N=6^m (base 10)
dans Arithmétique
Quel est le plus petit "m" tel que N commence par 9 ?
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Réponses
ceci c'est la nuit (tu auras compris que je rêvasse un peu)
$6^5=7776$ et 7776...plus haut
5+9=14
$6^{14}=7836.....$ et 7836...plus haut
14+9=23
$6^{23}=7897..........$ et 7897...plus haut
23+9=32
$6^{32}=7958...............$ et 7958...plus haut
32+9=41
$6^{41}=8020...........$ et 8020...plus haut
41+9=50
$6^{50}=8082 ..............$ et 8082 plus haut
50+9=59
$6^{59}=8145..............$ et 8145 plus haut
à cette vitesse des augmentations des plus hauts j'ai le choix entre
soit aller dormir
soit changer de méthode
mais je n'ai pas le temps ni pour l'un, ni pour l'autre
176=5+9.19
ça colle
"Il est remarquable qu'une branche de l'arithmétique permet(te) de répondre à coup sûr à la question :
- Quel est le chiffre de droite de l'écriture, dans telle base, du résultat de telle opération ?"
C'est la théorie des congruences. Il est non moins remarquable (mais sans doute moins remarqué) que
cette même arithmétique ne permet(te) pas de répondre aussi facilement à la question :
- Quel est le chiffre de gauche de l'écriture, dans telle base, du résultat de telle opération. "
http://www.apmep.fr/IMG/pdf/BV_330_-_pb.pdf
PS. Même question avec huit $9$.
non
cette nuit je t'ai répondu
les autres aussi
essaye de sentir les gens camarade
tu saura tout faire sans harceler les gens camarade
Vérification : Et ça marche parce que le deuxième est plus petit que le premier.
Vérification plus rapide :
@Math Coss https://goo.gl/nMF5cQ , impressionnant !
à qui je parlerais ?
176=5+9.19
Pour tester un exposant $n$, il s'agit de voir si $n\theta-\lfloor n\theta\rfloor$ est assez proche de $1$, où $\theta=\ln(6)/\ln(10)$ (calculé une fois pour toutes). Il faut donc faire une multiplication, une partie entière, une soustraction et une comparaison à un nombre fixé : ça se fait pratiquement en temps constant (j'ai pris 100 chiffres dyadiques, c'est un peu trop). Mais il y a 500 millions de tests...
NB : Il serait beaucoup plus (trop ?) long de calculer des puissances entières que de manipuler des valeurs approchées. Avec des calculs exacts, il faut constater que $6^{500\,000\,000}$ a plus d'un milliard de chiffres en base $2$, rien que le stocker en mémoire est coûteux.
évidement tu as raison
mais je répondais à ta question
a qui je parlais sur ton fil
mon psy s'alarme là (je vais le rassurer excuse)
@fluorhydrique, 6^m signifie 6 à la puissance m
Ainsi 6^2=6² = 6*6 = 36, ou encore 6^5 = 6*6*6*6*6 = 7776 comme tu l'as écrit.
Mais, par exemple, pour avoir 8 chiffres 9 au début du nombre , le calcul de Math Cross donne bien
6^506664857 ( soit 6 à la puissance 506664857)
= 9.999999912594212898348648901456385011912757728893... × 10^394261891
c'est à dire un nombre gigantesque en cliquant sur "More digits" ici https://goo.gl/nMF5cQ,
ce qui dépasse d'ailleurs l'affichage Wolfram, car a 394261892 décimales !
je m'excuse
je n'avais pas compris ce topic
ok donc $6^{176}=6.6... $ bref 176 nombres 6
bon l'erreur est humaine
Bisou!
Mais d'où sortent donc toutes ces décimales, s'agissant d'un entier à une puissance entière ?
1, 5, 293, 595, 166307, 830345, 5314089, 31054189, 863372858, 1845648383,
84036452760, 920709683594, 2259755982605, 49128222096373,153243224553340 ...
Tant que tu y es, GaBuZoMeu, toi qui sais tout faire, peux tu nous donner un équivalent du terme général $u_n$ de ta suite, et pourquoi pas la somme de la série de terme général $\dfrac{1}{u_n}$ ?
Cordialement,
Rescassol
Chers intervenants, existe-t-il une stratégie "matheuse" qui puisse se passer d'un logiciel ?
Par exemple pour répondre à la première question (puissance de 6 qui commence par un 9).
Mais...l'ai-je loupée d'ailleurs dans tous ces échanges numériques ?
6^-9 = 9.922903× 10^-8
Sinon, l'article en lien suggère une stratégie reprise par Fluorhydrique que l'on peut suivre à la main, si on a du courage. On calcule les puissance successives de $6$. On constate que $6^9\simeq 1,00777\times 10^7$ et que le plus grand premier chiffre pour les puissances jusqu'à $9$ est obtenu pour $6^5=7776$. On cherche le plus petit $k$ tel que $6^{5+9k}$ commence par $9$.
log(10, (1+1/d)) = 0.04575749..., pour d=9 (le plus rare)
Il y a bien équirépartition de la suite des parties fractionnaires $\{n\log6\}$ de $n\log6$ (où le $\log$ est de base $10$). Les puissances qui commencent par le chiffre $c$ correspondent aux entiers $n$ tels que $\{n\log10\}$ appartient à $[\log(c),\log(c+1)]$, qui est de largeur $\log(1+1/c)$. C'est bien la loi de Benford en effet.
C'est plus visible en prenant les puissances d'un nombre proche d'une puissance de 10 : 9, 11, 99, 101...
Logiquement, puisque l'exponentiation et le passage au logarithme sont des fonctions réciproques.
1 077; 624; 450; 342; 284; 238; 210; 180; 165
3 570 puissances car c'est la fin d'une série de 9 comme premier chiffre (toutes les 9 occurrences, comme l'avait déterminé fluo).
L'écart à la loi de Benford est de +/- 1,5 % maxi (rapport de la fréquence constatée à la fréquence théorique compris entre 0,985 et 1,015).
1.2345678910111278140065933568\cdot10^{114473344218840}.\]
Là, grâce à la remarque de GaBuZoMeu, au contraire de ce calcul, on est avancé !
2) "Benford numbers Law applied to Riemann's Zeta function digits" https://goo.gl/4nCttu
posté par Henk Koppelaar (Prof. Dr. Em. in Computer Science at Delft University of Technology) sur https://www.linkedin.com/groups/4510047
Avec un peu de méthode et de la patience, oui.
Ce n'était pas passé inaperçu, pour ma part, mais je n'ai pas compris pour être franc.
C'est un phénomène psychologique. Nous sommes tellement habitués à la base dix que lorsque nous sommes en présence d'un nombre entier naturel nous pensons uniquement à son écriture dans la base dix, sauf lorsque se pose justement une question concernant les bases de numération. Et donc lorsque nous voyons « 10 » nous pensons à 9+1 alors que, je le répète, comme chacun sait, toutes les bases sont 10.
Les entiers de 0 à 9 ont la chance d'avoir chacun un symbole pour le représenter, ça s'appelle des chiffres. Le nombre 9+1 devrait aussi en avoir un, comme $\pi$ ou $e$, quitte à ne l'employer que pour préciser qu'on se place dans cette base 9+1, autrement dit « dix » . En hexadécimal c'est $A$ si je ne me trompe, mais ce n'est pas bien spécifique.
Il y a bien des années était paru chez Dunod un livre consacré à la promotion du système de numération duodécimal :
« Douze, notre dix futur » et l'auteur préconisait, si ma mémoire est bonne, un 2 à l'envers pour dix et un 7 à l'envers pour onze.
Bon c'est juste un peu de blabla.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
C'est l'écriture « 10 » dans le titre qui te gêne. Et tu voudrais voir écrit cela « dix ».
C'est très vrai.
J'avais eu cette réflexion en maîtrise, justement sur ces considérations. La leçon du jour portait sur ces questions de bases.
Le pire, c'est que j'étais le seul à scander que les énoncés d'exercices utilisait l'écriture en base 10 dix tacitement, et qu'il fallait par souci de rigueur au moins le dire.
À l'oral c'est assez merdique d'ailleurs.
Je me souviens d'une phrase "célèbre" parmi les miens (en Deug 1), dans un amphi, où le prof avait calmé une majorité de l'auditoire.
C'était pourtant pas grand chose, mais il l'avait dit assez vite pour surprendre les plus assidus.
Professeur d'informatique : « Dix en base deux c'est deux en base dix ! »
On doit aussi àJean Essig : La Duodécimalité : chimère ou vérité future ?, Les Conférences du Palais de la découverte. Série A. N° 224, 15 décembre 1956, Université de Paris.
Je crois me rappeler qu'il n'était pas un mathématicien mais un haut fonctionnaire Son fils Philippe Essig a eu une brillante carrière.
Je persiste à penser que nous aurions besoin d'un symbole universel comme $\pi$ ou $e$ pour désigner ce nombre dix = 9+1. On pourrait l'appeler $X$ par révérence envers nos ancêtres Romains. Qu'en dites-vous ?
Bonne journée. Vivement l'été, le bel été, le vrai été.
Fr. Ch.
Qu'est-ce qui est plus facile ? Imposer «$X=10$» ou $\tau=2\pi$ ?
Le symbole $X$ pour dix n'est en effet pas une bonne idée, mais je suis étonné que personne ne pense à cette question. On doit donc désigner ce nombre dix par $9+1$ ou $2 \times 5$, c'est bien triste. Au fond le 2 renversé de Jean Essig pouvait être une bonne idée, mais comment l'écrire ici ? Je ne sais.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Mots croisés - page 61 https://goo.gl/FUUtmt
Solution – page 55 https://goo.gl/4dEVuv , avec mention de l’horizontal
« VII - A été par douze, mais je l'ai maltraité. » -> Esgsi ( Jean Essig était polytechnicien )
Il y a la préface de son livre page 36 https://goo.gl/fGXMha