$\Z$-schéma associé à un corps de nombres
Soit $K$ un corps de nombres. La structure de son anneau d'entiers $\mathcal O_K$ comme $\Z$-module est ``claire'' (même si elle n'est pas facile à déterminer explicitement, mais c'est une autre histoire) : $\mathcal O_K$ est un $\Z$-module libre de rang $[K : \Q]$. Par contre, la structure de $\Z$-algèbre de présentation finie de $\mathcal O_K$ l'est beaucoup moins :
$$
\mathcal O_K = {\Z[X_1, \cdots, X_\ell] \over \langle F_1, \cdots, F_s\rangle} \qquad\qquad (\star)
$$
Attraper un $\ell$ assez petit n'est pas simple (pour moi). Pleasants, dans The Number Of Generators of the Integers of a Number Field (Mahematika, 1970), a montré que $\ell \le 1 + \log n /\log 2$ où $n = [K : \Q]$ et a fourni un certain nombre d'exemples de corps exceptionnels (i.e. corps pour lequel son anneau d'entiers n'est pas monogène et sans diviseur (premier) essentiel i.e. premier divisant tous les indices $[\mathcal O_K : A]$, $A$ parcourant l'ensemble des anneaux d'entiers monogènes de $K$).
Cela serait une bonne chose de traiter des exemples. Le schéma auquel le titre fait allusion est la ``variété sur $\Z$, de dimension relative $0$'' définie par les équations :
$$
F_1 = \cdots = F_s = 0
$$
On (= Flip-Flop + Gai-Requin+mézigue) a étudié (dans le plus grand foutoir) le lien entre le comptage des points de ce schéma modulo $p$ et la fonction de Dedekind $\zeta_K$, liée au comptage des idéaux de $\mathcal O_K$ de norme donnée. Il en reste cependant quelque chose de tangible et bien net (pour moi).
Ici, inspiré par les exemples de Serre in http://www.ams.org/journals/bull/2003-40-04/S0273-0979-03-00992-3/S0273-0979-03-00992-3.pdf, je vais fournir un exemple où le monde précédent est lié au monde dit de la fumette (jardin des délices modulaires, opium des mathématiciens). L'exemple en question est :
$$
F = X^3 - X^2 - 1, \qquad \text{Disc}(F) = -31
$$
J'ai trouvé cet exemple dans les tables de Cohen et je l'ai choisi à cause du fait que 31 est un nombre premier. Je pensais ainsi que le monde de la fumette serait plus facile à identifier expérimentalement. A noter que dans les tables cubiques de Cohen, cet exemple vient en position 2, après le discriminant $-23$ de $X^3 - X -1$ (exemple de Serre). J'insiste sur le côté EXPERIMENTAL de certains points dans la suite. En suivant Serre, et sans tout comprendre, je définis une $L$-série comme le quotient suivant où $\zeta$ est la fonction de Riemann ordinaire :
$$
L_\rho = {\zeta_K \over \zeta} \qquad (\star\star)
$$
J'ai mis un indice $\rho$ comme Serre car il s'agit probablement d'une $L$-série d'Artin liée à la représentation $\rho$ de $S_3 = \text{Gal}(K'/\Q)$ dans $\text{GL}_2(\C)$ où $K'$ est la fermeture galoisienne de $K/\Q$. Cela serait déjà une bonne chose de comprendre ce que cela signifie, cette histoire de représentation $\rho$.
Maintenant, la parole est à l'expérimentation. A noter que derrière $(\star\star)$, qui en principe, relève du monde analytique, il y a des choses algébriques (allusion aux facteurs eulériens qui sont de braves fractions rationnelles).
Ci-dessus, rien que du banal. Sauf peut-être le fait que $\mathcal O_K = \Z[x]$, pas étonnant vu que le discriminant de $F$ est un nombre premier. Le schéma est donc ici ultra-simple puisque réduit à l'équation $F=0$.
On s'embarque maintenant dans cette histoire de quotient $\zeta_K/\zeta$ et j'essaie de montrer ce que cela signifie au niveau des facteurs eulériens. Tout ce binz est lié aux lois de factorisation des premiers dans $\mathcal O_K$ et probablement que la théorie du corps des écoles va pointer de nouveau le bout de son nez. Ce qui risque de nous laisser sans voix. J'ai un peu la flemme de commenter ce qui suit.
Maintenant, le monde dit de la fumette. On y va franco du point de vue expérimental : $D = -31$ est un discriminant quadratique fondamental et probablement que $\chi_D$ a son mot à dire. Ainsi que l'espace des formes modulaires $M_1(\Gamma_k(31))$, $k = 0,1$ ??
On voit que l'on retrouve $L_\rho$ dans l'espace des formes modulaires de niveau 31.
Et j'allais oublier $\Q(\sqrt D)$ qui accompagne $\chi_D$ : 3 classes d'idéaux.
Bilan (sic) : ci-dessus, les acteurs qui se sont présentés (de manière non prévue) à nous (Flip-Flop + Gai-Requin + mézigue) dans le plus grand désordre pendant des mois et des mois. Et visiblement, c'est encore un peu (??) le foutoir. En tout cas, la morale est (pour moi) : lorsque l'on globalise (assemble) le comptage des points d'un schéma de dimension (relative) 0, on peut très bien rencontrer le monde de la fumette. Pas besoin d'attendre la dimension 1 (les courbes).
$$
\mathcal O_K = {\Z[X_1, \cdots, X_\ell] \over \langle F_1, \cdots, F_s\rangle} \qquad\qquad (\star)
$$
Attraper un $\ell$ assez petit n'est pas simple (pour moi). Pleasants, dans The Number Of Generators of the Integers of a Number Field (Mahematika, 1970), a montré que $\ell \le 1 + \log n /\log 2$ où $n = [K : \Q]$ et a fourni un certain nombre d'exemples de corps exceptionnels (i.e. corps pour lequel son anneau d'entiers n'est pas monogène et sans diviseur (premier) essentiel i.e. premier divisant tous les indices $[\mathcal O_K : A]$, $A$ parcourant l'ensemble des anneaux d'entiers monogènes de $K$).
Cela serait une bonne chose de traiter des exemples. Le schéma auquel le titre fait allusion est la ``variété sur $\Z$, de dimension relative $0$'' définie par les équations :
$$
F_1 = \cdots = F_s = 0
$$
On (= Flip-Flop + Gai-Requin+mézigue) a étudié (dans le plus grand foutoir) le lien entre le comptage des points de ce schéma modulo $p$ et la fonction de Dedekind $\zeta_K$, liée au comptage des idéaux de $\mathcal O_K$ de norme donnée. Il en reste cependant quelque chose de tangible et bien net (pour moi).
Ici, inspiré par les exemples de Serre in http://www.ams.org/journals/bull/2003-40-04/S0273-0979-03-00992-3/S0273-0979-03-00992-3.pdf, je vais fournir un exemple où le monde précédent est lié au monde dit de la fumette (jardin des délices modulaires, opium des mathématiciens). L'exemple en question est :
$$
F = X^3 - X^2 - 1, \qquad \text{Disc}(F) = -31
$$
J'ai trouvé cet exemple dans les tables de Cohen et je l'ai choisi à cause du fait que 31 est un nombre premier. Je pensais ainsi que le monde de la fumette serait plus facile à identifier expérimentalement. A noter que dans les tables cubiques de Cohen, cet exemple vient en position 2, après le discriminant $-23$ de $X^3 - X -1$ (exemple de Serre). J'insiste sur le côté EXPERIMENTAL de certains points dans la suite. En suivant Serre, et sans tout comprendre, je définis une $L$-série comme le quotient suivant où $\zeta$ est la fonction de Riemann ordinaire :
$$
L_\rho = {\zeta_K \over \zeta} \qquad (\star\star)
$$
J'ai mis un indice $\rho$ comme Serre car il s'agit probablement d'une $L$-série d'Artin liée à la représentation $\rho$ de $S_3 = \text{Gal}(K'/\Q)$ dans $\text{GL}_2(\C)$ où $K'$ est la fermeture galoisienne de $K/\Q$. Cela serait déjà une bonne chose de comprendre ce que cela signifie, cette histoire de représentation $\rho$.
Maintenant, la parole est à l'expérimentation. A noter que derrière $(\star\star)$, qui en principe, relève du monde analytique, il y a des choses algébriques (allusion aux facteurs eulériens qui sont de braves fractions rationnelles).
> ZX<X> := PolynomialRing(Z) ; > > // Table de Cohen > F := X^3 - X^2 - 1 ; > assert Discriminant(F) eq -31 ; > K<x> := NumberField(F) ; > OK := MaximalOrder(K) ; > assert OK eq Order([x]) ;
Ci-dessus, rien que du banal. Sauf peut-être le fait que $\mathcal O_K = \Z[x]$, pas étonnant vu que le discriminant de $F$ est un nombre premier. Le schéma est donc ici ultra-simple puisque réduit à l'équation $F=0$.
On s'embarque maintenant dans cette histoire de quotient $\zeta_K/\zeta$ et j'essaie de montrer ce que cela signifie au niveau des facteurs eulériens. Tout ce binz est lié aux lois de factorisation des premiers dans $\mathcal O_K$ et probablement que la théorie du corps des écoles va pointer de nouveau le bout de son nez. Ce qui risque de nous laisser sans voix. J'ai un peu la flemme de commenter ce qui suit.
> DedekindZetaK := LSeries(K) ;
> Lrho := DedekindZetaK / RiemannZeta() ;
>
> p := RandomPrime(5) ;
> p ;
19
> // Ne pas confondre le dénominateur et 1/dénominateur
> IntegralEulerFactor(Lrho, p) ;
T^2 + T + 1
> assert 1/IntegralEulerFactor(Lrho,p) eq EulerianFactor(OK,p) / (1-T)^-1 ;
> [<p,IntegralEulerFactor(Lrho, p)> : p in PrimesInInterval(2,30)] ;
[
<2, T^2 + T + 1>,
<3, -T^2 + 1>,
<5, T^2 + T + 1>,
<7, T^2 + T + 1>,
<11, -T^2 + 1>,
<13, -T^2 + 1>,
<17, -T^2 + 1>,
<19, T^2 + T + 1>,
<23, -T^2 + 1>,
<29, -T^2 + 1>
]
Maintenant, le monde dit de la fumette. On y va franco du point de vue expérimental : $D = -31$ est un discriminant quadratique fondamental et probablement que $\chi_D$ a son mot à dire. Ainsi que l'espace des formes modulaires $M_1(\Gamma_k(31))$, $k = 0,1$ ??
> precision := 10^2 ;
> Graal<q> := FormalSeries(Lrho, precision) ;
> Graal ;
q - q^2 - q^5 - q^7 + q^8 + q^9 + q^10 + q^14 - q^16 - q^18 - q^19 + q^31 + q^35 + q^38 - q^40 - q^41 - q^45 + 2*q^47 -
q^56 - q^59 - q^62 - q^63 + q^64 + 2*q^67 - q^70 - q^71 + q^72 + q^80 + q^81 + q^82 + q^90 - 2*q^94 + q^95 - q^97
> SK := FormalSeries(DedekindZetaK, precision) ;
> // b(m) = nombre d'idéaux de norme m
> a := func < m | Coefficient(Graal, m) > ;
> b := func < m | Coefficient(SK, m) > ;
> assert &and [b(m) eq &+[a(d) : d in Divisors(m)] : m in [1..precision]] ;
>
> D := -31 ;
> ChiMinus31 := KroneckerCharacter(D) ;
> M31 := ModularForms(ChiMinus31,1) ;
> M31 ;
Space of modular forms on Gamma_1(31) with character $.1, weight 1, over Integer Ring.
> Dimension(M31) ;
2
> f, g := Explode(Basis(M31)) ;
> f ;
1 + 2*q^2 + 2*q^4 + 2*q^5 + 2*q^7 + 2*q^8 + 2*q^10 + O(q^12)
> g ;
q - q^2 - q^5 - q^7 + q^8 + q^9 + q^10 + O(q^12)
> Graal - qExpansion(g,100) ;
O(q^100) <---- ENJOY
On voit que l'on retrouve $L_\rho$ dans l'espace des formes modulaires de niveau 31.
Et j'allais oublier $\Q(\sqrt D)$ qui accompagne $\chi_D$ : 3 classes d'idéaux.
> ClassNumber(K) ; 1 > ClassNumber(D) ; 3 > QD := BinaryQuadraticForms(D) ; > ReducedForms(QD) ; [ <1,1,8>, <2,1,4>, <2,-1,4> ]
Bilan (sic) : ci-dessus, les acteurs qui se sont présentés (de manière non prévue) à nous (Flip-Flop + Gai-Requin + mézigue) dans le plus grand désordre pendant des mois et des mois. Et visiblement, c'est encore un peu (??) le foutoir. En tout cas, la morale est (pour moi) : lorsque l'on globalise (assemble) le comptage des points d'un schéma de dimension (relative) 0, on peut très bien rencontrer le monde de la fumette. Pas besoin d'attendre la dimension 1 (les courbes).
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Réponses
C'est plus délicat de résoudre des équations de degré $3$. Est-ce qu'on dispose de critère pour évaluer le nombre de solutions sur les corps finis ?
Si on regarde les $p$-Euler factor, on voit que $j$ (le $j^3=1$ pas l'autre $j$) a un rôle dans l'histoire mais je ne vois pas trop ce que vient faire $\chi_D$ dans l'histoire (c'est surement le corps de classe).
Sinon, Jean Marc Fontaine raconte un peu les histoires des fonctions $L$ mais la vidéo est délicate a suivre !
Ce qui serait quand même énorme ça serait de comprendre que viens faire $M_1(\Gamma_k(31))$ dans cette histoire !
Je vais faire quelques calculs :-D
On va dire que l'on connait que la fonction modulaire
Grall := q - q^2 - q^5 - q^7 + q^8 + q^9 + q^10 + q^14 - q^16 - q^18 - q^19 + q^31 + q^35 + q^38 - q^40 - q^41 - q^45 + 2*q^47 - q^56 - q^59 - q^62 - q^63 + q^64 + 2*q^67 - q^70 - q^71 + q^72 + q^80 + q^81 + q^82 + q^90 - 2*q^94 + q^95 - q^97Et on va voir que l'on peut retrouver le nombre de solution de l'équation $X^3-X^2-1=0$ dans $\mathbb{F}_{p^r}$. Je fais une conjecture sur la forme de $Z_p(T)$ (je ne sais vraiment pas pourquoi ??).
Pour tout $p$ premier (différent de $31$) il existe un entier $a = 2,3,6$ tel que :
$$
Z_p(T) = \frac{1}{(1-T)(1-(-j)^aT)((1-(-j^2)^aT))}
$$
Du coup, $N_r = 1^r + (-j)^{ar}+(-j^2)^{ar}$ et donc pour trouver $a$ il suffit de regarder le coefficient $q^p$ et d'ajouter $1$. Par exemple : $p=3$; $N_1 = 1$ donc $a = 3$. Et finalement :
$$
N_r = 1^r +(-1)^r+1^r
$$
Pour $p=19$ on trouve $a=2$, $N_r = 1^r +j^r +(j^2)^r$.
Bref : on dirait que la fonction modulaire permet de récupérer le nombre de solution de l'équation.
Tu vois ce que j'ai fabriqué ?
Mon post est mal fichu. C'est pas facile de rendre compte de .. Je vais essayer d'expliquer sur plusieurs autres posts certaines choses. Le comptage modulo $p$ de $F=0$, c'est délicat car c'est lié à la fonction de Dedekind $\zeta_K$ qui est gouvernée par ses facteurs eulériens, eux mêmes gouvernés par la loi de factorisation des premiers dans $K$. Et tu te doutes, avec le schéma suivant :
$$
\xymatrix {
& K' \ar@{-}[dl]_3\ar@{-}[dl] \ar@{-}[dd]^{S_3} \ar@{-}[dr]^2 \\
\Q(\sqrt {-31}) \ar@{-}[dr]_2&& K\ar@{-}[dl]^3 \\
&\Q \\
}
$$
où $K'$ est la fermeture galoisienne de $K$ sur $\Q$, que $K'$ est le corps des classes de Hilbert de $\Q(\sqrt {-31})$.
Gai-requin : lois de factorisation ?
Si je me suis lancé là-dedans, c'est qu'avant (autrefois), je croyais que le polynôme utilisé par Serre i.e. $X^n - X - 1$ avait des vertus magiques. Mais pour $n=3$, je pense que n'importe quel $\Q(\sqrt {p^*})$ avec $p \equiv 3 \mod 4$, ayant 3 classes d'idéaux, conviendrait. Ce qui fait qu'en cas de besoin, on pourrait partir à l'envers i.e. partir du discriminant quadratique fondamental $D < 0$ ayant des bonnes propriétés. Ainsi
Autres posts à suivre.
``Evidemment'' que la forme modulaire permet de retrouver le comptage. Car ayant défini le graal par $L_\rho = \zeta_K / \zeta$, on a $\zeta_K = \zeta \times L_\rho$ (rires). Ce qui veut dire, de manière algébrique, qu'en posant
$$
L_\rho(s) = \sum_{n \ge 1} {a_n \over n^s} \qquad \hbox {avec} \quad a_1 = 1
$$
et en notant $\nu_K(n)$ le nombre d'idéaux de $K$ de norme $n$, on a :
$$
\nu_K(n) = \sum_{d \mid n} a_d \qquad \hbox {en particulier} \qquad \nu_K(p) = a_1 + a_p = 1 + a_p
$$
Et le comptage $\{F=0\}(\mathbb F_p)$ là dedans ?? Alibi. En effet, $\zeta_K$ et le comptage sont EN PARTICULIER reliés par :
$$
\nu_K(p) \quad \buildrel {(\diamond)} \over =\quad \#\{F=0\}(\mathbb F_p) \qquad \hbox {donc} \qquad
\#\{F=0\}(\mathbb F_p) \quad \buildrel {\blacksquare} \over = \quad 1 + a_p
$$
Mais d'où sort $(\diamond)$ ? Du truc très très général (AVEC UNE PREUVE) constitué d'une égalité de fractions rationnelles :
$$
\hbox {le $p$-facteur eulérien $Z_p(T)$ de $\zeta_K$ n'est autre que la fonction zeta du comptage $(F=0)_{\mathbb F_{p^\bullet}}$}
$$
Cf CountingWithFlipFlopAndGaiRequin.pdf
Et pourquoi à droite, j'ai mis $\buildrel {\blacksquare} \over =$ ?? Ben, suffit de vérifier que cela colle avec le malicieux Serre, section 5.3 p. 434 avec son $N_p(f) = a_p + 1$
in http://www.math.mcgill.ca/goren/SeminarOnCohomology/Serre.pdf
Et le monde modulaire de niveau 31, là dedans ? Et bien figure toi que l'on a une expression en $\theta$-séries de discriminant $-31$ :
$$
2 \sum_{n \ge 1} a_n q^n = \theta_{1,1,8}(q) - \theta_{2,1,4}(q) = \sum_{x,y} q^{x^2 + xy + 8y^2} - \sum_{x,y} q^{2x^2 + xy + 4y^2}
$$
J'espère que tu reconnais les 3 formes quadratiques réduites $x^2 + xy + 8y^2$ et $2x^2 \pm xy + 4y^2$ de discriminant $-31$. Tu me crois pas ?
Je t'assure qu'une telle égalité certifie que le monde modulaire de niveau 31 de poids 1 est présent (via les $\theta$-séries).
Mais pourquoi tout ce monde débarque dans la scène dans le plus grand m.rdier ? Qui est l'oeuf, qui est la poule ?
Et c'est pas fini. Car figure toi que le graal $L_\rho$, il est aussi lié à la représentation galoisienne naturelle de $S_3 = \text{Gal}(K'/\Q)$ dans $\text{GL}_2(\C)$. C'est Serre qui le dit en bas de la page 437. J'ai honte, mais je ne sais pas ce que cela veut dire. Est ce que $\C$ c'est $\Q(\sqrt {-31})$ ? Et j'ose poser la question : est ce que $\rho$ est le morphisme de restriction :
$$
S_3 \simeq \text{Gal}(K'/\Q) \ni \sigma \mapsto \hbox {restriction de } \sigma \in \text{Gal}(\Q(\sqrt {-31})/\Q) \subset \text{GL}_2(\Q(\sqrt {-31}))
$$
Stupide ? Totalement stupide ?
Tous sur la vidéo de Jean Marc Fontaine.
Et puis après tout, je vais pas me gêner
> AK := ArtinRepresentations(K) ; > AK ; [ Artin representation of Number Field with defining polynomial x^3 - x^2 - 1 over the Rational Field with character ( 1, 1, 1 ) and conductor 1, Artin representation of Number Field with defining polynomial x^3 - x^2 - 1 over the Rational Field with character ( 1, -1, 1 ) and conductor 31, Artin representation of Number Field with defining polynomial x^3 - x^2 - 1 over the Rational Field with character ( 2, 0, -1 ) and conductor 31 ] > [Dimension(rho) : rho in AK] ; [ 1, 1, 2 ] > rho := AK[3] ; > Lbis := LSeries(rho) ; > FormalSeries(Lbis, 50) ; q - q^2 - q^5 - q^7 + q^8 + q^9 + q^10 + q^14 - q^16 - q^18 - q^19 + q^31 + q^35 + q^38 - q^40 - q^41 - q^45 + 2*q^47 > Graal eq FormalSeries(Lbis,precision) ; true <----- REGARDER ICIJ'ai fait quoi ? J'ai monté les 3 représentations d'Artin de $K$ et j'ai sélectionné l'unique de dimension 2. Pourquoi dimension 2 ? Parce ce que $\text{GL}_2(\C)$, c'est la mode en ce moment. Et la $L$-série de cette représentation c'est le graal comme tu le vois.
Je ne comprends pas tout ce que j'écris ? Ben non, évidemment. Et faut pas croire qu'on va venir nous expliquer gentiment, en faisant rentrer les acteurs un par un, tout le sel de ces objets.
Et je maintiens que le comptage est un alibi (psychologiquement utile) qui permet de se rendre compte de la puissance des conjectures de Weil même en dimension 0. Sauf qu'ici, cela pète de tous les côtés puisque l'on assemble tous les objets de la caractéristique $p$ en un objet de la caractéristique 0 (pour rencontrer le monde de la fumette). Et ce qui compte, au lieu du comptage, c'est la fonction moins sexy $\zeta_K$. ATTENTION :
$$
\nu_K(p) \quad \buildrel {(\diamond)} \over =\quad \#\{F=0\}(\mathbb F_p) \qquad \hbox {mais on n'a PAS} \qquad
\nu_K(p^r) \quad \buildrel {(\diamond)} \over =\quad \#\{F=0\}(\mathbb F_{p^r})
$$
Mais non, j'ai pas bu.
Je vais lire attentivement chaque ligne de ton post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1480666,1481004#msg-1481004 dans lequel tu parles de $a = 2, 3, 6$ qui intervient en puissance de $-j$ et de $-j^2$ dans le $p$-facteur eulérien de $\zeta_K$.
J'en profite pour nous rappeler la forme générale de $Z_p(T)$ :
$$
Z_p(T) = {1 \over 1 - T^{f_1}} {1 \over 1 - T^{f_2}} \quad\cdots\quad {1 \over 1 - T^{f_g}}
$$
avec :
$$
p\mathcal O_K = \mathfrak p_1^{e_1} \mathfrak p_2^{e_2} \cdots \mathfrak p_g^{e_g} \qquad f_i = \dim_{\mathbb F_p} \mathcal O_K / \mathfrak p_i
\qquad [K : \Q] = \sum_i e_i f_i
$$
En ce moment $[K : \Q] = 3$.
Est ce que ton $a$ (qui dépend de $p$, je vire 31 du lot), tu sais le déterminer en fonction de $p$ ? Tu as donné l'exemple de $p = 19$.
Note : pour l'instant, tes $N_r$, je les mets de côté. Si je connais $Z_p(T)$, je sais opérer. C'est $Z_p(T)$ qui m'intéresse.
As tu un exemple avec $a = 6$ ?
Je suis bête : le cas $a=6$ avec tes notations, cela correspond au cas $p$ totalement décomposé dans $\mathcal O_K$. Entre 1 et 200, les voilà :
$$
47, \qquad 67, \qquad 131, \qquad 149, \qquad 173
$$
Gai requin : tu te souviens de l'ancien $X^3 - X - 1$ ? Pourras tu nous faire pour le nouveau $X^3 - X^2 - 1$, un topo sur les lois de représentation d'un premier $p$ par les 2 formes quadratiques de discriminant $-31$ ? Merci. J'ai mis $2x^2 \pm xy + 4y^2$ dans le même lot car elles représentent les mêmes entiers.
Un principe (pour éviter que le fil ne dérape). Ici, sur la sellette seulement la dimension ZERO, le truc de bébés, quoi. Pas question de parler de fonctions zeta de $\mathbb A^n$, de $\mathbb P^n$, de la grassmannienne $\mathbb G_{n,d}$, de courbes elliptiques ou hyper-elliptiques ..etc.. Sinon, ouvrir un autre fil.
Ici quelque chose de rudimentaire. Le groupe symétrique $S_3$ est invité à table pour la bonne raison que l'on dispose d'une extension $K/\Q$ de degré 3 qui n'est pas abélienne (on va dire que le cas abélien, on connaît, encore que ..) et donc $\text{Gal}(K'/\Q) \simeq S_3$ où $K'$ est la fermeture galoisienne de $K/\Q$.
Il faut être clair sur les représentations irréductibles de $S_3$. Et cela tombe bien car Serre prend cela en exemple p. 33 (Ouvrage Représentation des groupes finis). De manière générale, les classes de conjugaison du groupe $S_n$ sont données par les longueurs des cycles, longueurs que l'on range de manière décroissante pour obtenir une partition de $n$ i.e. une suite $\lambda$ décroissante $(\lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \cdots)$ de somme $n$. Puisque les longueurs ne sont pas toutes les mêmes, il est classique de prolonger $\lambda$ par des $0$ à l'infini en cas de besoin.
Bilan : autant de caractères irréductibles de $S_n$ que de partitions de $n$. Par exemple, pour $n=3$, les partitions sont $(1,1,1)$, $(2,1)$ et $(3)$. Voici la table des caractères :
$$
\begin {array} {c|c|c|c}
&() &(\bullet,\bullet) &(\bullet,\bullet,\bullet) \\
\chi_1 & 1 & 1 & 1 \\
\chi_2 & 1 & -1 & 1 \\
\theta & 2 & 0 & -1 \\
\end {array}
$$
J'ai pris les notations de Serre. $\chi_1$ est le caractère trivial, $\chi_2$ la signature et $\theta$ la représentation en dimension 2 obtenue comme restriction à l'hyperplan $x_1+x_2+x_3 = 0$ de la représentation par permutation des coordonnées de $\R^3$ ($\R$, corps des réels, sic). Sur mon brouillon, j'ai pris comme base de l'hyperplan $e_1-e_2$, $e_1-e_3$ et j'ai fait les calculs. Et j'ai bien trouvé la dernière ligne, si, si comme les traces de mes matrices.
Bien sûr, comme tout doit être contrôlé dans le monde où on va s'aventurer (la dimension 0, bis), il est indispensable de prendre des précautions. Les tables de caractères d'un groupe fini, cela se calcule.
Un peu plus évolué : la table des modules irréductibles de $S_3$ (j'ignore, du point de vue calculabilité, pour quels groupes finis et je pense qu'il y a des problèmes avec le corps de base mais nous avec $S_n$, en particulier $S_3$, on va prendre $\Q$ comme corps de base). Ci-dessous, je n'ai pas pris les mêmes notations que précédemment (i.e. celles de Serre). Pourquoi ? Parce que.
Bilan : on a LA MAIN sur les caractères irréductibles de $S_3$ (qui sont d'un type spécial mais que l'on voit comme le vecteur des traces). Et maintenant, on peut entrer directement la représentation d'Artin du dit caractère sur un corps de nombres $K$ (pas n'importe quel corps de nombres) :
Mais késako représentation d'Artin ? Et sur quels corps $K$ ? Ici c'est lié au fait que $\text{Gal}(K^{\rm gal.}/\Q) \simeq S_3$.
Et comme on ne sait pas ce que c'est, au lieu de raconter les âneries que j'ai racontées dans un post précédent, et bien on va apprendre. Dans la vidéo de Fontaine ? Euh. Mais peut-être que l'on peut attendre que quelqu'un nous l'explique gentiment avec un petit exemple pédagogique ? On attend ?
PS : je dis âneries pour rester poli mais ce que j'ai raconté dans un fil précédent sur ce sujet (le coup du $\rho$, quelle horreur), ce sont des c.nneries.
Voici le résultat en question (cas particulier d'un cas particulier du théorème de Hecke, Schoenberg). Soit $Q = ax^2 + bxy + cy^2$ une forme quadratique de discriminant $D < 0$. On note :
$$
\Theta_Q = \sum_{x,y \in \Z} q^{ax^2 + bxy + cy^2} = \sum_{n \ge 0} u_n q^n = 1 + u_1q + u_2q^2 + \cdots
$$
avec :
$$
u_n = \hbox {le nombre de $(x,y) \in \Z\times\Z$ tels que $u_n = ax^2 + bxy + cy^2 = n$, en particulier $u_0 = 1$}
$$
Alors $\Theta_Q$ habite le monde modulaire $M_1(\Gamma_0(N), \chi_D)$ où $N = |D|$ et $\chi_D$ est le caractère quadratique associé à $\Q(\sqrt D)$ (je prends des précautions car $D$ n'est pas supposé fondamental).
Comme référence, je donne Don Zagier, qui est un grand bonhomme, et qui a beaucoup beaucoup écrit sur les formes modulaires. Et de manière pédagogique (ce n'est pas un gros mot). Par exemple, le chapitre 3 in http://maths.dur.ac.uk/~dma0hg/ModForms.pdf, en particulier les 3 premières pages 27-28-29.
Mais j'ai dû me prendre par la main et écrire, comme le dit Don Zagier :
$$
Q(x,y) = {1\over 2} (x,y) A \pmatrix {x\cr y\cr} \qquad A = \pmatrix {2a & b\cr b & 2c\cr}
$$
Parce qu'il faut que $A$ soit even (faut pas rigoler avec cela) et que $\det A = -(b^2 - 4ac) = N$. A ce propos, attention au facteur $-4$ entre les discriminants d'un arithméticien et les discriminants des géomètres : par exemple $\Z[i\rbrack$ est de discriminant $-4$ en arithmétique mais c'est un réseau de discriminant 1. Encore une fois, ne pas badiner avec cela.
Et en prenant $N = \det(A)$ comme ``level'', on a bien que $NA^{-1}$ est even :
$$
NA^{-1} = \det(A) A^{-1} = \widetilde A = \pmatrix {2c & -b \cr -b & 2a}
$$
Je crois que l'on reconnaît à droite la forme quadratique $\overline Q = (c,-b,a)$.
Le fait que $\Theta_Q$ soit modulaire est basée sur ``Poisson summation''. Comme on peut pas tout savoir (moi en tout cas), je vais prendre cela pour argent comptant.
C'est très jolie de faire entrer les formes quadratiques pour créer des fonctions modulaires. Du coup, si j'ai bien compris, je "dois" ouvrir un nouveau cahier avec $p=31$ comme titre :-D
Je continu de lire
J'essaierai d'adapter dans la journée l'article de Serre "On a theorem of Jordan" à $f=X^3-X^2-1$.
C'est bien ce qui t'intéresse je crois ?
Dans cet article, pour autant que je me rappelle, il utilise ce que tu appelles $\Theta_Q$ dans le post précédent.
A l'époque, je n'avais pas compris d'où Serre sortait une certaine série entière donc je te remercie d'éclairer une fois de plus ma lanterne. ;-)
Oui, oui. Surtout pas de précipitation. Je corrige ton "qui t'intéresse" en "nous intéresse". Je vais faire de mon côté un post en dégrossissant $\sum_i e_if_i = 3$ i.e. en passant tous les cas de figure(s) de manière à avoir toutes les formes des facteurs locaux de $\zeta_K$.
@flip-flop
Inutile d'ouvrir un cahier avec $p=31$. Car c'est fini l'époque où l'on se contentait de prendre un polynôme fourni dans la littérature : exemple $X^3 - X-1$ de discriminant $-23$ (Serre) et hier $X^3 - X^2 - 1$ de discriminant $-31$. Car voici 14 exemples qui font le même type de job. Ce qui prouve que l'on ``comprend'' un peu plus : ci-dessous, le polynôme numéro $k$ a pour discriminant l'opposé du premier numéro $k$. Et $\Q(\sqrt {-p_k})$ possède 3 classes d'idéaux. Disons en termes de formes quadratiques réduites : $q_0, q_1, -q_1$. Et le coup du graal fonctionne (monde de la fumette) i.e en posant :
$$
L_\rho = {\zeta_{K_F} \over \zeta} \qquad \hbox {on a} \qquad 2L_\rho = \Theta_{q_0} - \Theta_{q_1}
$$
> SomePrimes ; [ 23, 31, 59, 83, 107, 139, 211, 283, 307, 331, 379, 499, 547, 643 ] > SomePolynomials ; [ x^3 - x - 1, x^3 - x^2 - 1, x^3 + 2*x - 1, x^3 - x^2 + x - 2, x^3 - x^2 + 3*x - 2, x^3 + x^2 + x - 2, x^3 - 2*x - 3, x^3 + 4*x - 1, x^3 + x^2 + 3*x - 2, x^3 - x^2 + 3*x - 4, x^3 - x^2 + x - 4, x^3 + 4*x - 3, x^3 - x^2 - 3*x - 4, x^3 - 2*x - 5 ]Evidemment, ces données n'ont pas été tirées au hasard. Objectif : faire des trucs de bébé (en dimension zéro, ter) et seulement des trucs de bébé. Et les mettre les uns au bout des autres.
Si $p$ n'est pas un carré modulo $31$ alors $a_p = 0$ et dans ce cas $Z_p(T) = \frac{1}{(1-T)(1-T))(1+T)}$. C'est-à-dire que le polynôme $X^3-X^2-1$ possède $1$ racine.
Si $p$ est un carré modulo $31$ alors deux choix :
Les carrés modulo $31$.
{ 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 14, 16, 18, 19, 20, 25, 28 }Est-ce que vous avez des congruences pour la représentation des premiers par les formes binaires ?
@Claude : tu penses qu'il y a un équivalent du caractère de Kronecker, histoire de rendre jolie les $Z_p(T)$ ?
Faut que je relise un peu les formes binaires
Ton dernier post : Serre, j'en suis pas à la page 438. Car juste avant, point 5.3, bas de la page 437, c'est quoi ``The natural embedding $\rho$ of $S_3 = \text{Gal}(L/\Q)$ in $\text{GL}_2(\C)$'' ??
A propos de ton post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1480666,1481194#msg-1481194. Je vais essayer de diminuer l'aspect expérimental (tu as utilisé ``c'est juste expérimental'').
Ici $F$ est $X^3 - X^2 - 1$ de discriminant $-31$. D'abord, j'ai un peu exagéré en disant que le comptage de $F=0$ modulo $p$, c'était un alibi. En effet, puisque $\mathcal O_K = \Z[x] = \Z[X]/\langle F\rangle$, ``c'est $F$ qui gouverne''. Il est donc équivalent d'étudier la factorisation de $p$ dans $\mathcal O_K$ ou d'étudier la factorisation de $F$ modulo $p$. On peut ainsi considérer la décomposition en irréductibles :
$$
F = F_1^{e_1} \cdots F_g^{e_g} \bmod p \qquad \hbox {et poser $f_i = \deg F_i$} \qquad \hbox {de sorte que} \quad 3 = \sum_i e_if_i
$$
C'est toujours cela de pris dans l'aspect ``faire un truc de bébé''. Sachant que les $f_i$ interviennent dans le facteur $p$-eulérien de $\zeta_K$ (= fonction zeta du comptage de $F = 0 \bmod p$) :
$$
Z_p(T) = \prod_{i=1}^g {1 \over 1 - T^{f_i}}
$$
1. Puisque $\text{Disc}(F) = -31$, tous les $e_i$ sont égaux à 1 SAUF pour $p = 31$. Pour $p=31$, facile d'obtenir via la dérivée $F'$ que :
$$
F = (X - 11)^2 (X-10) \bmod 31 \qquad \hbox {donc} \quad g = 2,\quad f_1 = 1,\ e_1= 2, \quad f_2=e_2 = 1, \qquad
Z_p(T) = {1 \over (1-T)^2}
$$
On suppose ci-dessous $p \ne 31$ donc tous les $e_i$ sont égaux à 1.
2. Cas $g=1$ i.e. $e_1f_1 = 3$. Comme $e_1 = 1$, c'est que $f_1=3$. D'où
$$
Z_p(T) = {1 \over 1-T^3}
$$
3. Cas $g=2$ i.e. $e_1f_1 + e_2f_2=f_1+f_2=3$. Disons $f_1=2$, $f_2=1$ :
$$
Z_p(T) = {1 \over (1-T^2)(1 - T)}
$$
4. Cas $g=3$ i.e. $f_1 + f_2 + f_3 = 3$ i.e. tous les $f_i=1$.
$$
Z_p(T) = {1 \over (1-T)^3}
$$
Bon pour l'instant, ça va pas ch.er loin.
J'en viens à TES affaires, disons la PREMIERE partie. Remarque : pour $p \ne 2$ :
$$
\left( {-31 \over p } \right) = \left( {p \over 31 } \right)
$$
Il est entendu que les $a_p$, qui sont par définition les coefficients de $\zeta_K/\zeta$, vérifient $N_p(F) = 1 + a_p$. Et quand tu parles du cas $a_p = 0$ et que tu dis que $F$ n'a qu'une racine modulo $p$, vu la dernière égalité, rien d'expérimental !! Cependant, j'ai un TROU ici. Pourquoi l'équivalence (en degré 3, $p \ne 2$) :
$$
\hbox {$F$ admet une SEULE racine modulo $p$} \iff \hbox {$\text{Disc}(F)$ non carré mod $p$}
$$
Je vois $\Rightarrow$ mais je vois plus $\Leftarrow$.
Quant à la deuxième partie, $p$ est un carré modulo $p$ ...etc.. je me pose là, pour l'instant.
Je dis juste que l'on on n'a pas de résultat simple vu que $K/\Q$ n'est pas abélienne (cf post suivant).
Pour l'instant, par rapport au titre du fil, l'objectif à court terme est très très modeste : comprendre ce que l'on peut comprendre dans le cas d'une extension $K/\Q$ de degré 3 NON abélienne.
Si dans un salon mondain, on vous demande ``pourquoi non abélienne'', vous pouvez répondre aussi sec ``Dans le cas $K/\Q$ abélien de degré $n$, TROP facile, car la fonction de Dedekind $\zeta_K$ est produit de $n$ fonctions $L$''. Cela m'étonnerait fort que quelqu'un pose la question : ``est ce vous pourriez préciser TRES EXACTEMENT de quelles fonctions $L$ il s'agit ?''.
On peut même pas imaginer qu'un pervers du salon mondain dise : je considère le polynôme cubique $F_a(X) = X^3 - aX^2 - (a+3)X - 1$ qui est tel que son discriminant est un carré, c'est le carré de .. TROU. Pour $a \in \Z$, il est irréductible sur $\Q$ sauf pour $a = \cdots$, trou de nouveau. Comment faites vous pour réaliser le corps cubique 3-cyclique défini par une racine de $F_a(X)$ dans une extension cyclotomique (Kronecker-Weber) ?
Non on peut pas imaginer, parce que les pervers ne fréquentent pas les salons mondains.
Tout cela pour dire, que, ENTRE NOUS (qui ne sommes pas dans les salons mondains), faut peut-être mette un bémol à ``cas abélien : trop fastoche''.
Note : j'ai déjà parlé de ce polynôme $F_a$ qui vient d'une homographie d'ordre 3 mais je n'ai pas retrouvé assez d'informations (d'où les trous). J'ai retrouvé http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1263771,1408880#msg-1408880 et http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1263771,1409220#msg-1409220 mais c'est loin d'être suffisant.
$$
Z_p(T) = \frac{1}{(1-T)(\text{Det}(I-\theta(\text{Frob}(p))T)}
$$
et si on prend la trace de $\theta(\text{Frob}(p))$ c'est le coefficient de $a_p$ dans Grall.
Si tu prends les matrices de ta représentation $\theta$ et que tu calcules les polynômes caractéristiques, tu vas tomber sur $1-T^2$ et sur $T^2+T+1$ et c'est exactement les trucs que l'on trouve dans $Z_p(T)$ et la correspondance se fait grâce au Frobenius.
J'ai testé un peu avec les autres discriminant quadratiques que tu as donné, ça semble fonctionner.
Par contre, pour faire un tour de magie ... on a besoin de trouver dans la nature la série $L$ !
Doucement, car je commence à fatiguer un tantinet. Plusieurs questions :
(A) Le $\theta$ dont tu parles, c'est ``la'' représentation irréductible de $S_3$ en dimension deux ? Et lorsque l'on remplace $S_3$ groupiste par $\text{Gal}(K^{\rm gal}/\Q)$, on a donc une ``représentation'' du type :
$$
\theta : \text{Gal}(K^{\rm gal}/\Q) \to \text{GL}_2(\text {quel-corps-ou-anneau})
$$
C'est cela ? Et combien tu prends pour $\text {quel-corps-ou-anneau}$ ? $\C$ ?? C'est juste que ce matin, avec mon $\theta$ groupiste sur $S_3$, les coefficients de la matrice $\theta(\sigma)$ (matrice $2 \times 2$) pour $\sigma \in S_3$, je n'avais que des 0 ou $\pm 1$. J'ai pas eu besoin de $\pi = 3.141\cdots$ ni de $\sqrt 2 = 1.4142\cdots$. Je fais une fixette ?
(B) Comment tu sais ce que tu viens me dire avec le dénominateur $\det(1 - \theta(\text{Frob}(p))T)$ ? Tu as lu cela quelque part ? Dans Serre ? Tu as téléphoné à Fontaine ?
(C) Et pendant que nous y sommes, il SEMBLERAIT bien que :
$$
Z_{p}(T) = {1 \over 1-T}\times {1 \over 1 - a_pT + \left( {p \over 31}\right) T^2}
$$
Tu SERAIS d'accord ?
En tout cas, chapeau pour ton $\det(1 - \cdots)$.
$$\hbox {$\text{Disc}(F)$ non carré mod $p$} \iff \sigma_p\text{ est une transposition }\iff N_p(F)=1.$$
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1480666,1481306#msg-1481306
Vu et merci (ce qui ne veut pas dire compris car on ne peut pas dire qu'il y ait trop d'explications).
Mais imagine que tu parles à un bébé, en l'occurence MOI. Je supprime l'objet du milieu (car cela cause de Frobenius, au fait de qui sur quoi ?, et que le Frobenius comme je suis bébé ..etc..). Il reste donc :
$$
\text{Disc}(F) \hbox { non carré modulo $p$} \quad \iff \quad N_p(F) = 1
$$
Est ce que l'on peut montrer cela de manière élémentaire ? Etant entendu que $F$ est un polynôme de degré 3 et que cela se passe au dessus de $\mathbb F_p$.
Et pour moi, moins bébé : quand on dit Frobenius est une transposition, cela veut dire quoi ?
On peut peut-être essayer de faire ça à la main même si le degré $3$ me laisse penser que c'est pas gagné.
Pour le reste, on pose $K=\Q(\sqrt{-31})$ et $L$ le corps de décomposition de $F$ de sorte que $K\subset L$.
$\Q\subset L$ est galoisienne de groupe de Galois $S_3$.
Voilà pourquoi $\sigma_p:L\rightarrow L$ peut éventuellement s'identifier à une transposition.
D'après Serre,
$$\rm{sgn}(\sigma_p)=\left(\frac{p}{31}\right).$$
Pour l'anneau a choisir : heu on prend $\Z$ ? Il y a peut être une manière naturelle de fabriquer une représentation de degré $2$ ? Il n'explique pas trop Serre dans son texte !
Pour la deuxième partie de ton post. Il y a 4 corps en jeu : celui que j'appelle $K$ depuis le début i.e. $K/\Q$ est de degré 3 engendré par une racine de $F = X^3 - X^2 - 1$, le corps $\Q(\sqrt {-31})$ que tu as nommé $K$, le corps $L = K^{\rm gal}$, fermeture galoisienne de $K/\Q$, i.e. comme tu dis corps de décomposition de $F$ sur $\Q$. Et bien sûr, le petit corps de base $\Q$.
Comme je trouve que ce cela fait un peu de monde, cela peut être une bonne chose de préciser le Frobenius de qui sur quoi ?
Première partie du post. C'est OK grâce à un cas facile du critère de Stickelberger (cent fois plus aisé que Frobenius au niveau des corps de nombres, Serre ...etc...) Je prendrais le temps de regarder le cas particulier du degré 3 DIRECTE A LA MAIN.
Ce critère de Stickelberger, que l'on peut raconter à des petits (je l'ai fait en enseignement !) dit la chose suivante. Soit $K$ un corps fini de caractéristique $\ne 2$ et $F \in K[X]$ un polynôme unitaire sans facteur carré (pareil que séparable car $K$ est fini).
Alors le discriminant de $F$ est un carré dans $K$ si et seulement si le nombre de facteurs irréductibles de $F$ (sur $K$) a même parité que le degré de $F$. Ce que l'on peut écrire (avec une notation qui se devine) :
$$
\left( {\text{Disc}(F) \over K} \right) = (-1)^{\deg F - 1}
$$
Application : $\deg F = 3$. Alors $\text{Disc}(F)$ est un carré dans $K$ si et seulement si le nombre de facteurs irréductibles de $F$ est 1 ou 3, c.a.d si et seulement si $F$ est irréductible ou si $F$ se décompose en 3 polynômes de degré 1 ; ou encore si $F$ n'a aucune racine dans $K$ ou bien toutes ses racines dans $K$.
Je t'assure que c'est beaucoup plus simple que .. (bis). Je peux pas attacher la note pour les petits car pb de connexion sur une machine éloignée.
Voilà comment je vois le Frobenius.
Mode baby on.
On part de $\Q\subset L$ puis on regarde les anneaux d'entiers $\Z\subset \mathcal{O}_L$.
On prend ensuite $\mathfrak{p}$ un idéal premier de $\mathcal{O}_L$ au-dessus de $p$.
On quotiente pour obtenir un corps de décomposition de $F \bmod p$, à savoir $\mathcal{O}_L/\mathfrak{p}=\mathbb F_q$.
On obtient ainsi une extension de corps finis $\mathbb F_p\subset \mathbb F_q$ dont le groupe de Galois est engendré par le Frobenius, qui peut se relever en un élément $\sigma_p$ de $\rm{Gal}(L/\Q)$.
Mode baby off.
J'espère avoir répondu à ta question et surtout, ne pas avoir dit trop de bêtises... :-S
Je trouve que l'on ne recule pas.
Et dire que je l'avais oublié dans mes notes, ce critère de Stickelberger (l'estampille de la note est 2 Mars 2002). Si cela se trouve, c'est lui qui fait une grosse partie du job ? Effectivement, dans la preuve, il intervient le Frobenius au dessus de $K$, i.e. $x \mapsto x^{\#K}$ ($K$ est le corps fini de base) et ce Frobenius est pris sur le corps de décomposition du polynôme $F$ sur $K$.
Et on le fait mouliner sur les racines de $F$. Mais tout se passe au niveau des corps finis !
Et la formulation ``là-haut'' serait juste du sucre syntaxique ? Quand même pas, je suppose.
Et qu'est ce que je vois sur ma note : en prenant $K = \mathbb F_q$ et $F = X^p -1$ où $p,q$ sont des premiers impairs distincts ... on obtient la loi de réciprocité quadratique. B.rdel de m.rde, comment ai je pu oublier cela ?
Je peux pas attacher la note (bis).
@flip flop : sur wikipédia ? Et tu as fait des calculs avec magma ? Tu es vraiment fou, mais chapeau. Quant aux exemples, je les ai choisi vachement rigides pour être (un peu près sûr) d'obtenir la fumette $2L_\rho = \Theta_{q_0} - \Theta_{q_1}$.
Quant à $\Z$ versus $\C$, je suis pas obsédé à ce point là (encore que ...). Mais quand je vois $\C$ et quand c'est moi qui paye, je cherche un grand corps de nombres. J'ai probablement été enduit d'erreur car il semble que $\C$ sert ici de réceptacle pour l'image des caractères, voire des représentations irréductibles. Mais pour $S_n$, les représentations irréductibles sont définies sur $\Q$ (et même sur $\Z$ ??). Et pour un groupe fini, tout ce beau monde tombe dans $\mathbb U_\infty$ et même dans $\mathbb U_e$ où $e$ est l'exposant du groupe fini.
J'ai donc mélangé les objets au départ (du côté $K$, $K^{\rm gal}$), et les objets à l'arrivée des représentations. Arg.
$L_\rho$ est de poids $1$ et de niveau $31$. La série de Dirichlet associée est
$$\sum_{m=1}^{\infty} \frac{a_m}{m^s}=\prod_{p}\left(1-\frac{a_p}{p^s}+\left(\frac{p}{31}\right) \frac{1}{p^{2s}}\right)^{-1}.$$
A bon entendeur ! :-S
C'est ce que j'ai mentionné, à ma façon, dans le point (C) de mon post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1480666,1481300#msg-1481300 sous la forme
``il SEMBLERAIT bien que''. Sauf que dans ma formulation (équivalente), il n'y a que des petites fractions rationnelles en $T$ (les facteurs eulériens) que je peux déterminer (via magma). Car un produit infini, fonction de la variable $s$, c'est pas pour moi mais pour les gens sérieux du monde analytique.
@flip-flop
Tu as écrit, in http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1480666,1481282#msg-1481282, "j'ai testé un peu avec les autres discriminants quadratiques que tu as donné, ça semble fonctionner". Faudra à un moment donné que tu m'expliques comment. Car la valeur $\det(1 - \theta(\text{Frob}(p))T)$, cela ne se trouve pas sous le sabot d'un cheval. Tu pourras, à cette occasion, me parler franco, car cela m'arrive aussi, de temps en temps, de faire du calcul, ou de vouloir en faire.
Il me semble impératif de faire le point de temps en temps sur certains objets qui sont intervenus. Je reprends l'exemple de Serre in http://www.math.mcgill.ca/goren/SeminarOnCohomology/Serre.pdf, le polynôme $F = X^3 - X-1$, de discriminant $-23$, dont on note $K$ le corps de nombres engendré par une racine. On voit (point 5.3 p. 434 et de nouveau en appendice 5.3 p. 437-438), qu'il y a 3 intervenants et même 4:
$$
{\zeta_K \over \zeta}, \qquad\qquad L_\rho, \qquad\qquad {1 \over 2}(\Theta_{q_0} - \Theta_{q_1}), \qquad\qquad
\eta(q)\eta(q^{23}) = q\prod_{k=1}^\infty (1-q^k)(1-q^{23k})
\qquad\qquad (\star)
$$
A gauche, c'est le quotient de la fonction de Dedekind de $K$ par celle de $\Q$ (plus connue sous le nom de Riemann), ensuite $L_\rho$ c'est la $L$-série du fameux $\rho : \text{Gal}(K^{\rm gal}/\Q) \simeq S_3 \to \text{GL}_2(\C)$ avec $\C = \Z$. Viennent après deux $\Theta$-séries des formes quadratiques $q_0 = x^2 + xy + 6y^2$, $q_1 = 2x^2 + xy + 3y^2$ de discriminant $-23$. Et enfin $\eta$ c'est la fonction $\eta$ de Dedekind, racine 24-ième du discriminant modulaire $\Delta(q) = \bigl(E_4(q)^3 - E_6(q)^2 \bigl) / 1728$.
Et dit de manière un peu rapide, ces 4 objets sont ``les mêmes''. Mais les deux de gauche sont des séries de Dirichlet (celles en $s$ qui faisaient peur à CQ, il y a un certain temps) et les deux objets de droite sont des objets modulaires (niveau 23, poids 1), dont on apprécie les manifestations concrètes par leurs développements comme séries en $q = e^{2i\pi\tau}$ au voisinage de $\tau = i\infty$ i.e. de $q = 0$.
Et là où j'ai commis une faute depuis le début (ce qui est dû à ma grande ignorance des représentations d'Artin, mais je me soigne), c'est que j'ai posé (me faisant pas trop ch.er) $L_\rho = \zeta_K/\zeta$. Il est vrai qu'avec un tel point de vue, ce n'était pas trop difficile de montrer que $\zeta_K = \zeta \times L_\rho$. Et je te dois des excuses, Flip-Flop, à un moment donné.
Et le fait que ces 4 objets soient ``les mêmes'', c'est pas de la tarte. Et c'est peut-être inaccessible (je veux dire inaccessible par mézigue). Mais le plus important, avant de vouloir accéder à .., c'est de comprendre qui est qui. Dans quel but ? Ben, les salons mondains, of course.
Note : le polynôme $F(X) = X^n-X-1$ est irréductible sur $\Q$, résultat de Selmer, j'ai une note d'une page là dessus, c'est pas trop difficile. Et son de groupe de Galois est $S_n$, ça c'est plus délicat (du genre le groupe de Galois est engendré par les groupes d'inertie). J'en ai parlé à une époque en disant que c'était le spécialisé en $t=1$ du polynôme $F_t(X) = X^n - X^{n-1} - t$ qui intervient page 42 dans Topics in Galois Theory (encore Serre). Ce qui n'est pas tout à fait exact car il faut considérer l'opposé du polynôme réciproque de $F$ ..etc...
Dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1480666,1481394#msg-1481394, tu as dit ``$L_\rho$ de degré 31''. Non, 31 c'est le niveau (en anglais level) tandis que le degré c'est (je pense) 2, du fait que son $p$-facteur Eulérien est :
$$
{1 \over 1 - a_p T + \bigl( {p \over 31}\bigr) T^2}
$$
Où l'on voit du degré $2$ au dénominateur, disons pour $p \ne 31$.
J'ai pu lire le chapitre magma sur les représentations d'Artin (à chacun ses sources) et cela va beaucoup mieux. On voit qu'il y a des gens qui connaissent la vie (en l'occurence les implémenteurs T. Dokchitser et V. Dokchitser, Identifying Frobenius elements in Galois Group, Algebra Number Theory, 2013).
Et c'est presque écrit noir sur blanc, dans la documentation de la fonction EulerFactor(artin-representation, prime-number) , ce qu'il faut mettre comme facteur $p$-Eulérien de $L_\rho$, $L$-série attachée à une représentation d'Artin ``from $\rho$'' :
$$
{ 1 \over \det \big(\text{I}_d - \rho(\text{Frob}_p)T\big)}
$$
Précision de manière naïve : il y a d'une part dans la course un groupe fini $G$ et une représentation (qui n'a pas à être irréductible) de $G$ en degré $d$
$$
\rho : G \to \text{GL}_d(\C)
$$
J'ai mis $\C$ pour faire comme tout le monde mais il y a fort à parier que $\C = \Q(\root \infty \of 1)$ et même $\C = \Q(\root e \of 1)$ où $e$ est l'exposant du groupe $G$ suffirait. Et les bons jours (mais vraiment les bons jours), $\C = \Z$ fait l'affaire.
Et d'autre part, il y a une extension galoisienne $L/\Q$ dont le groupe est isomorphe à $G$. Et $\text{Frob}_p$ désignerait ``le'' $p$-Frobenius de $L/\Q$ défini à conjugaison près. Il y a bien sûr le problème : quid quand $p$ est ramifié ? Mais les implémenteurs, qui connaissent la vie (bis) savent ce qu'il faut y faire. Car leur job n'est pas d'aller causer dans les salons mondains mais d'ANCRER ce qu'il faut dans la $L$-série de $\rho$ de façon à pouvoir calculer $L_\rho(s)$, et ceci PAS de manière approximative.
Plus au prochain numéro. Suite prévue : expérimentations (les plus pertinentes possibles) avec des représentations d'Artin.
Mais chez Claudio Procesi, Lie Groups, An Approach through Invariants and Representations (Springer, 2006), on voit l'algèbre $\Z[S_n]$ qui est sur la sellette, très exactement dans la section 7.2 du chap 13 (Standard Monomials), p. 540.
Il faut bien sûr faire très attention à ce que l'irréductibilité, c'est de la $\C$-irréductibilité ce qui est pareil que de la $\overline {\Q}$-irréductibilité, j'imagine.
Et dans la documentation d'un logiciel que je ne nommerai pas, je vois que la fonction SymmetricRepresentation(lambda :: partition, sigma :: permutation), où $\lambda$ est une partition de $n$ et $\sigma \in S_n$, retourne a ``representing matrix ... over the integers''. Et ``over the integers'' est mentionné à plusieurs reprises. On voit également que l'on peut spécifier au moins 3 algorithmes (Kerber, Boerner, Spetcht).
Certes, c'est juste un détail mais, moi, j'aime bien savoir quand $\C = \Z$ ou pas.
Je fais un post expérimental en espérant ne pas trop mettre de pagaille. C'est juste pour illustrer les calculs d'hier ... Sans garantie ...
@gai requin : je pense que l'on est raccord (:D
@Claude : Pour les calculs j'ai utilisé magma ! Je n'ai pas vraiment calculer $\text{Det}(I-\theta(\text{Frob}(p)))$ mais j'ai vérifié que ça colle bien.
Mais on peut dire que le $a_p$ détermine $Z_p(T)$. Le cas où $-31$ n'est pas un carré modulo $p$ est facile. Dans le cas où $-31$ est un carré modulo $p$ là on doit distinguer les deux cas.
1/ On regarde le nombre de solution de l'équation modulo $p$.
2/ On regarde le Frobenius. (celui de $p$ au dessus de la fermeture de $K$ (l'extension cubique)).
3/ On regarde si $p$ est représenté par la forme neutre.
4/ On regarde le coefficient $a_p$ dans la série $L$.
5/ on peut aussi regarder si l'idéal au dessus de $p$ dans $O_L$ ($L$ le corps quadratique) est principal ou non.
Mais y'a pas de "miracle" calculatoire ... Ce que je veux dire : si on connait un des $5$ trucs on connait les autres. Mais il faut en connaitre $1$. (bon c'est moi qui dit ça :-S)
Par exemple :
Si je veux trouver le coefficient en $q^{37}$ pour la série $L$ pour $x^3 + x^2 + x - 2$ ... de discriminant $-139$.
Alors on peut tout simplement compter le nombre de racine mais histoire de faire le mariole, je vais plutôt regarder dans l'anneau $O_L$ la décomposition de $37$.
Je trouve deux idéaux au dessus de $37$ et on prend $\langle 37, \frac{1+\sqrt{-139}}{2}-2\rangle$
Z := Integers(); K<x> := PolynomialRing(Z); f := x^3 + x^2 + x - 2;K:=NumberField(f);K; A:=[<l,FrobeniusElement(K,l)> : l in [1..200] | IsPrime(l)]; G7 := GF(37); G<x> := PolynomialRing(G7); f := x^3 + x^2 + x - 2; #Roots(f); 3 g := x^2-x+35; Roots(g); [ <2, 1>, <36, 1> ] > C<i> := ComplexField(100) ; t := (i*Sqrt(139)+1)/2; // générateur de l'extension quadratique jInvariant([1,t]) ; jInvariant([37,-2+t]) ; -12183160834035969.6966701581179 - 7.89524352280514312633705872069E-14*$.1 -12183160834035969.6966701581202 + 5.03514412239156050610233705811E-13*$.1 // même valeur => idéal principalDu coup, c'est cohérent ... trois racines pour $x^3 + x^2 + x - 2$ dans $\mathbb{F}_{37}$ et les idéaux de $O_L$ au dessus de $37$ sont principaux. Le coefficient en $q^p$ dans la série $L_K$ est $2$. La classe de conjugaison du Frobenius est trivial. Et $37$ doit être représenté par la forme neutre.Là un exemple, avec $-139$ carré modulo $11$.
G7 := GF(11); G<x> := PolynomialRing(G7); f := x^3 + x^2 + x - 2;Roots(f); g := x^2-x+35; Roots(g); [ <5, 1>, <7, 1> ] jInvariant([11,-5+t]) ; 2176.84833507905896066228290258 + 891.209392046552456790684488813*$.1Donc idéal non principal et donc $a_{11} = -1$, il y a pas de solution pour $x^3 + x^2 + x - 2$ dans $\mathbb{F}_{11}$ et $11$ n'est pas représenté par la forme neutre (mais par l'autre forme).Beh ça a l'air de tourner proprement ! Qu'est ce que tu en dis ? Je comprend certain lien de manière très très vague et surtout j'ai un peu fait le rigolo avec le jinvariant ... beh c'était juste l'occaz de faire mumuse :-D
Ps : j'ai vu que tu as fait rentrer le produit qui tue :
$$
\eta(q)\eta(q^{23}) = q\prod_{k=1}^\infty (1-q^k)(1-q^{23k})
$$
Pour le cas $-23$, si on admet que c'est bien la fonction $L$ ... on peut décortiquer l'extension cubique presque sans calcul.
Ps : journée un peu off aujourd'hui, je reprend ce soir.
J'ai modifié mon dernier message (niveau en lieu et place de degré).
Hindry explique ce qu'il faut faire pour une représentation d'Artin quand $p$ est ramifié.
Je n'ai pas compris grand chose mais il faut restreindre la représentation à $V^{I(\mathfrak p/p)}$, où cet exposant est un groupe d'inertie... :-S
Au besoin, je peux essayer d'y voir plus clair.
On veut tous y voir clair, n'est ce pas ? Je trouve que l'on est plus à l'aise quand on comprend mais cela n'engage que moi.
@flip flop Je vais lire attentivement tes calculs mais comme je suis lent, cela va prendre du temps.
Je voulais juste apporter une petite précision (AVANT que tu ne postes). Depuis quelques temps, nous avons vu passer des $L$-séries, disons :
$$
L(s) = \sum_{n \ge 1} {a_n \over n^s}, \qquad a_{nm} = a_n a_m \quad \hbox {quand $n \wedge m = 1$}
\qquad \qquad (\star)
$$
Et vu que nous sommes petits joueurs, les $a_n$ sont dans $\Z$ mais c'est pas trop important. Et nous nous sommes vachement concentrés sur les $a_p$ (pour $p$ premier) et peut-être un peu trop. Dans notre contexte, c'était bien moral car il y avait un polynôme $F$ de degré 3 tel que $N_p(F) = 1 + a_p$.
Mais il faut bien comprendre, de manière générale, que les $a_p$ ne déterminent pas $L$ : ce sont les $a_{p^r}$ qui font ce job de détermination.
Par ailleurs, quand je vois une série $L$ comme dans $(\star)$, je peux pas m'empêcher de lui demander ce qu'elle sait sur ses facteurs $p$-Eulériens, notons les $L_p(T)$ pour une fois, qui sont des séries formelles en $T$, à coefficients dans $\Z$ puisque nos $a_n$ sont supposés dans $\Z$ :
$$
L_p(T) = a_1 + a_pT + a_{p^2}T^2 + a_{p^3} T^3 + \cdots \in \ZT
$$
de sorte que $L(s) = \prod_p L_p(1/p^s)$.
Et souvent, $L_p(T)$ est une fraction rationnelle d'une forme particulière :
$$
L_p(T) = { 1 \over 1 + \text{truc}\, T + \text{chose}\,T^2 + \text{machin}\, T^3 + \cdots}
$$
Au dénominateur, il s'agit d'un polynôme (la somme est finie).
Et bien, si on développe le tout, on s'aperçoit que l'on voit $a_p$ dans $L_p(T)$, car obligatoirement :
$$
L_p(T) = { 1 \over 1 - a_pT + \text{chose}\,T^2 + \text{machin}\, T^3 + \cdots}
$$
Mais pour calculer les $a_{p^r}$, on a besoin de chose, machin ...etc...
Et, tant pis si je me répète, du point de vue de certains systèmes de Calcul Formel, la famille de fractions rationnelles $(L_p(T))_p$ est ``ancrée'' dans l'objet $L$. Sous forme d'un algorithme en $p$. Et c'est comme cela que sont déterminés les $a_p$, les $a_{p^r}$, juste par la connaissance de $L_p(T)$ et enfin, à la demande, les $a_n$ et enfin $L(s)$.
C'était juste une petite remarque.
$$L_{\rho,p}(T)^{-1}=\exp\left(\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\chi_\rho(\mathrm{Frob}_p^m)}{m}T^m\right).$$
Lorsque l'on supprime les objets pour les grands (L, $\rho$, Frob), il reste un résultat totalement élémentaire (qui montre le résultat pour les grands). Le résultat élémentaire s'énonce ainsi : soient $K$ un corps de caractéristique $0$, $u$ un endomorphisme d'un $K$-espace vectoriel de dimension finie. Alors
$$
{1 \over \det(1 - Tu)} = \exp \left( \sum_{m \ge 1} {\text{Tr}(u^m) \over m} T^m \right)
\qquad \qquad (\star)
$$
J'ai la flemme de faire la preuve. Je pointe : lemme 1 en bas de la page 6 de https://www.normalesup.org/~tibouchi/math/weil.pdf. L'auteur profite du fait que $K$ est un sous-corps de $\C$ mais on pourrait tout autant plonger $K$ dans le corps de décomposition de $\det(1 - Tu)$ histoire d'obtenir :
$$
\det(1 - Tu) = (1 - \lambda_1T) \cdots (1 - \lambda_r T)
$$
Note : la formule $(\star)$ motive l'introduction, pour une suite $(u_m)_{m \ge 1}$, de la série formelle :
$$
\exp \left( \sum_{m \ge 1} {a_m \over m} T^m\right)
$$
Que si l'auteur est poli, il dit pourquoi que.
Du coup, je commence à mieux comprendre quelques idées.
Mais va falloir que je reprenne pas à pas l'exemple de $F=X^3-X^2-1$.
Je commence à trouver de la motivation pour ces histoires de fonctions $L$. :-)
J'ai examiné tes calculs dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1480666,1481532#msg-1481532. Je vois que tu t'amuses bien (utilisation de la fonction modulaire $j$ sur les idéaux d'un anneau quadratique imaginaire !).
Ce qui me turlupinait le plus, c'était cette histoire de Frobenius pour l'extension cubique $K/\Q$. J'avais ``oublié'' (ou jamais vu) qu'il y avait une fonction toute faite FrobeniusElement(number-field, prime-number).
De temps en temps, je suis quand même épaté par ce que les ``gens savent faire'' : il s'agit ici de retourner l'objet comme une permutation des racines du polynôme ayant servi à définir le corps de nombres. Et la documentation mentionne : Frobenius element is well-defined up to conjugacy and modulo inertia. Je t'assure que cela ne doit pas être de la tarte car il pourrait arriver qu'un premier divise le discriminant du polynôme sans être ramifié. C'est pas le cas chez nous vu la rigidité des exemples, rigidité due à l'égalité $\mathcal O_K = \Z[X]/\langle F\rangle$.
On fera un essai plus tard avec le polynôme de Dedekind $G = X^3 + X^2 - 2X + 8$ : on a 2 qui divise le discriminant de $G$ mais le discriminant de l'anneau des entiers de $K := \Q[X]/\langle G\rangle$ est $-503$ et 2 y est totalement décomposé (c'est ``pire'' que cela car 2 divise tout indice $[\mathcal O_K : A]$ où $A$ est monogène). On verra ce que dit FrobeniusElement(K, 2) : je suppose qu'ils font un peu de 2-adique.
Je pense avoir tout compris tes calculs. Mais quand tu dis que $a_p$ détermine $Z_p(T)$ (disons du corps cubique) c'est parce que :
$$
Z_p(T) = {1 \over 1-T}\times {1 \over 1 - a_pT + \bigl({p \over D}\bigr)T^2 } \qquad\qquad \hbox {($D$ étant le discriminant qui intervient)}
$$
Plus tard, si tu permets, je te fournirais des constructions magma ``plus sécurisées''. Je pense toujours que c'est de la folie de travailler en ligne ; il doit quand même y avoir de temps en temps des soucis de ``garbage''. De mon côté, j'ai la vie plus facile car je travaille en ``loading expérimental'' avec un input file dont la première ligne est ``clear''. Je veux pas d'ennuis, c'est trop risqué dans les ``expériences''.
Quant à ``mon'' $\eta$-produit, c'est juste parce que je l'ai vu mentionné chez Serre, histoire de doubler les $\Theta$-séries. En fait, la coïncidence entre le $\eta$-produit et la demi-différence des $\Theta$-séries, c'est indépendant du reste. Quoique après tout, l'histoire de ces objets est liée au discriminant $-23$.
C'est dingue : j'ai vu qu'il y avait un bouquin entier (Springer, 2011) Eta products and Theta Series. Si, sous ton moteur de recherche préféré, tu fais ``Modular forms, eta-products, eta-quotients'' ou un truc dans ce goût là, tu vas voir la production relativement récente. Il faut de tout pour faire un monde.
Pour $a_p$ détermine $Z_p$ ou $L_p$ () ... oui c'est dans notre contexte du polynôme de degré $3$. Sinon oui, j'ai voulu faire un peu mumuse avec le $j$ invariant (faut se faire des petits plaisirs :-) J'ai quand même eu un affreux doute pendant la journée ! Le $j$-invariant classifie les réseaux de $\C$ à multiplication par un élément de $\C^\star$ près. Mais ici j'ai utilisé un truc un peu plus fort :
Si $\Lambda$ est un réseau associé a un anneau d'entier quadratique $O$, et si $\lambda_1$ est un idéal de $O$.
$\Lambda$ et $\Lambda_1$ ont le même $j$-invariant ssi $\Lambda_1$ est principal.
le sens droite gauche est ok. Mais le sens gauche droite demande un petit truc, car on sait qu'il existe un complexe $z \in \C$ tel que $\Lambda_1 = z \Lambda$ mais $z$ est dans $\C$ et nous on veut $z$ dans $O$. Bon en écrivant, c'est trivial en fait ... il suffit de prendre $1 \in \Lambda$ pour garantir que $z$ est dans $\Lambda_1$ ... De tête, je n'avais pas réussi a faire la démo.
@Gai requin : je vais essayé de faire un résumé avec $-23$ ...
A propos d'idéaux (non nuls) d'un anneau quadratique imaginaire $A$ vus comme réseaux de $\C$. Soient donc $I_1, I_2$ deux idéaux (non nuls, bis) de $A$ que l'on voit comme des réseaux de $\C$. Ceci a du sens puisque $A$ est réalisé dans $\C$ et que $I_1, I_2$ sont des $\Z$-modules libres de rang 2.
Je suppose que $I_1, I_2$ sont semblables comme réseaux i.e. il existe $z \in \C^*$ tel que $zI_1 = I_2$. Alors $I_1 \sim I_2$ dans $A$. En effet, en prenant $x_1 \in I_1$ non nul et en notant $x_2 = zx_1$ qui est dans $I_2$, on a :
$$
zI_1 = I_2 \qquad \hbox {que l'on multiplie par $x_1$} \qquad x_2I_1 = x_1I_2
$$
Et tout d'un coup, je vois que c'est totalement évident et que c'était pas la peine d'en faire un fromage (de ma part). Tant pis, je poste.
Ce qui compte est que H/Q, de groupe de Galois S_3, est le corps de classes de Hilbert de l'extension quadratique imaginaire Q(sqrt(-23)).
On retrouve le même exemple, avec D=-23, dans la réponse de Emerton de la discussion suivante :
Emerton
Je tente un petit résumé mais je ne peux pas le faire en pdf pour l'instant. Remarque c'est trop théorique et je vais faire un autre post avec les fonctions $L$ et les histoires de fumette !
La situation est la suivante :
$$
\xymatrix {
& K' \ar@{-}[dl]_3\ar@{-}[dl] \ar@{-}[dd]^{S_3} \ar@{-}[dr]^2 \\
L := \Q(\sqrt {-23}) \ar@{-}[dr]_2&& K\ar@{-}[dl]^3 \\
&\Q \\
}
$$
$K^\prime$ est le corps de Hilbert $L$ de degré $3$ sur $L$. L'extension $K'$ est donné par le polynôme $x^3-x-1$ sur $L$ et $K$ et l'extension donné par ce polynôme sur $\Q$.
Je vais expliquer un peu tout les acteurs de cette histoire.1 / Le premier truc c'est de décrire les idéaux premiers de $L$.
Dans ce contexte, une question est de savoir a quelles condition les idéaux premiers de $O_L$ sont principaux ou non. je vais dire que c'est la question (PIPP) (problème idéaux premiers principaux).
Là il y a deux ingrédients : Le corps de classe de Hilbert et la théorie des formes binaires quadratiques de Gauss.
a. Niveau corps de classe de Hilbert : (a vérifier)
On dispose d'un isomorphisme $C\ell_L \to \text{Gal}(K' \mid L)$ qui est donné sur les idéaux premiers par le morphisme de Frobenius $$ \mathfrak{p} \mapsto \text{Frob}(\mathfrak{p} ; K' \mid L)
$$
Note : on va manipuler plusieurs Frobenius différent donc je vais faire attention a être un peu précis.
b. Niveau théorie de Gauss : Il faut introduire les formes quadratiques de discriminant $-23$, il y en a trois :
$$
q_0(x,y) = x^2+xy+6y^2 \quad \text{(la forme norme)} \qquad \qquad q_1(x,y) = 2x^2 \pm xy+3y^2
$$
Un idéal au dessus de $p$ est principal si et seulement si $p$ est inerte ou $p$ est totalement décomposée et est représenté par la forme normique. (a vérifier).
c. Donc si on regroupe les deux résultats on obtient la chose suivante :
Soit $p$ un premier (je laisse tomber la ramification $p \ne 23$.
Pour finir, je vais décrire les Frobenius de l'extension $K' \mid \Q$ c'est une notion a conjugaison près et je vais donner seulement l'ordre des Frobenius (mais comme le groupe qui contient ces Frobenius est $S_3$ l'ordre suffit a décrire la classe de conjugaison).
Jusque là je n'ai pas parlé de l'extension $K$ mais on va voir que la connaissance des Frobenius rend l'étude du polynôme $X^3-X-1$ dans les corps finis premier très simple.
Donc le problème que je veux résoudre ici est le suivant : (je ne pense pas qu'il existe une réponse par des congruences sur $p$). (note : c'est interne a l'exemple, normalement ont a besoin de résoudre l'équation sur tout les corps finis et pas seulement les corps finis premier).
Etant donnée un premier $p$, trouver le nombre de solution de $X^3-X-1=0$ sur $\mathbb{F}_p$ (toujours je ne regarde pas du tout $p=23$).
Je remet le diagramme du début : car pour l'instant on a regardé la décomposition des idéaux par la gauche et maintenant on va regarder par la droite.
$$
\xymatrix {
& K' \ar@{-}[dl]_3\ar@{-}[dl] \ar@{-}[dd]^{S_3} \ar@{-}[dr]^2 \\
L := \Q(\sqrt {-23}) \ar@{-}[dr]_2&& K\ar@{-}[dl]^3 \\
&\Q \\
}
$$
Un premier truc : je vais utiliser le critère de Stickelberger
Le discriminant de $X^3-X-1$ est $-23$, donc $-23$ n'est pas un carré modulo $p$ si et seulement si $X^3-X-1 =0$ admet une unique solution dans $\mathbb{F}_p$.
Maintenant, on regarde $p$ carré modulo $23$.
Si $p$ est représenté par la forme normique alors le Frobenius est trivial et il y a $6$ point dans $\mathbb{F}_p$ sur le schéma $O_{K'}$ donc $3$ racine de $X^3-X-1$ sur $\mathbb{F}_p$.
Si $p$ n'est pas représenté par la normique, alors les deux points sur $\mathbb{F}_{p^3}$ de $O_{K'}$ donne un unique point sur $O_K$ de corps résiduel $\mathbb{F}_{p^3}$.Je résume mon petit résumé (:-D) !
$X^3-X-1 =0$ a $1$ solution dans $\mathbb{F}_p$ si et seulement si $-23$ est non carré modulo $p$.
$X^3-X-1 =0$ a $0$ solution dans $\mathbb{F}_p$ si et seulement si $-23$ est carré modulo $p$ et est non représenté par la forme normique.
$X^3-X-1 =0$ a $3$ solution dans $\mathbb{F}_p$ si et seulement si $-23$ est carré modulo $p$ et est représenté par la forme normique.
Je stop là, demain je fais entrer les fonctions $L$ et les autres trucs ! Je me fait pourrir par le forum est je n'ai pas envie de perdre ce que je viens d'écrire :-D
Dans notre histoire Serre donne un fonction modulaire
$$
\eta(q)\eta(q^{23}) = q\prod_{k=1}^\infty (1-q^k)(1-q^{23k})
$$
Serre donne une autre formule : elle fait intervenir les forme binaires quadratiques de discriminant $-23$, il s'agit de $q_0(x,y) = x^2+xy+6y^2$ (la forme norme) et $q_1(x,y) = 2x^2 \pm xy+3y^2$. On a :
$$
q\prod_{k=1}^\infty (1-q^k)(1-q^{23k}) = {1 \over2} \Big( \sum_{x,y} q^{q_0(x,y)} - \sum_{x,y} q^{q_1(x,y)} \Big)
$$
q- q^2 - q^3 + q^6 + q^8 - q^13 - q^16 + q^23 - q^24 + q^25 + q^26 + q^27 - q^29 - q^31 + q^39 - q^41 - q^46 - q^47 + q^48 + q^49 - q^50 - q^54 + q^58 + 2*q^59 + q^62 + q^64 -q^69 - q^71 - q^73 - q^75 - q^78 - q^81 + q^82 + q^87 + q^93 + q^94 - q^98 + O(q^101)Les coefficients donne de l'information arithmétique ! Par exemple si tu regardes le coefficient de $q^{59}$, c'est deux et ça signifie que le polynôme $x^3-x-1$ admet trois racines sur le corps $\mathbb{F}_{59}$ ... ou que $59$ s'écrit sous la forme $x^2+xy+6y^2$ ( x=-7 et y = 2) ou que un certain idéal est principal !
Le truc c'est que cette fonction est modulaire de poids $1$ (ou deux ???) pour le sous groupe de congruence $\Gamma_1(23)$ avec caractère de Kronecker $\chi_{-23}$ ... Tu comprends ce que ça veux dire ? Si tu peux nous dire deux ou trois trucs sur cette fonction, ça nous permettrai de comprendre un peu mieux !
$$(MOD)\ \ F(\gamma.z)=\chi(d)(cz+d)^1F(z),$$ avec $\gamma.z=(az+b)/(cz+d)$ et $c=0\mod 23$ et $q=\exp(2i\pi z).$
L'exposant "1" est là pour souligner le poids 1.
Essayons de fabriquer un exemple similaire pour pas trop cher afin démystifier ces fonctions :
A) La fonction theta de Jacobi $\theta(z)=\sum q^{n^2}$ est "modulaire de poids 1/2" pour $\Gamma_0(1)=SL_2(\mathbb Z).$
En effet, sur les générateurs de $SL_2$ elle vérifie
a) $\theta(z+1)=\theta(z)$ (immédiat), et
b) $\theta(-1/z)=\sqrt{-iz}\theta(z)$ (qui découle de la formule sommatoire de Poisson; là on est dans de l'analyse sérieuse). Je tiens ces faits comme bien connus... ?
Ce corps étant de nombre de classes 1, il n'y a qu'une seule classe de forme quadratique intéressante, celle de $q.$
Les exemples de Serre concernent plutôt des cas de nombre de classes (toujours impair) égal à 3, donc avec essentiellement 3 formes quadratiques positives à considérer, une pour chaque classe.
C) Il se trouve que les "formes modulaires de poids 1" qui apparaissent (pour D=23 par. ex.) se développent souvent en produit infini, mais en première lecture je suggère de considérer ceci comme une "coïncidence fortuite". Ces sont les séries thêtas de poids 1 qui entrent en jeu principalement. Hecke est celui qui a démontré qu'elles (ou plutôt leur combinaison linéaire selon un caractère du groupe des classes) vérifient bien l'équation de modularité (MOD).
D) Par contre, un fait général est le lien entre séries de Dirichlet arithmétiques et les formes modulaires. On le voit déjà en action avec l'exemple A).
on pose z=it, t>0, et on prend la transformée de Mellin $\int_0^\infty \theta(it)t^sdt/t$ de $\theta.$ On voit rapidement que, à des termes élémentaires près, il s'agit de la fonction $\zeta$ de Riemann. Et l'identité clef A.b) est équivalente à l'équation fonction reliant $\zeta(s)$ à $\zeta(1-s).$
Il y a un lien analogue entre certaines formes de poids 1 (celles dites de type diédrale) et les séries de Dirichlet introduites par Claude.
J'ai mis un peu de temps pour m'y retrouver avec $\theta^2$. Je me suis demandé ce que venais faire un $i$ (dans l'équation de $\theta$) dans cette histoire, mais c'est bon.
Pour montrer que $\theta^2$ est modulaire pour $\Gamma_0(4)$ avec caractère $\chi_{-4} := [ n \mapsto (-1)^{\frac{n-1}{2}} ] $.(si $n$ est impair et $0$ sinon).
On dispose d'un système de générateur de $\Gamma_0(4) = \langle t , s\rangle$, avec $s := \frac{-z+1}{-4z+3}$ (j'ai pris cette forme (avec les $-$) là juste pour voir le rôle du caractère) et $t$ la translation $z \mapsto z+1$. et on va noter $\gamma(s) := -z^{-1}$.
On souhaite voir que :
$$\theta^2(s(z)) = \chi_{-4}(3) (-4z+3)\theta^2(z)$$
Alors on écrit :
$$s(z) = \frac{-z+1}{-4z+3} =\frac{z-1}{4z-3} = \frac{z-1}{4(z-1)+1} = ... = - \gamma(4-\gamma(t^{-1}(z))) = \gamma(\gamma(t^{-1}(z))-4) $$
Et on dispose des deux relations :
$$
\theta^2(\gamma(z)) = -iz\theta^2(z) \qquad \text{et} \qquad \theta^2(z) = \theta^2(t(z))
$$
Donc : (ce n'est pas très lisible mais j'ai vérifié)
$$
\theta^2(\gamma(\gamma(t^{-1}(z))-4)) = -i (\gamma(t^{-1}(z))-4) \theta^2(\gamma(t^{-1}(z))-4) = -i (\gamma(t^{-1}(z))-4) (-i) (z-1) \theta^2(z) = -1 (-4z+3) \theta^2(z)$$
Je continu la lecture !