Mais où est le centre ?

pourexemple · February 2017

Bonjour,

Soient [édit3]2 ellipses 2 surfaces finies (délimitées par 2 éllipses)[\édit3] $ E \text{ et } E'$ tel qu'il existe une similitude $s$ qui transforme $E$ en $E'$, avec $E \subset E'$.
Est-ce que le centre de $s$ est dans $E$ ou dans $E'$ ?

Bonne journée.

pappus · February 2017

Bonjour
Si $E\subset E'$, alors $E=E'$, $s$ conserve donc le centre de $E$ qui est alors le point fixe de $s$.
Amicalement
[small]p[/small]appus

pourexemple · February 2017

$E \text{ et } E'$ est une surface finie délimitée par une éllipse, donc on a pas forcément $E=E'$. 60132

pappus · February 2017

Mon cher pourexemple
Il fallait être plus clair dans ta définition d'une ellipse.
Il n' a que toi à utiliser cette définition.
Amicalement
[small]p[/small]appus

pourexemple · February 2017

J'ai rectifié l'énoncé, en espèrant que maintenant cela soit plus clair.

pappus · February 2017

Bonjour
Il y a un cas particulier simple intéressant où on peut sans doute (?) répondre de suite.
C'est celui où $E$ et donc $E'$ sont des cercles.
Amicalement
[small]p[/small]appus

pappus · February 2017

Bonjour
Peut-être une autre idée.
Appelons $s'$ la similitude inverse de $s$ qui renvoie $E'$ sur $E$.
Elle est contractante puisque son rapport est $k=\sqrt{\dfrac{Aire(E)}{Aire(E')}}<1$
Soit $O$ le centre de $s'$ qui est aussi celui de $s$
Alors on sait que $O$ est la limite de la suite $\{n\mapsto s'^n(M)\}$ où $M$ est un point quelconque du plan.
En prenant un point $M\in E'$, on sait que $s'(M) \in E$ et cette suite est donc contenue dans $E$ pour $n\ge 1$.
Sa limite $O$ appartient donc à $E$.
Amicalement
[small]p[/small]appus

pourexemple · February 2017

Bravo, mais c'est une réponse topologique (la seule que je connaisse), connaîtrais-tu une réponse géométrique ?

PS : à noter qu'avec le théorème de point fixe de Brouwer on n'a même pas besoin de contraction.

Que penses-tu de cette énoncé énigme, facile ou difficile ?

pappus · February 2017

Bonjour
Je pense surtout qu'énoncé est du genre masculin!
Amicalement
[small]p[/small]appus

soland · February 2017

Si deux similitudes $A$ et $B$ transforment une figure F en G alors $B^{-1}\circ A$ est une isométrie qui transforme F en elle-même.
On obtient donc toutes les similitudes qui transforment F en G en composant une isométrie (F$\rightarrow$F) avec $A$.
Si F est une ellipse il y a quatre isométries (F$\rightarrow$F).

Dans le cas des ellipses inscrites sans artifice dans mes rectangles les points marqués sont les points fixes de quatre similitudes transformant l'une en l'autre. 60146

pappus · February 2017

Mon cher pourexemple
Pourquoi invoquer le théorème de Brouwer alors que l'existence du point fixe est supposée dans ton énoncé et pourquoi pas le grand théorème de Picard ou le théorème de Fermat pendant que tu y es!
Quant à la difficulté de cet exercice, ce n'est pas à moi de la juger.
Mais à une époque où les similitudes ont disparu de notre culture et où l'enseignement des coniques se limite à leur classification, je pense que l'énoncé de ton exercice doit être du chinois ou de l'hébreu pour la plupart de nos étudiants!
Amicalement
[small]p[/small]appus

pourexemple · February 2017

@Pappus : Tu n'y es pas, ce n'est pas pour prouver l'existence d'un point fixe mais pour le localiser, et ici tu as utilisé le théorème de point fixe de Picard (des fonctions contractantes).

@Soland : j'avoue ne pas avoir compris ta solution.

Bonne journée.

soland · February 2017

J'ai passé à côté de l'hypothèse $E\subset E'$
Navré.

soland · February 2017

Je reviens sur la question.

Soit $S: z\mapsto z'$ une similitude de point fixe $c$, de rapport $<1$ et $E$ une ellipse.
Supposons $c\notin E$ et soit $p$ le point de $E$ le plus proche de $c$ ($E$ est fermée et bornée).

Alors $|p'c'|=|p'c|<|pc|$

Donc $p'$ est un point de $E'$ hors de $E$.