Dix questions sur l'intuitionnisme
Ici http://www.intuitionism.org/ se trouvent (en anglais) dix questions légèrement provocantes sur l'intuitionnisme.
En principe n'importe qui peut y répondre mais il semble que la dernière modification du site date de 2008 donc je ne sais pas trop ce qu'il en est...
En principe n'importe qui peut y répondre mais il semble que la dernière modification du site date de 2008 donc je ne sais pas trop ce qu'il en est...
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Réponses
Le contexte permet de choisir laquelle des deux approches ci-dessus est pertinente.
La réponse à $6$ est connue (sous réserve que la thèse de Church-Turing est vraie... Mais qui en doute
Pour ta deuxième objection:
Si pour chaque problème il y a une machine particulière qui le résout, alors prenons un problème spécifique comme "ZFC démontre-t-il 0=1"?
Toutes mes machines sont numérotées (cf Church plus haut): elles forment une liste $(M_n)_{n\in \N}$; à l'étape $n$, j'effectue $n$ étapes de calcul sur chacune des machines $M_0,M_1,M_2,M_3,...,M_n$ et je regarde parmi celles qui se sont arrêtées, si l'une a répondu.
S'il y a une machine qui résout spécifiquement "$ZFC\vdash 0=1$?" alors en temps fini on prouve que $ZFC$ est contradictoire peu importe la réponse.
On a la même chose avec Peano ou d'autres théories plus rudimentaires.
On peut aussi résoudre le problème de l'arrêt etc.
1) non
2) non
3) non
4) non
5) non
6) Non!
7) #
8) oui
9) oui
10) #
Pour que tes réponses fassent sens pour les lecteurs, je vais recopier les questions:
Questions
1.Do you agree that it is impossible to define a total function from the reals to the reals which is not continuous?
2.Do you agree that the intermediate value theorem does not hold the way that it is normally stated?
3.Do you agree that there are only three infinite cardinalities?
4.Do you agree that the continuum hypothesis is a meaningful statement that has a definite truth value, even if we do not know what it is?
5.Do you agree that the axiom which states the existence of an inaccessible cardinal is a meaningful statement that has a definite truth value, even if we do not know what it is?
6.Do you agree that for any mathematical question it is easy to build a machine with two lights, yes and no, where the light marked yes will be on if it is true and the light marked no will be on if it is false?
7.Do you agree that for any two statements the first implies the second or the second implies the first?
8.Do you agree that a constructive proof of a theorem gives more insight than a classical proof?
9.Do you agree that mathematics can be done using different kinds of reasoning, and that depending on the situation different kinds of reasoning are appropriate?
10.Do you agree that all mathematical truths are true, but that some mathematical truths are more true than other mathematical truths?
Traduction au prochain post.
2.Etes-vous d'accord que le théorème des valeurs intermédiaires n'est pas valide dans la façon dont il est habituellement formulé?
3.Etes-vous d'accord qu'il n'y a que trois cardinalités infinies?
4.Etes-vous d'accord que l'hypothèse du continu est une proposition ayant un sens, et une valeur de vérité bien définie, même si on ne la connaît pas?
5.Etes-vous d'accord que l'axiome qui affirme l'existence d'un cardinal inaccessible est une proposition ayant un sens, et une valeur de vérité bien définie, même si on ne la connaît pas?
6.Etes-vous d'accord que pour toute question mathématique il est facile de construire une machine avec deux lumières, oui et non, pour laquelle la lumière "oui" va s'allumer si elle est vraie et la lumière "non" va s'allumer si elle est fausse?
7.Etes-vous d'accord que de deux propositions la première implique la deuxième ou la deuxième implique la première?
8.Etes-vous d'accord qu'une preuve constructive d'un théorème offre une meilleure compréhension qu'une preuve classique?
9.Etes-vous d'accord que les mathematiques peuvent être faits en utilisant différents types de raisonnements, et qu'en fonction de la situation différents types de raisonnements sont appropriés?
10.Etes-vous d'accord que toutes les vérités mathématiques sont vraies, mais que certaines vérités mathématiques sont plus vraies que d'autres vérités mathématiques?
PS. La traduction est mauvaise : "total" a sauté.
1. non (définir ou calculer n'est pas la même chose...)
2. non.
3. non.
4. non (sens oui valeur de vérité non).
5. idem.
6. non (parce que certaines questions n'ont pas de valeurs de vérité).
7.dépend de ce qu'on appelle implique: $\to$ classique, $\to$ intuitionniste ou $\vdash$?
8. non.
9. dépend de ce qu'on appelle "type de raisonnement" mais j'ai envie de dire non. Toutes les mathématiques sont déductives, quels axiomes on s'autorise est une autre question.
10. Mu (les termes de la question ne sont pas et ne peuvent pas être définis).
Gabuzomeu: effectivement, je modifie ça illico.
Personnellement je ne suis pas d'accord avec cet argument: comme je l'ai dit, on peut bien définir quelque chose sans pour autant être capable de le calculer. Un autre exemple: la fonction qui va des machines de Turing vers $\{0,1\}$ et qui vaut $1$ si et seulement si son argument est une machine de Turing qui termine.
@GaBuZoMeu: en fait ça dépend du sens qu'on veut bien donner à "totale". Les réels sont quand même des objets de ZFC, et dans ce contexte je vois mal une fonction totale de $\R$ dans $\R$ être autre chose qu'une fonction dont l'ensemble de définition est $\R$...
Dans mettons ZFI je n'arrive pas à me convaincre de ce qu'on manipule les "vrais" nombres réels (déjà que $P(\{0,1\})$ y est assez spécial).
Tu te places sur le terrain "Je ne suis pas d'accord ". Si c'est une question d'opinion subjective, on n'en sort pas. Objectivons la question en prenant pour modèle des réels intuitionnistes le faisceau des fonctions continues sur un espace topologique $X$ (l'objet des réels de Dedekind dans le topos des faisceaux sur $X$). La valeur de vérité de $x>0$ (pour $x$ fonction continue $X\to \R$) est l'ouvert où $x>0$; la valeur de vérité de $x\leq 0$ est l'intérieur du sous-ensemble où $x\leq 0$. Il n'y a bien sûr aucune raison pour que la réunion de ces deux ouverts soit $X$ tout entier.
Le même procédé d'objectivation montre que la réponse à 2. est aussi oui.
PS. @Foys : ZFC, ce n'est pas précisément de l'intuitionnisme !
Ce avec quoi je ne suis pas d'accord, c'est ce que tu appelles "processus d'objectivisation". Pour moi "les réels" c'est les bon vieux réels de ZFC et tous les prédicats n'ont pas à être décidables.
Plusieurs réponses soulignent ce point d'ailleurs: s'ils posaient des question bien définies, il n'y aifait pas de polémique. C'est le vague des termes utilisés qui fait que tout le monde n'est pas d'accord.
S'il sagit d'un test du genre "que savez-vous sur l'intuitionnisme" alors mes réponses sont différentes bien sûr.
Même si je ne suis pas d'accord avec.
-le théorème des valeurs intermédiaire est faux
-mais toute fonction de "$\R$" dans lui-même est continue?
Que penses-tu des deux questions suivantes? Demandent-elles la même chose?
1° Existe-t-il un chiffre parmi 0,1,2...,9 apparaissant une infinité de fois dans le développement décimal de pi?
2° Peut-on déterminer parmi les chiffres de 0,1,...,9, un chiffre qui apparaît une infinité de fois dans le développement décimal de pi?
En informatique, peu importe la façon dont les réels sont codés, on n'a typiquement jamais de fonction programmable qui donne cette information, i.e. $f:\R^2\to \{0,1\}$ telle que $\forall x,y; f(x,y)=1\iff x=y$.
On ne peut pas tenter d'écrire des boucles if "si $x=0.1464$ alors faire {...} sinon{...}" sous peine de problèmes.
Entre ça et la réponse de Gabuzomeu, on croirait que c'est un crime que de s'intéresser à ce qui vous ne vous intéresse pas.
peut-être que c'est un test pour recruter des intuitionnistes ?
Moi je réponds à la question n°1 : null.
Un null qui n'est pas une absence de réponse, un null qui échappe à toute comparaison booléenne y compris l'égalité avec lui même ou à la même réponse pour la n°7.
Sinon à part ça, ça va.
S
"the question is meaningless",
or
-> je comprends la question même avec une mauvaise :-) traduction
"it depends",
-> null
or maybe,
as Bas put it: "explaining how you should look at this question takes so much text that there is no point in doing so";
-> avec deux prépositions dans une phrase j'y comprends rien à l'anglais
also use this if you do not know your answer to a question, or do not want to think about it),
-> pas comprendre
together with a possibly empty motivation.
Try to have as little mus as possible.
-> 2 c'est bon ?
S
wikipédia
S
Ce qui m'intéresse, moi, c'est de considérer un modèle des "réels" qui est (je l'ai déjà écrit) le faisceau des fonctions continues réelles sur un espace topologique $X$. J'ai aussi déjà écrit que ce faisceau est l'objet des réels de Dedekind dans le topos des faisceaux sur $X$ (il faut bien préciser Dedekind, parce que Cauchy donne autre chose). J'ai aussi expliqué pourquoi dans ce modèle on n'a pas $\forall x\ \forall y\ (x=y \text{ ou } x\neq y)$.
Voici pourquoi le théorème des valeurs intermédiaires ne marche pas dans sa formulation habituelle. On prend pour $X$ le disque unité dans $\R^2$ ; soient $p$ et $q$ les fonctions première et deuxième coordonnées respectivement. Le polynôme $x^3+px+q$ devrait vérifier le théorème des valeurs intermédiaires entre $-2$ et $2$ puisque $(-2)^3-2p+q <0 < 2^3+2p+q$ pour tout $(p,q)$ dans le disque unité. Mais il n'existe aucune fonction continue de $(p,q)$ au voisinage de $0$ qui soit racine de $x^3+px+q$.
Par contre, plus loin, je ne te suis plus. Ton but, c'est de fabriquer une fonction continue des réels dans les réels qui est continue mais qui ne vérifie pas le théorème des valeurs intermédiaires ? En l'occurrence, une fonction $F:C(X,\mathbb{R}) \rightarrow C(X,\mathbb{R})$ continue (qu'est-ce que ça veut dire ici ? c'est la définition avec des epsilon, delta, mais ou epsilon et delta sont des réels et non plus des réels ?) telle que $F(-2) < 0 < F(2)$ (et ceci voudrait dire que $F(-2)$ est une fonction sur $X$ strictement négative, et $F(2)$ est une fonction strictement positive ?) mais telle qu'il n'existe pas de réel $f$ tel que $F(f) = 0$ est vraie, au sens où sa valeur de vérité devrait être $X$, ou, dit encore autrement, telle que $F(f)$ soit la fonction constante égale à $0$ ?
2) Les réels d'un topos ont des "défauts", c'est sûr. D'abord, ce n'est pas en général un corps au sens qu'il ne vérifie pas $\forall x \ (x=0 \text{ ou } \exists y\ xy=1)$. Mais, comme indiqué dans la page mise en lien, l'objet des réels est Dedekind-complet.