Égalité ensembliste et bijection

ikishie
ikishie
dans Combinatoire et Graphes
Bonsoir
Je réfléchis depuis un bon moment sur un problème d'égalité ensembliste en vain.
Je cherche à faire un démonstration par récurrence que #EB(A, B) = #A! où EB(A, B) est l'ensemble des bijections de A sur B.

Voici le problème j'ai besoin de l'égalité ensembliste qui relie EB(A, B) et EB(A\{a}, B\{b}) avec a € A, b € B.

Ma première idée a été de chercher une inclusion met mais c'est impossible car il n'y en a pas.

J'ai ensuite pris un exemple.
Soit A = B = {0,1}
Alors EB(A,B) = { { (0, 0), (1, 1) }, { (0, 1), (1, 0) } }
et donc
Alors EB(A\{0},B\{1}) = { { (1, 0) } }

Ça c'est correct on est d'accord (?) mais ça ne m'a pas beaucoup fait avancer.

J'ai repris EB(A,B) = n! <=> EB(A,B) = #A * EB(A\{a},B\{b}) mais comment traduire ça en égalité ensembliste.

Je suis vraiment perdu malgré tous mes essais.
Je ne cherche pas la réponse directe bien sûr mais quelque piste de recherche qui me ferrait progresser.
Merci d'avance pour votre aide.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Eh bien d'une certaine manière tu as bien une inclusion de $EB(A \setminus \{a\}, B \setminus \{b\})$ dans $EB(A,B)$. En effet, une bijection de $A \setminus \{a\}$ dans $B \setminus \{b\}$ se prolonge de manière unique en une bijection de $A$ dans $B$, vois-tu pourquoi ? Ceci te donne une injection $EB(A \setminus \{a\}, B \setminus \{b\})$ dans $EB(A,B)$.
  • ikishie
    ikishie
    [C'est très impoli de supprimer un message après qu'on a eu des réponses. Poirot]

    PS : Merci Poirot de ton intervention ma fois bien inutile ... J'ai supprimé le message bien avant les réponses à suivre car ce que j'y ai mis ne ne plaisais pas ! Aucun rapport avec la politesse ici. Je n'ai jamais manquer de respect au gens qui prendre du temps pour m'aider.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Soit $a$ un élément de $A$.

    Se donner une bijection de $A$ sur $B$ revient à se donner
    1°) un élément $b$ de $B$ qui est l'image de $a$ par la bijection,
    2°) une bijection de $A\setminus\{a\}$ sur $B\setminus\{b\}$, restriction de la bijection.

    Autrement dit, tu as une bijection entre l'ensemble des bijections de $A$ sur $B$ et l'ensemble des couples formés d'un élément $b$ de $B$ et d'une bijection de $A\setminus\{a\}$ sur $B\setminus\{b\}$.
  • ikishie
    ikishie
    Bien sur! Revenir sur la définition d'une bijection j'aurai du y penser.

    Afin de bien rédiger j'ai besoin de trouver l’écriture ensembliste.

    Une bijection de A sur B est alors $B(A, B) = B(A\setminus{\{a\}}, B\setminus{\{b\}}) \times (a,b)) $ avec $(a,b) \in A \times B$ (B(A,B) étant une bijection de A sur B.

    L'ensemble des bijection de A sur B devient $EB(A, B) = \bigcup_{a\in A} (EB(A\setminus{\{a\}}, B\setminus{\{b\}}) \times (a,b)) $ avec $b \in B$

    Ça semble correct ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Je ne comprends pas le sens de tes écritures. Je crois comprendre que tu vois une bijection comme une partie de $A\times B$. Soit. Mais quel sens donnes-tu à $B(A, B) = B(A\setminus{\{a\}}, B\setminus{\{b\}}) \times (a,b))$ ?
  • ikishie
    ikishie
    J'ai tenté d'appliquer le produit cartésien même si je ne suis pas sur de mon résultat.

    Une bijection de A sur B est alors B(A\{a}, B\{b}) X (a, b)

    J'ai pris un exemple avec $A = B = {0,1}$

    Soit $a = b = 0;$

    $B(A\setminus{\{a\}}, B\setminus{\{b\}}) = \{ (1, 1) \}$ (Une des bijections possible)
    $B(A\setminus{\{a\}}, B\setminus{\{b\}}) \times (a,b) = \{ (1, 1) \} \times \{ (0, 0) \}$
    $B(A\setminus{\{a\}}, B\setminus{\{b\}}) \times (a,b) = \{ (1, 1), (0, 0) \} $
    Or $B(A,B) = \{ (0, 0), (1, 1) \}$

    Donc $B(A\setminus{\{a\}}, B\setminus{\{b\}}) \times (a,b) = B(A, B)$

    Je fais une erreur où ça tient la route ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    ikishie écrivait:

    > $B(A\setminus{\{a\}}, B\setminus{\{b\}}) \times (a,b) = \{ (1, 1) \} \times \{ (0, 0) \}$
    > $B(A\setminus{\{a\}}, B\setminus{\{b\}}) \times (a,b) = \{ (1, 1), (0, 0) \} $

    Pour toi, $ \{ (1, 1) \} \times \{ (0, 0) \}= \{ (1, 1), (0, 0) \} $ ?
    À gauche, le produit cartésien d'un ensemble à 1 élément avec un ensemble à 1 élément : ça a combien d'éléments ?
    À droite, ton ensemble a combien d'éléments ?
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