Les groupes sont partout
Bonjour à tous,
J'aimerais dédier un fil à l'apparition des groupes dans la résolution de problèmes qui n'ont a priori rien à voir avec la théorie des groupes. Lister ce genre de problèmes me semble intéressant puisque c'est ce qui a motivé initialement l'étude des groupes. Et puis c'est amusant :-) Autrement dit :
Quelle est votre application favorite de la théorie des groupes ?
Pour ma part, j'aime beaucoup le groupe de Conway dans les problèmes de pavages de grilles par des dominos. (Voir par exemple Van Kampen diagrams: an application tiling problems.) Bien sûr, il y a aussi l'utilisation des groupes en théorie de Galois, pour déterminer si une équation polynomiale est résoluble par radicaux, et puis le groupe fondamental et les groupes d'homologie ou de cohomologie, qui sont de formidables invariants topologiques, permettant de distinguer certains espaces topologiques.
Avez-vous d'autres exemples ?
J'aimerais dédier un fil à l'apparition des groupes dans la résolution de problèmes qui n'ont a priori rien à voir avec la théorie des groupes. Lister ce genre de problèmes me semble intéressant puisque c'est ce qui a motivé initialement l'étude des groupes. Et puis c'est amusant :-) Autrement dit :
Quelle est votre application favorite de la théorie des groupes ?
Pour ma part, j'aime beaucoup le groupe de Conway dans les problèmes de pavages de grilles par des dominos. (Voir par exemple Van Kampen diagrams: an application tiling problems.) Bien sûr, il y a aussi l'utilisation des groupes en théorie de Galois, pour déterminer si une équation polynomiale est résoluble par radicaux, et puis le groupe fondamental et les groupes d'homologie ou de cohomologie, qui sont de formidables invariants topologiques, permettant de distinguer certains espaces topologiques.
Avez-vous d'autres exemples ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
J'avais trouvé surprenante la réponse à : existe-t-il une puissance de 2 dont l'écriture décimale commence par les chiffres $25062017$?
Sinon tout simplement le fait que les groupes régissent la quasi-totalité de la géométrie classique (et même moins classique).
Bonne et courtoise journée.
Fr. Ch.
En conséquence, as-tu une référence si ça n'est pas un classique parmi les classiques (penser à ceux qui prépare(ro)nt l'agreg par exemple ;-)) ?
"Il s'agit d'un sous-groupe cyclique du groupe multiplicatif des complexes de module 1"
https://fr.wikipedia.org/wiki/Forme_modulaire
La densité de la suite \( (\sin n)_n \) dans \( [~-1~,~1~] \).
La surjectivité de \( t \longmapsto \exp(it) \) sur le disque unité.
La table des matière de Caldero-Germoni - Histoires hédonistes de groupes et de géométries...
amicalement,
e.v.
Je ne vois pas pourquoi : 1 élément neutre et -1 élément (qui serait bien sûr son propre inverse) ça nous fait la rue Michel, non ?
amicalement,
e.v.
[ Des nouvelles de Ours ? ]
Oui, ne pas confondre ensemble vide et groupe trivial, comme je l'ai fait !
Amicalement.
En effet, le cas d'une partie stable à un élément ne m'avait pas échappé, mais je n'éprouve pas d'intérêt pour les racines unièmes de l'unité, non plus que pour l'ensemble vide. Comme dit Rose l'héroïne de Titanic, les hommes accordent de l'importance à la taille ;-).
Bien cordialement,
Fr. Ch.
« Ça résolution classique » Ça quoi veut dire ?
Pas besoin de référence, ça se fait à la main. Soit $G$ une partie multiplicativement stable de $\C^*$ comportant $n$ éléments, $n\geq 2$.
L'important n'est pas ce $n$ donné, l'important est que $G$ est fini.
Cette finitude implique que pour tout $z \in G$, il existe $k \in \N^*$ et $h \in \N^*$ tels que $h>k$ et $z^k=z^h$.
On en déduit que pour tout $z \in G$, il existe $q \in \N^*$ tel que $z^q=1$ ($q=h-k$).
Il en résulte d'abord : $1\in G$.
Et de plus :
- si $q\geq 2$ alors $z^{-1}=z^{q-1} \in G$.
- si $q=1$ alors $z^{-1}=z=1 \in G$.
Ce qui prouve que $G$ est un groupe multiplicatif.
Et ici on se souvient que ce groupe $G$ a $n$ éléments et d'après le théorème de Lagrange, on a $z^n=1$ pour tout $z \in G$. Etc.
Mais si l'on est dans les nombreuses filières de prépas où malheureusement le mot « groupe » est absent du programme, on peut s'en sortir tout de même...
Bonne après-midi.
FR. Ch.
Je voulais dire en passant par la théorie de Galois. Je disais "classique" parce qu'il existe peut-être d'autres démonstrations que je ne connais pas.
Le seul mystère, c'est la raison de l'obstination de Chaurien à s'accrocher à cette hypothèse inutile.
C'est juste pour t'agacer.;-). Et ça marche.
Allez, sans rancune.
Fr. Ch.
``Par la théorie de Galois'' ?
Y'a un gugusse de nom Gauss, qui a publié en 1801, dans son chapitre VII de ses Disquisitiones arithmeticae, un résultat sur la construction à la règle et au compas du polygone régulier à $n$ côtés. Galois n'était pas encore né (1811 - 1832). Wantzel achévera la chose (réciproque) en 1837.
Peut-être que de nos jours, dans l'enseignement, on a tendance à faire croire que ``sans théorie de Galois'', on ne peut pas traiter ce problème. Je dis bien ``peut-être''.
Je ne comprends pas ta réaction...
J'ai écris que "la démonstration classique utilise la théorie de Galois".
Je n'ai jamais parlé de la démonstration historique de Gauss (que je n'ai jamais lu) dans mes messages.
J'ai même précisé "parce qu'il existe peut-être d'autres démonstrations que je ne connais pas."
S
Je n'ai pas oublié. Je suis parti tout honteux et la queue entre les jambes, mais au moins je me rappellerai de cette "info"
Quelques indications pour ceux qui n'ont pas trop le temps de chercher :-D ?
Effectivement, je ne connaissais pas. Une référence sous la main ?
Edit : j'ai mal lu l'énoncé; j'ai lu se termine pour commence mais même là c'est une grosse c...ie
e.v.
e.v.
multiplication fft (fast fourier transformation)
d'Argand-Cauchy engendrent un groupe d'homographies $D_4$.
En les appliquant à une ellipse particulière on obtient
Comme Math Coss
$x^y+y^2=2x$
De manière générique, on a deux ellipses et six quartiques rationnelles. Si on part d'un cercle, huit cercles-ou-droites.