Somme de sin des exp approxime log ?
Bonsoir,
Je voulais calculer les sommes successives des $e^{\frac{2i\pi}{p}}$ avec $p$ les nombres premiers successifs à commencer par 2 et j'ai réalisé qu'il semblerait que la somme des sinus des mêmes exponentielles approxime le logarithme népérien.
Je voudrais savoir si c'est normal, si quelqu'un a une explication. Je ne crois pas m'être trompée en programmant mais peut-être que si, merci de me dire.
Cordialement,
Aline
Je voulais calculer les sommes successives des $e^{\frac{2i\pi}{p}}$ avec $p$ les nombres premiers successifs à commencer par 2 et j'ai réalisé qu'il semblerait que la somme des sinus des mêmes exponentielles approxime le logarithme népérien.
Je voudrais savoir si c'est normal, si quelqu'un a une explication. Je ne crois pas m'être trompée en programmant mais peut-être que si, merci de me dire.
Cordialement,
Aline
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Réponses
je n'ai pas compris de quoi tu parles, tes documents sont incompréhensibles (tu ne dis pas de quoi il s'agit). Tu ne dis pas non plus quelles sommes tu calcules exactement. N'importe comment, les exponentielles de $\frac{2i\pi}p$ sont des complexes et leurs sinus aussi. Quels logarithmes utilises-tu ?
Cordialement
Merci de la réponse et désolée du délai : j'ai voulu calculer ce qui est à gauche du à peu près égal et du coup j'ai constaté (peut-être) l'approximation ($\mathcal{P}$ dénote l'ensemble des nombres premiers) :
$
\sum\limits_{p \in \mathcal{P}, \;p \leqslant N}e^{\frac{2i\pi}{p}}\simeq \pi(N)+i \;ln(N)
$
J'ai compris pourquoi $\pi(N)$ dans le complexe à droite : c'était bête, le dénominateur augmente de plus en plus, l'angle du $e^{\frac{2i\pi}{p}}$ est de plus en plus minuscule, l'exponentielle elle-même se met donc à valoir 1 mais je ne comprends pas pourquoi en ajoutant les ordonnées des $e^{\frac{2i\pi}{p}}$, qui sont du coup des sinus, on finit par avoir une valeur qui ressemble au log népérien. Du coup, j'ai réessayé (c'est le programme en pj) à ne calculer que cela, la somme des sinus.
Cordialement,
Aline
Ensuite, pour l'explication, c'est très simple : au voisinage de 0, $\sin(x) =x+ O(x^2)$.
Or on sait que la somme des inverses des nombres premiers inférieurs à $N$ est équivalente à $\ln(\ln(N))$ et par sommation d'équivalents pour des séries divergentes, on en déduit que tu devrais trouver plutôt quelque chose de la forme de $2\pi \ln(\ln(N))$.
On peut même être plus précis sur le développement asymptotique attendu, mais je doute que cela t'intéresse.
Si, cela m'intéresse de savoir pourquoi dans la première somme de mon premier post, il y a presque le ln en partie imaginaire.
J'ai corrigé l'erreur et fait tourner le nouveau programme sans le im en trop, merci de m'avoir indiqué l'erreur. On arrive à 8 et quelques alors que le $2\pi ln(ln(N))$ donne plutôt 16.
Si vous parvenez à quelque chose, merci de me le dire.
Cordialement,
Aline
Enfin, il existe une fonction "sum" et une constante "pi" en Python...
Oui, je sais, le programme initial en C++ calculait la somme des exp, la partie réelle donnait bêtement $\pi(x)$ comme je l'ai expliqué plus haut. Voyant que la partie imaginaire ressemblait au ln, j'ai voulu ne calculer que celle-là. D'où la somme des sin, etc.
Cordialement,
Aline
Avec ton programme, tu as calculé $$
\sum_{k\in\mathcal{P},k\leq N} \sin\Big(e^{\tfrac{2i\pi}{k}}\Big)
$$ alors que tu voulais calculer $$
\sum_{k\in\mathcal{P},k\leq N} \sin\left(\frac{2\pi}{k}\right)
$$ Cette fois, tu vois la différence, non ?
Bien, maintenant que ceci est établi, j'affirme que l'équivalent que je t'ai donné est bon. Cependant, pour obtenir une valeur approchée, il est très loin d'être suffisant !!
Apparemment, $\displaystyle \sum_{k\in\mathcal{P},\,k\leq N} \sin\Big(\frac{2\pi}{k}\Big) - 2\pi \ln\big(\ln(N)\big)$ semble converger vers une valeur proche de $-3.2222...$ mais il faudrait aller bien au-delà de $N=10^7$ pour avoir une valeur plus précise (et il serait fort étonnant de tomber sur une valeur aussi simple que $-\dfrac{29}{9}$).
L'erreur effectuée semble être alors un $\mathcal{O}(\frac{1}{N})$... mais là encore, c'est purement expérimental.
Je voulais bien calculer ce que vous avez écrit en premier.
Merci d'y avoir réfléchi.
Aline Delves
\begin{eqnarray*}
\sum_{p \leqslant x} \sin \left( \frac{2 \pi}{p} \right) &=& \sum_{p \leqslant x} \frac{2 \pi}{p} + \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k (2 \pi)^{2k+1}}{(2k+1)!} \sum_{p \leqslant x} \frac{1}{p^{2k+1}} \\
&=& 2 \pi \left( \log \log x + B + O \left( \frac{1}{\log x} \right) \right) \\
& & {} + \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k (2 \pi)^{2k+1}}{(2k+1)!} \left( \sum_p \frac{1}{p^{2k+1}} - \sum_{p > x} \frac{1}{p^{2k+1}} \right) \\
\end{eqnarray*}
où $B \approx 0,26149 \dotsc$ est la constante de Mertens. Si $S \approx -4,865$ désigne la (somme de) la série
$$\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k (2 \pi)^{2k+1}}{(2k+1)!} \sum_p \frac{1}{p^{2k+1}}$$
et en utilisant la majoration
$$\sum_{p > x} \frac{1}{p^{2k+1}} = O \left( \frac{1}{x^{2k} \log x} \right)$$
on obtient
$$\sum_{p \leqslant x} \sin \left( \frac{2 \pi}{p} \right) = 2 \pi \log \log x + A + O \left( \frac{1}{\log x} \right)$$
avec
$$A := 2 \pi B + S \approx -3.222 \dotsc$$
Le terme d'erreur n'est pas optimal et peut être amélioré avec le Théorème des Nombres Premiers.
Ce que tu cherches à approcher, c'est: $$\Im\left(\sum_{k\in\mathcal{P},k\leq N} \sin\left(e^{\frac{2i\pi}{k}}\right)\right)=\sum_{k\in\mathcal{P},k\leq N} \cos\left(\cos\left(\frac{2\pi}{k}\right)\right)\times \text{sh}\left(\sin\left(\frac{2\pi}{k}\right)\right)$$
Du coup, l'équivalent est plutôt $2\pi\cos(1) \ln(\ln(N))$ et la différence semble converger vers $-0.321...$
Je ne sais pas mais vous avez l'air intéressé du coup, je vous explique. Je voulais au départ représenter les entiers par leur séquence de restes modulaires (un reste mod 2, un reste mod 3, une infinité de restes pour chaque entier).
cf val1.jpg
Du coup,
cf val2.jpg, val3.jpg
Mais malheureusement,
cf Capture...
Donc je ne sais pas.
En plus, sincèrement, vous écririez n'importe quoi que je ne pourrais pas en juger.
Merci.
Aline
Bonne soirée.
Aline
$$\sum_{p \leqslant x} e^{2 i \pi/p}$$
de manière théorique, c'est-à-dire hors de considérations algorithmiques. Je pense en effet qu'avant de se lancer dans divers programmes pour calculer quelques valeurs de cette somme pour des $x$ donnés, une recherche d'une bonne formule asymptotique est important pour guider les calculs.
Dans ce que j'ai fait plus haut, il y a des choses faciles (série entière de sinus), et d'autres moins faciles (estimations de sommes avec des nombres premiers) qui nécessitent quelques connaissances supplémentaires (mais, après tout, tu sembles connaître la fonction $x \longmapsto \pi(x)$, donc j'ai supposé que tu avais quelques connaissances sur ce sujet).
Reprenons :
1. Notations. Je pose les sommes
$$C:= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k (2 \pi)^{2k}}{(2k)!} \sum_{p} \frac{1}{p^{2k}} \quad \textrm{et} \quad S:= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k (2 \pi)^{2k+1}}{(2k+1)!} \sum_{p} \frac{1}{p^{2k+1}}$$
dont on vérifie aisément que les séries convergent. Un bon calculateur donne $C \approx -5,151$ et $S \approx -4,865$.
Je rappelle aussi que, par convention (c'est comme ça que l'on fait toujours en arithmétique), une somme indicée par la lettre $p$ ne porte que sur les nombres premiers. Inutile ainsi d'alourdir la notation avec des écritures du genre $\displaystyle \sum_{\substack{p \in \mathcal{P} \\ p \leqslant N}}$.
De plus, inutile de se restreindre aux entiers $N$, il est plus pertinent d'étendre les sommes aux réels $x \geqslant 2$, ce que je ferai toujours ci-dessous.
2. On découpe ta somme en deux :
$$\sum_{p \leqslant x} e^{2 i \pi/p} = \sum_{p \leqslant x} \cos \left( \frac{2 \pi}{p} \right) + i \sum_{p \leqslant x} \sin \left( \frac{2 \pi}{p} \right).$$
3. On effectue les calculs que j'ai fait hier dans mon message plus haut (séries entières, etc), ce qui donne
\begin{eqnarray*}
\sum_{p \leqslant x} \cos \left( \frac{2 \pi}{p} \right) &=& \pi(x) + C + O \left( \frac{1}{x \log x} \right) \\
& & \\
\sum_{p \leqslant x} \sin \left( \frac{2 \pi}{p} \right) &=& 2 \pi \log \log x + 2 \pi B + S + O \left( \frac{1}{ \log x} \right)
\end{eqnarray*}
où $B \approx 0,261497 \dotsc$ s'appelle la constante de Mertens. Ainsi, pour $x \geqslant 2$ assez grand (mais même s'il n'était pas si grand, les calculs ci-dessus seraient corrects en ajustant les constantes impliquées dans les termes d'erreur) :
$$\sum_{p \leqslant x} e^{2 i \pi/p} = \pi(x) + C + i \left( 2 \pi \log \log x + 2 \pi B + S \right) + O \left( \frac{1}{ \log x} \right).$$
Autrement dit
$$\sum_{p \leqslant x} e^{2 i \pi/p} \approx \pi(x) -5,151 + i \left( 2 \pi \log \log x -3,222 \right)$$
avec une erreur qui ne dépasse pas $\dfrac{c_0}{\log x}$, où $c_0 > 0$ est une constante qu'il est toujours possible de calculer (même si c'est en pratique un peu pénible).
C'est OK ?
Cependant, Aline semble vouloir un autre développement, avec un sinus supplémentaire (même si je ne vois pas bien l'utilité).
J'ai vu effectivement ce que tu avais "traduis" de cet(te) intervenant(e).
Je suis revenu à la charge après son dernier message où il (elle) semblait vouloir calculer la somme $\displaystyle \sum_{p \leqslant x} e^{2 i \pi / p}$.
Je te rejoins sur ce point : d'un point de vue purement arithmétique, cette somme est d'un intérêt nettement plus grand que celle avec un sinus supplémentaire. Ceci étant, les deux se traitent de la même façon.
Par ailleurs, je confirme toutes tes approximations (ce qui ne m'étonne guère, tous les messages que j'ai pu lire de toi étaient toujours extrêmement clairs et précis (tu)).
Noix de totos, merci pour les calculs ; je farfouille dans mes carnets et je retombe ici. J'avais trouvé qu'une somme de somme de cos était annulée par les nombres premiers : somme de somme de cosinus et cette formule a été démontrée par Victor Varyn ici démo. sumsumcos
Mais la somme ci-dessus de cos qui donne directement $\pi(x)$ me plaît vraiment bien aussi, car je trouve qu'elle montre bien la manière dont l'opérateur global qu'on cherche est une sorte de mélange de plein d'opérateurs circulants, chacun d'eux correspondant à l'un des exp, qui fait tourner sur le cercle unité de racine en racine.
Comme vous avez bien compris que je fais des maths comme M. Jourdain fait de la prose, merci de me dire si cela présente un intérêt, ou bien si ça découle de choses qui existent déjà, et qui les impliquent, dans la mesure où vous avez écrit que vous travaillez dans le domaine de la théorie des nombres.
Tous mes voeux pour 2021.
Denise Chemla
Comme d'habitude, je note $e(x)= e^{2 \pi i x}$ et $S(n) := \displaystyle \sum_{k=2}^{n-1} \ \sum_{h=1}^k e \left( \frac{nh}{k} \right)$.
Si $p$ est premier, $\forall k \in \{2, \dotsc,p-1\}$, on a $k \nmid p$ et donc $e(p/k) \neq 1$, d'où, en notant que la somme intérieure est la somme de termes d'une suite géométrique
$$S(p) = \underbrace{\left( 1-e(p) \right)}_{= \, 0} \ \sum_{k=2}^{p-1} \frac{e(p/k)}{1-e(p/k)} = 0.$$
Si $n$ n'est pas premier, on découpe la somme en deux selon les valeurs de $k$ qui divisent $n$ et les autres :
$$S(n) = \left( \sum_{\substack{k=2 \\ k \mid n}}^{n-1} + \sum_{\substack{k=2 \\ k \nmid n}}^{n-1} \right) \sum_{h=1}^k e \left( \frac{nh}{k} \right).$$
Dans la $1$ère somme, la raison est égale à $1$, pas dans la seconde, d'où
$$S(n) = \sum_{\substack{k \mid n\\ 1 < k < n}} k + \left( 1-e(n) \right) \ \sum_{\substack{k=2 \\ k \nmid n}}^{n-1} \frac{e(n/k)}{1-e(n/k)} = \sigma(n) - (n+1).$$
Merci de la réponse. Ma question est "est-ce que cela apporte quelque-chose ou pas ?".
Ou dit autrement, concernant la somme de somme de cosinus, dans la mesure où je ne l'avais lue nulle part lorsque je l'ai trouvée en lisant des échanges du forum sur un sujet ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,892412,892599 et en remplaçant l'intégrale par une somme, est-ce que pour tous c'était trivial, pourquoi précisément cela n'a pas d'intérêt.
Et concernant la seconde somme sur les premiers $\sum_{p<=x}\left(cos(\frac{2\pi}{p})\right)+...= \pi(x)$, écrite par noix-de-totos, merci de me dire pourquoi elle n'apporte rien non plus (je ne sais pas, ça pourrait être sans intérêt du fait de problèmes de précision dans les calculs sur les décimales des cosinus, ou autre).
En fait, je ne comprends pas le désintérêt parce qu'en novice, il me semble que plein de choses sont connues sur les cosinus, exponentielles, etc.
Merci.
Cordialement,
Denise Vella-Chemla
La seconde somme n'apporte pas grand-chose non plus, confirmant simplement l'adage : si $x$ est proche de $0$, alors $\cos(x)$ est proche de $1$.
C'est sûrement pour cette raison que personne ne l'a jamais écrit alors ! Les gens doivent être à la recherche de choses ébouriffantes.
Cordialement,
Denise Vella-Chemla