Un dénombrement
Bonjour, je dois démontrer que : $$\sum_{p=0}^n (-1)^p C^p_n p^{n-1}=0.$$ (Extrait d'un des deux écrits de l'agreg interne 2013).
Quelqu'un peut-il me donner une piste ?
Cordialement.
Quelqu'un peut-il me donner une piste ?
Cordialement.
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Réponses
Or, on peut montrer par récurrence que $(1+x)^nf_n(x)$ est un polynôme de degré $n-1$. (pour passer de $n$ à $n+1$, remarquer que $f_{n+1}(x) = xf_n '(x)$). D'où le résultat.
Pour tout $k\le n-1$, dériver $k$ fois $f(x)=(x - 1)^n$ par la pensée et constater que $f^{(k)}(0)=0$.
Astuce de taupin, aussi vieille que la taupe;-)
Ou bien : formule d'inversion de Désiré André.
Lien avec les nombres de Stirling.
\[
(1-e^{t})^n = \sum_{k=0}^n \frac{S_k}{k!} t^k + o(t^n),\quad t \to 0.
\]
Comme par ailleurs $(1-e^t)^n \sim (-t)^n$. On en déduit que $S_k = \begin{cases}0 & \text{si } 0 \leq k \leq n-1\\
(-1)^n n! & \text{si } k = n\end{cases}$.
Remarque : ceux qui n'aiment pas l'analyse peuvent considérer à la place la série de Taylor formelle.
@Siméon : en partant d'un développement limité j'obtiens $$(1-e^t)^n=\big(-t-\frac{t^2}{2}-\cdots -\frac{t^n}{n}+o(t^n)\big)^n$$ et je ne parviens pas à en déduire ta formule $$(1-e^{t})^n = \sum_{k=0}^n \frac{S_k}{k!} t^k + o(t^n),\quad t \to 0.$$
@Guego : j'écris $$(1+x)^nf_n(x)=\sum_{k=0}^n C^k_n x^k \sum_{p=0}^{+\infty} (-1)^p p^{n-1} x^n$$ mais je ne parviens pas à en déduire que j'ai bien $\sum_{p=0}^n (-1)^p C^p_n p^{n-1}$ qui est le coefficient en $x^n$ de cela.
@zephir : pourquoi a-t-on alors $f^{(k)}(0)=0$, plus en détails ?
Merci à vous.
Pour la méthode de Siméon, tu pars dans le mauvais sens. Commence par appliquer la formule du binôme, puis effectue un DL des exponentielles.
Ensuite, par unicité des coeffs d'un DL tu en déduis le résultat annoncé en utilisant le fait que 1-e^t est équivalent à -t en 0.
À mon avis, c'est la méthode la plus simple...
Pour la méthode de Zephir, c'est lui qui s'est trompé. Je pense qu'il voulait dire $f^{(k)}(1)=0$ pour $k\in [0,n-1]$... mais je ne sais pas exactement où il comptait te faire aller avec ça.
Enfin, pour la méthode de Guego, là encore il y a un problème car la série qu'il évoque est grossièrement divergente !
Mais en fait, le problème vient surtout du fait qu'il y a une coquille dans ce que Guego voulait dire.
Il faut en fait considérer $f_n:x\mapsto \sum\limits_{p=0}^{+\infty}(-1)^p p^{n-1}x^p$ et non $x^n$ comme il était écrit.
Dans ce cas, il y a convergence sur $\left]-1,1\right[$... et tout se passe bien.
Je vais regarder les autres méthodes quand j'aurai un peu plus de temps.
Sinon pour éclaircir la méthode de zephir, on a pour $0\le k\le n-1$, $f^{(k)}(1)=0$ soit $\sum\limits_{p=0}^n C_n^p (-1)^{n-p} p(p-1)\cdots(p-k+1)=0$. Et comme la famille $\bigl(1,X,X(X-1),\ldots,X(X-1)\cdots(X-(n-1)+1)\bigr)$ constitue une base de $\R_{n-1}[X]$, on obtient le résultat.
[Inutile de recopier un message présent sur le forum, même de 3ans en arrière. Un lien suffit. AD]
Que voulez-vous dire par formule d'inversion de Désiré André ?