Proba sur $\Q$
Salut,
Peut-on munir $\Q^+$ d'une proba $P$, tel que :
$\forall A,B\subset \Q^+, P(A+B) \leq P(A)+P(B) \text{ et } P(A\times \leq P(A)\times P(B)$ ?
Avec $A+B=\{a+b|a\in A, b\in B\}$.
Cordialement.
Peut-on munir $\Q^+$ d'une proba $P$, tel que :
$\forall A,B\subset \Q^+, P(A+B) \leq P(A)+P(B) \text{ et } P(A\times \leq P(A)\times P(B)$ ?
Avec $A+B=\{a+b|a\in A, b\in B\}$.
Cordialement.
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Réponses
EDIT : Le message initial a été modifié. La réponse continue d'être oui, mettre tout le poids sur $0$.
Là on obtient pour tout $a \in \mathbb{Q}^+$ que $P(a) \leq P(a) P(1)$, et donc on doit avoir $P(1) = 1$, mais alors on n'a pas $P(1) \leq P(1/2) \times P(2)$, donc une telle proba n'existe pas.
Et si on ne gardait que la "sous-additivité" ?
edit : On a $a_{n0} + a_{n1} = a_n$.
On voit qu'il suffit de se réduire à
Et pourquoi, toutes les probas candidates pourraient être ramené à cette forme ?
Ok, j'ai compris pour cette partie.
(J'ai fini par comprendre ton explication).
Aller la dernière : si on prend juste : $A\subset \Q^+,P(A+1)\leq P(A)$
Et puis en fait c'est vrai puisqu'il n'existe pas de fonction sous-additive (de somme $1$).
Cordialement.
Cordialement.
édit : Merci Champollion.
@Poirot : je t'invite à lire ma signature.
Cordialement.