Deux groupes isomorphes

sdoula · October 2017

Je voulais savoir la définition exacte de deux groupes isomorphes.

Tout d'abord, un isomorphisme implique une bijection, donc il faut déjà que les des ensembles puissent être mis en bijection.
Pour des ensembles finis, ça veut dire avoir le même nombre d'éléments, et même pour des ensembles infinis, ça donne des choses.
Donc deux groupes sont isomorphes si et seulement si ils ont le même ordre.
Par exemple le cas du groupe diédral D8 et le groupe quaternion H8.

Poirot · October 2017

Non, tu l'as dit toi-même, deux groupes isomorphes sont en bijection, mais la réciproque est fausse. Par exemple $\mathbb Z/4 \mathbb Z$ et $\mathbb Z/2 \mathbb Z \times \mathbb Z/2 \mathbb Z$ ont le même cardinal mais ne sont isomorphes (exercice). Par contre il est vrai que si deux groupes sont isomorphes alors ils ont le même cardinal.

Deux groupes sont dit isomorphes lorsqu'il existe un morphisme de groupes entre les deux qui est bijectif.

soland · October 2017

Non.
Le groupe diédrique $D_4$ a un seul élément d'ordre 4 alors que
le groupe quaternionique $Q_8$ en a six.

b.b · October 2017

Les isomorphismes de groupes conservent l'ordre des éléments. $H_{8}$ n'est pas isomorphe à $D_{4}$ vu qu'il contient six éléments d'ordre quatre.

hunter** · May 2022

Bonsoir, je reviens sur ce sujet avec cette question : si G ={x1,x2,,,,,xn} et G'={y1,y2,,,,,yn} sont deux groupes tels que: xi et yi ont le même ordre qq soit i variant de 1 à n alors G et G' sont isomorphes?, Bonne nuit.

Vincent · May 2022

@soland : les éléments d'ordre 4 viennent toujours par paire : si $x$ est d'ordre 4 alors $x^{-1}$ l'est aussi et est différent de $x$ (précisément car l'ordre est 4 et pas 2) : $D_4$ a deux éléments d'ordre 4, la rotation d'angle $\pi/2$ et celle d'angle $-\pi/2$.

AD · May 2022

Bonsoir Hunter**

Il existe des groupes qui ont le même cardinal, et une bijection entre eux telle que les éléments qui se correspondent ont le même ordre, et pourtant ces groupes ne sont pas isomorphes.

Le premier exemple fini est d'ordre 16, l'un est le produit direct $C_8\times C_2$ et l'autre est le produit semi-direct $C_8\rtimes_\phi C_2$, où $\phi : C_2\to\mathrm{Aut}(C_8)$ est défini par $\phi=(a\mapsto a^5)$, où $a$ est un générateur du cyclique $C_8$. Ces groupes ne sont pas isomorphes, l'un est commutatif et l'autre pas. Pourtant ces deux groupes ont 8 éléments d'ordre 8, 4 d'ordre 4, 3 d'ordre 2 et bien sûr le neutre d'ordre 1.

D'ordre 16, il existe même trois groupes non isomorphes ayant 12 éléments d'ordre 4, 3 d'ordre 2 et le neutre d'ordre 1. L'un d'eux est $C_4\times C_4$ commutatif, le second est $\mathbb H_8\times C_2$ et le troisième le produit semi-direct $C_4\rtimes_\phi C_4$, où le deuxième $C_4$ agit sur le premier par inversion.

Cette situation est assez fréquente. Ainsi d'ordre $27=3^3$, le groupe additif (donc commutatif) de l'espace vectoriel de dimension 3 sur le corps $\mathbb F_3$ admet 26 éléments d'ordre 3 et le neutre d'ordre 1, tout comme le groupe des matrices triangulaires supérieures $3\times 3$ sur $\mathbb F_3$, de diagonale formée de $1$ (C'est le 3-Sylow de $\mathrm{GL}_3(\mathbb F_3)$, il n'est pas commutatif), dont toutes les matrices sont d'ordre 3 sauf le neutre.

Alain