Mais où est le centre ?
dans Géométrie
Bonjour,
Soient [édit3]2 ellipses 2 surfaces finies (délimitées par 2 éllipses)[\édit3] $ E \text{ et } E'$ tel qu'il existe une similitude $s$ qui transforme $E$ en $E'$, avec $E \subset E'$.
Est-ce que le centre de $s$ est dans $E$ ou dans $E'$ ?
Bonne journée.
Soient [édit3]2 ellipses 2 surfaces finies (délimitées par 2 éllipses)[\édit3] $ E \text{ et } E'$ tel qu'il existe une similitude $s$ qui transforme $E$ en $E'$, avec $E \subset E'$.
Est-ce que le centre de $s$ est dans $E$ ou dans $E'$ ?
Bonne journée.
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Réponses
Si $E\subset E'$, alors $E=E'$, $s$ conserve donc le centre de $E$ qui est alors le point fixe de $s$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Il fallait être plus clair dans ta définition d'une ellipse.
Il n' a que toi à utiliser cette définition.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Il y a un cas particulier simple intéressant où on peut sans doute (?) répondre de suite.
C'est celui où $E$ et donc $E'$ sont des cercles.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Peut-être une autre idée.
Appelons $s'$ la similitude inverse de $s$ qui renvoie $E'$ sur $E$.
Elle est contractante puisque son rapport est $k=\sqrt{\dfrac{Aire(E)}{Aire(E')}}<1$
Soit $O$ le centre de $s'$ qui est aussi celui de $s$
Alors on sait que $O$ est la limite de la suite $\{n\mapsto s'^n(M)\}$ où $M$ est un point quelconque du plan.
En prenant un point $M\in E'$, on sait que $s'(M) \in E$ et cette suite est donc contenue dans $E$ pour $n\ge 1$.
Sa limite $O$ appartient donc à $E$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS : à noter qu'avec le théorème de point fixe de Brouwer on n'a même pas besoin de contraction.
Que penses-tu de cette énoncé énigme, facile ou difficile ?
Je pense surtout qu'énoncé est du genre masculin!
Amicalement
[small]p[/small]appus
On obtient donc toutes les similitudes qui transforment F en G en composant une isométrie (F$\rightarrow$F) avec $A$.
Si F est une ellipse il y a quatre isométries (F$\rightarrow$F).
Dans le cas des ellipses inscrites sans artifice dans mes rectangles les points marqués sont les points fixes de quatre similitudes transformant l'une en l'autre.
Pourquoi invoquer le théorème de Brouwer alors que l'existence du point fixe est supposée dans ton énoncé et pourquoi pas le grand théorème de Picard ou le théorème de Fermat pendant que tu y es!
Quant à la difficulté de cet exercice, ce n'est pas à moi de la juger.
Mais à une époque où les similitudes ont disparu de notre culture et où l'enseignement des coniques se limite à leur classification, je pense que l'énoncé de ton exercice doit être du chinois ou de l'hébreu pour la plupart de nos étudiants!
Amicalement
[small]p[/small]appus
@Soland : j'avoue ne pas avoir compris ta solution.
Bonne journée.
Navré.
Soit $S: z\mapsto z'$ une similitude de point fixe $c$, de rapport $<1$ et $E$ une ellipse.
Supposons $c\notin E$ et soit $p$ le point de $E$ le plus proche de $c$ ($E$ est fermée et bornée).
Alors $|p'c'|=|p'c|<|pc|$
Donc $p'$ est un point de $E'$ hors de $E$.
@Soland : Bravo, c'est déjà moins topologique, mais cela n'est toujours pas géométrique.
Bonne soirée.