involutions réelles continues ?
dans Analyse
Salut,
A-t-on $\{f\in C(\R)\mid f \circ f= \text{id et } f\neq \text{ id} \}=\{x \rightarrow a-x \mid a\in \R\}$ ?
Cordialement.
A-t-on $\{f\in C(\R)\mid f \circ f= \text{id et } f\neq \text{ id} \}=\{x \rightarrow a-x \mid a\in \R\}$ ?
Cordialement.
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Réponses
Puis les n-lutions.
Pour aller plus loin : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1198849,1350234#msg-1350234
Problème de précision: que signifie $C(\R)$? J'ai fait comme si ça voulait dire $C^0(\R,\R)$.
Oui, tu as supposé la bonne chose mais de toutes les façons cela reste vrai même si on suppose que $$C(\R)\in \{C^p(\R,\R)|p \in \N \cup \{\infty\} \}$$
En fait, la raison de mon post est que je craignais que tu aies oublié de taper une condition ou que $C(\R)$ ait une signification que j'allais apprendre avec surprise... Apparemment non, tant mieux alors.
Et sinon, pour les involutions continues et décroissantes sont toutes conjuguées à $-Id$...
Cela va au-delà de mes compétences actuelles.
donc f est strictement croissante ou strictement decroissante
- si f est strictement croissante
si f(x)<x (resp. f(x)>x) alors $x=f\circ f(x)<f(x)<x$ (resp. $x=f\circ f(x)>f(x)>x$) on tombe sur une contradiction donc $f(x)=x$ c'est a dire $f=id$
- si f est strictement décroissante
:-D
Anecdote (un peu HS et pour info à gebrane): tu peux écrire << $x\leq f(x)\to x=f(x)$ et $x\geq f(x)\to x=f(x)$ donc $x=f(x)$>>, ce qui t'évite un raisonnement par l'absurde apparent (mais tu exploites tout pareil $[x\leq f(x)$ ou $x\geq f(x)]$, qui est admis dans ce cas)
Je suis bête,