 0 et non pas en l’infini. C’est une erreur typographique dans la correction.