«Dévissage» de Grothendieck

Je ne suis pas spécialiste, mais c'est une notion notamment présente en théorie des groupes. Elle s'exprime de façon naturelle en termes de suites exactes. Je pense qu'une idée serait de commencer par se pencher sur cette dernière notion :-)

De façon très très vague : pour étudier une structure, on peut commencer par en identifier une sous-structure plus simple et chercher à ramener l'étude de la structure de départ à celle de la sous-structure et de la "structure-quotient" (encore un terme à définir).

Je complète par un exemple géométrique (qui ne fait pas vraiment intervenir de suite exacte mais qui je pense constitue quand même une forme de dévissage). Supposons que l'on veuille étudier les rotations de l'espace laissant globalement invariant un polyèdre, par exemple un cube. On peut commencer par se donner un sommet fixé de ce cube, et considérer séparément

1. l'orbite de ce sommet, c'est-à-dire l'ensemble des positions où l'on peut emmener ce sommet à l'aide d'une rotation. Il y en a 8 (car on peut emmener le sommet n'importe où en faisant tourner le cube) ;
2. le stabilisateur de ce sommet, c'est à dire l'ensemble des rotations de l'espace laissant fixe le cube dans sa globalité, mais aussi le sommet que l'on s'est donné. Il y en a 3 (ce sont toutes les rotations dont l'axe passe par le sommet fixé et par le sommet diamétralement opposé).

On peut alors se convaincre que cela implique qu'il y a exactement $8\times 3 = 24$ rotations de l'espace laissant globalement invariant le cube.

(D'un point de vue un peu plus technique, c'est un peu une suite exacte quand même, parce qu'on a une espèce de complexe $\text{Stab}\,s\to G\to \text{Orb}\,s$, où $s$ est le sommet et $G$ l'ensemble des rotations que l'on considère.)

Effectivement, c'est dans le fond un peu la même idée ! Dans l'exemple, on a huit cas de rotations (en regardant où va le sommet de départ), et trois types très simples de rotations autour d'un axe orienté fixe passant par un sommet (celles de 0, 1 ou 2 tiers de tours).

Pour avoir une vraie classification, c'est-à-dire une correspondance entre les rotations à étudier et les couples (cas, type), il faut choisir une convention sur la façon d'emmener le sommet de départ où on le souhaite, en choisissant une rotation pour chaque destination. Ensuite, une rotation quelconque se décomposera (dévissera !) d'une unique façon en 1° une rotation autour du sommet fixé au départ et 2° un déplacement emmenant le sommet vers sa destination.

Pour recentrer la réponse de façon moins verbeuse sur la question de la multiplication des sous-ensembles : c'est exactement ça, en choisissant des représentants de l'orbite du sommet, on obtient une bijection $G\to \text{Orb}\,s\times \text{Stab}\,s$. Enfin, plutôt $ \text{Orb}\,s\times \text{Stab}\,s \to G$.

(Remarque : un produit d'ensembles, cela peut être vu comme une "disjonction de cas de deux façons équivalentes" : $A\times B = \coprod\limits_{a\in A}\{a\}\times B = \coprod\limits_{b\in B}A\times \{b\}$.)

(En termes plus techniques : avoir une suite exacte, c'est bien, mais si on peut construire une section, c'est encore mieux.)