Pour Yves M. Je viens de revérifier l'exemple que je propose d'examiner, et ce n'est pas l'arc vert (celui qui passe par E), mais l'arc noir (celui qui passe par C) qui est sur la sellette. Quel est donc le lieu des $Z$ tels que $\phi(Z)=0°$ ?
Voyons, pldx, c'est possible que je me sois encore fichu dedans. Tu passes du problème initial à ton problème par une similitude directe correspondant à la multiplication par $1+i$. Correct ?
Ah oui, je ne suis toujours pas parti du bon point. le bon point duquel je voulais partir, c'est $i(4+2\sqrt3)$, celui qui est "au sommet" de l'arc capable. Appliquons la similitude, l'image est
$$(1+i)i(4+2\sqrt3)= -4-2\sqrt3+i(4+2\sqrt3)$$
J'espère que ce-coup-ci, c'est enfin bon !
@GaBuZoMeu : avec $\displaystyle z_M= -4-2 \sqrt{3} + i (4+2 \sqrt{3})$ et toujours l'arc de cercle capable en vert.
Avec $\displaystyle z_A = 2(1+i), z_B=-2(1+i), z_M = -4-2 \sqrt{3} + i (4+2 \sqrt{3}$, on a $\displaystyle Arg(z_M-z_A) = {5 \pi \over 6}, Arg(z_M-z_B) = {2 \pi \over 3}$ et donc $\displaystyle (MA, MB ) = Arg(z_M-z_B) - Arg(z_M-z_A) = Arg{z_M-z_B \over z_M-z_A}= -{\pi \over 6}$ ce qui n'est pas égal à $\displaystyle {\pi \over 6}$ et le point $M$ n'est pas dans l'ensemble solution. Comme ce point $M$ n'est pas sur l'arc capable tracé en vert, je ne vois pas de contradiction.
On peut continuer longtemps... mais vous êtes aussi capable de calculer, alors que cherchez-vous à montrer ?
Je ne change rien. L'énoncé est tout en haut posé par @gebrane0. J'ai proposé les trois démonstrations analytique, géométrique et complexe avec le même énoncé... et la même relation : $(MA,MB) = Arg(z_M-z_B) - Arg(z_M - z_A) = +{\pi \over 6}.$
Sur le dessin, avec $z_A=2(1+i), z_B=-2(1+i)$ la solution est l'arc capable tracé en vert.
Pour une raison que je ne comprends pas (encore), @pdlx1 semble avoir un problème avec ce résultat. J'ai demandé un contrexemple et je n'en ai pas encore reçu... ce qui ne me surprends pas beaucoup compte tenu des démonstrations proposées.
@GaBuZoMeu,
Si on change le problème comme proposé par @pdlx1, alors le l'arc capable en noir devient la solution et ceci est confirmé par mon calcul sur ton $z$, non ? toujours pas de contradiction...
On parle bien du problème de pldx (pas toi ?), avec
$\phi(M)=Arg(z-2-2*I)-Arg(z+2+2*I)-30°$
Si tu parles d'autre chose, ce n'est pas grave.
Bon, je vois que tu as fini par t'en apercevoir. Sauf que tu n'as pas compris que l'ensemble solution ici n'est justement pas tout l'arc capable. Relis posément ce qu'a écrit pldx.
Avec $z_A=2(1+i), z_B=-2(1+i), \phi(M) = (MB,MA) = Arg(z_M - z_A) - Arg(z_M - z_B) = + {\pi \over 6}$, que je crois bien être le cas que vous considérez, je trouve effectivement l'arc capable tracé en noir.
Je veux bien un contrexemple : quel point $M$ se trouve sur l'arc en noir et n'est pas solution ?
Tu n'arrives pas à lire ce qu'écrit pldx ?
Quelle note faudrait-il te mettre sur cet exercice ? :-D
Voyons, j'essaie de ne pas me tromper. Je prends l'image de $A$ par la rotation de centre $B$ d'angle $2\pi/3$ :
$$ -(2+2i) + (-1/2+i \sqrt3/2)(4+4i)=-4-2\sqrt3 +i(2\sqrt3-4)$$
On voit bien sûr clairement sur la figure que l'argument de $z_F-z_A$ est $5\pi/6$, bien sûr.
Tu n'arrives pas à calculer $z_F-z_A$, ni $z_F-z_B$ ?
P.S.
1°) Tu modifies ton message sans laisser trace de ton erreur précédente. Tu avais honte ?
2°) Tu n'as toujours pas compris ce qu'est $\mathrm{Arg}$, l'argument principal ? Je te le rappelle : si $z$ est un complexe non nul, $\mathrm{Arg}(z)$ est l'élément de $\theta\in {]{-\pi},\pi]}$ tel que $z=|z|\, e^{i\theta}$.
Donc $\mathrm{Arg}(z_F-z_A)-\mathrm{Arg}(z_F-z_B) = -11\pi/6$ et $-11\pi/6\neq \pi/6$.
Par contre $\mathrm{arg}(z_F-z_A)-\mathrm{arg}(z_F-z_B) = \pi/6 \bmod{2\pi}$.
J'ai corrigé mon erreur de signe/ calcul. Donc on met le doigt sur ce que vous ne prenez pas en compte : le modulo. On trouve que $F$ est bien dans l'ensemble solution car $\phi (F) = -{11 \pi \over 6} =+ { \pi \over 6} \mod(2\pi).$ Il faut tout de même savoir que $Arg$ est une fonction définie modulo $2\pi$ et que, d'après l'énoncé, l'argument dit principal est choisi : on ramène grâce au modulo les arguments dans l'intervalle $]-\pi, \pi].$
Il faut tout de même savoir que $Arg$ n'est pas une fonction définie modulo $2\pi$, mais que, au contraire, cette fonction a été définie par $\displaystyle Arg(z) = 2 \arctan {\Im(z) \over \Re(z) + |z|}$ (en ayant choisi de couper le plan selon la demi-droite formée par les réels négatifs ou nuls).
Qui donc a rappelé cette définition au cours de ce fil ?
Je l'ai dit. $\mathrm{Arg}$ est un nombre réel, pas un nombre réel modulo $2\pi$ ; tu ne veux toujours pas comprendre la différence entre $\mathrm{Arg}$ et $\mathrm{arg}$.
Le nombre réel $-11\pi/6$ est différent du nombre réel $\pi/6$.
J'en ai marre de ton obstination à refuser de comprendre ça. Je sors.
Mon cours et Wikipedia (*) définissent la fonction argument modulo $2\pi.$ Si tu ne le fais pas, merci de m'expliquer comment tu calcules l'argument de $1 = e^{i 2 \pi} =e^{i 100 \pi} $ ? Je veux bien apprendre. Peux-tu définir la fonction argument ?
Dans mes postes, je l'ai définie par $Arg: z=r e^{i \theta} \in \C^*, r>0, \theta \in ]-\pi, \pi] \mapsto \theta.$ Quand $\theta$ n'est pas dans cet intervalle, on utilise le modulo $2\pi.$
(*) observez le sérieux de la référence...
Dans notre exercice, comme $Arg(z) - Arg(w) = Arg(z/w) \mod(2\pi)$ (**) pour deux complexes non nuls, on a bien ce que je calcule. J'ai rappelé cette relation dans un de mes postes.
Est-ce cette relation (**) que vous ne voulez pas utiliser ? ça expliquerait pourquoi vous restez à $Arg(z)-Arg(w) = -{11 \pi \over 6}$ et n'utilisez pas le modulo $2\pi$...
On aurait pu éviter tout ça si vous m'aviez corrigé dans mon premier poste où j'ai rappelé que $Arg(z)-Arg(w) = Arg(z/w) \mod(2\pi)$ pour tous complexes non nuls, ce qui est faux. Si on ne me corrige pas, alors que je prends soin d'écrire les relatios que j'utilise, j'ai tendance à penser que c'est juste...
Réponses
$(1+i)(2+i2\sqrt3)$
P.S. Caramba, encore raté.
Cordialement, Pierre.
Cordialement, Pierre.
[size=large]Je crois que je vais sortir de mon propre fil
( c'est une première dans ce Forum)
Plein de confusion[/size]
Ah oui, je ne suis toujours pas parti du bon point. le bon point duquel je voulais partir, c'est $i(4+2\sqrt3)$, celui qui est "au sommet" de l'arc capable. Appliquons la similitude, l'image est
$$(1+i)i(4+2\sqrt3)= -4-2\sqrt3+i(4+2\sqrt3)$$
J'espère que ce-coup-ci, c'est enfin bon !
@GaBuZoMeu : avec $\displaystyle z_M= -4-2 \sqrt{3} + i (4+2 \sqrt{3})$ et toujours l'arc de cercle capable en vert.
Avec $\displaystyle z_A = 2(1+i), z_B=-2(1+i), z_M = -4-2 \sqrt{3} + i (4+2 \sqrt{3}$, on a $\displaystyle Arg(z_M-z_A) = {5 \pi \over 6}, Arg(z_M-z_B) = {2 \pi \over 3}$ et donc $\displaystyle (MA, MB ) = Arg(z_M-z_B) - Arg(z_M-z_A) = Arg{z_M-z_B \over z_M-z_A}= -{\pi \over 6}$ ce qui n'est pas égal à $\displaystyle {\pi \over 6}$ et le point $M$ n'est pas dans l'ensemble solution. Comme ce point $M$ n'est pas sur l'arc capable tracé en vert, je ne vois pas de contradiction.
On peut continuer longtemps... mais vous êtes aussi capable de calculer, alors que cherchez-vous à montrer ?
pldx posait bien le problème avec $\mathrm{Arg}(z-z_A)-\mathrm{Arg}(z-z_B)$
Je ne change rien. L'énoncé est tout en haut posé par @gebrane0. J'ai proposé les trois démonstrations analytique, géométrique et complexe avec le même énoncé... et la même relation : $(MA,MB) = Arg(z_M-z_B) - Arg(z_M - z_A) = +{\pi \over 6}.$
Sur le dessin, avec $z_A=2(1+i), z_B=-2(1+i)$ la solution est l'arc capable tracé en vert.
Pour une raison que je ne comprends pas (encore), @pdlx1 semble avoir un problème avec ce résultat. J'ai demandé un contrexemple et je n'en ai pas encore reçu... ce qui ne me surprends pas beaucoup compte tenu des démonstrations proposées.
@GaBuZoMeu,
Si on change le problème comme proposé par @pdlx1, alors le l'arc capable en noir devient la solution et ceci est confirmé par mon calcul sur ton $z$, non ? toujours pas de contradiction...
Bon, je vois que tu as fini par t'en apercevoir. Sauf que tu n'as pas compris que l'ensemble solution ici n'est justement pas tout l'arc capable. Relis posément ce qu'a écrit pldx.
Avec $z_A=2(1+i), z_B=-2(1+i), \phi(M) = (MB,MA) = Arg(z_M - z_A) - Arg(z_M - z_B) = + {\pi \over 6}$, que je crois bien être le cas que vous considérez, je trouve effectivement l'arc capable tracé en noir.
Je veux bien un contrexemple : quel point $M$ se trouve sur l'arc en noir et n'est pas solution ?
Quelle note faudrait-il te mettre sur cet exercice ? :-D
Voyons, j'essaie de ne pas me tromper. Je prends l'image de $A$ par la rotation de centre $B$ d'angle $2\pi/3$ :
$$ -(2+2i) + (-1/2+i \sqrt3/2)(4+4i)=-4-2\sqrt3 +i(2\sqrt3-4)$$
Alors je calcule avec $\displaystyle z_F = -4-2 \sqrt{3} + i (2 \sqrt{3} - 4).$
On a donc $\displaystyle z_A=2(1+i), z_B=-2(1+i), \phi(F) = (FB,FA) = Arg(z_F - z_A) - Arg(z_F - z_B).$
On calcule $\displaystyle Arg(z_F - z_A) =Arg(-6-2 \sqrt{3} + i (2\sqrt{3}-6)) = -{11 \pi \over 12}, Arg(z_F - z_B) = Arg(-2(1+\sqrt{3}) + 2i ( \sqrt{3}-1)))= {11 \pi \over 12}$ et la différence vaut $\displaystyle \phi(F)= -{11 \pi \over 6} = + {\pi \over 6}$ modulo $2\pi.$
Donc le point $F$ est bien dans l'ensemble solution.
Sans déconner, qu'est-ce que vous comprenez pas ?
Tu n'arrives pas à calculer $z_F-z_A$, ni $z_F-z_B$ ?
P.S.
1°) Tu modifies ton message sans laisser trace de ton erreur précédente. Tu avais honte ?
2°) Tu n'as toujours pas compris ce qu'est $\mathrm{Arg}$, l'argument principal ? Je te le rappelle : si $z$ est un complexe non nul, $\mathrm{Arg}(z)$ est l'élément de $\theta\in {]{-\pi},\pi]}$ tel que $z=|z|\, e^{i\theta}$.
Donc $\mathrm{Arg}(z_F-z_A)-\mathrm{Arg}(z_F-z_B) = -11\pi/6$ et $-11\pi/6\neq \pi/6$.
Par contre $\mathrm{arg}(z_F-z_A)-\mathrm{arg}(z_F-z_B) = \pi/6 \bmod{2\pi}$.
Élève YvesM, vous êtes indécrottable. Vous aurez $0$ à l'exercice. ;-)
J'ai corrigé mon erreur de signe/ calcul. Donc on met le doigt sur ce que vous ne prenez pas en compte : le modulo. On trouve que $F$ est bien dans l'ensemble solution car $\phi (F) = -{11 \pi \over 6} =+ { \pi \over 6} \mod(2\pi).$ Il faut tout de même savoir que $Arg$ est une fonction définie modulo $2\pi$ et que, d'après l'énoncé, l'argument dit principal est choisi : on ramène grâce au modulo les arguments dans l'intervalle $]-\pi, \pi].$
J'écris ce que je fais. Si c'est faux, tu pourrais dire où ?
Qui donc a rappelé cette définition au cours de ce fil ?
Cordialement, Pierre.
Le nombre réel $-11\pi/6$ est différent du nombre réel $\pi/6$.
J'en ai marre de ton obstination à refuser de comprendre ça. Je sors.
Mon cours et Wikipedia (*) définissent la fonction argument modulo $2\pi.$ Si tu ne le fais pas, merci de m'expliquer comment tu calcules l'argument de $1 = e^{i 2 \pi} =e^{i 100 \pi} $ ? Je veux bien apprendre. Peux-tu définir la fonction argument ?
Dans mes postes, je l'ai définie par $Arg: z=r e^{i \theta} \in \C^*, r>0, \theta \in ]-\pi, \pi] \mapsto \theta.$ Quand $\theta$ n'est pas dans cet intervalle, on utilise le modulo $2\pi.$
(*) observez le sérieux de la référence...
Dans notre exercice, comme $Arg(z) - Arg(w) = Arg(z/w) \mod(2\pi)$ (**) pour deux complexes non nuls, on a bien ce que je calcule. J'ai rappelé cette relation dans un de mes postes.
Est-ce cette relation (**) que vous ne voulez pas utiliser ? ça expliquerait pourquoi vous restez à $Arg(z)-Arg(w) = -{11 \pi \over 6}$ et n'utilisez pas le modulo $2\pi$...
@soleil_vert, merci j'ai lu.
On aurait pu éviter tout ça si vous m'aviez corrigé dans mon premier poste où j'ai rappelé que $Arg(z)-Arg(w) = Arg(z/w) \mod(2\pi)$ pour tous complexes non nuls, ce qui est faux. Si on ne me corrige pas, alors que je prends soin d'écrire les relatios que j'utilise, j'ai tendance à penser que c'est juste...