Inégalité circulaire
dans Analyse
Bonjour,
A-t-on
$$(\cos(ab))^2\geq \cos(a^2)\times cos(b^2),\text{ pour }a,b\in [-1,1] \text{ ?}$$
édit : pour répondre à Yves
Bonne journée.
A-t-on
$$(\cos(ab))^2\geq \cos(a^2)\times cos(b^2),\text{ pour }a,b\in [-1,1] \text{ ?}$$
édit : pour répondre à Yves
Bonne journée.
Cette discussion a été fermée.
Réponses
Merci de réécrire le terme de gauche pour que le carré porte soit sur la fonction soit sur l'argument.
Rapidement : oui.
Par symétrie, on peut se limiter à $a \leq b$ et $a \in [0,1].$
On pose $F: (a,b) \mapsto \cos^2(ab) - \cos(a^2) \cos(b^2).$
On montre que les points critiques sont donnés par $(b-a)(\sin(2ab) + 2 \sin(b^2-a^2))=0$ et donc $a=b$ ou $a=b=0$ puisque le facteur à droite est positif et ne s'annulle que pour $ab=0$ ET $b^2=a^2$ soit donc pour $a=b=0.$
On calcule les dérivées secondes par rapport à $a$ en $(a, b) = (a,a)$ : $2a^2+\sin(2a^2) \geq 0$ puis la dérivée croisèe en $(a,b) = (a,a)$ : $-2a^2-\sin(2a^2) \leq 0.$ Les valeurs propres aux points critiques sont donc positives ou nulles.
Comme $F(a,a) = 0$, on conclut.
On étudie la fonction suivante :
$f(x)=\frac{cos(ax)^2}{cos(x)}$
La dérivée s'écrit
$f'(x)=sec(x)(tan(x)cos(ax)^2-2asin(ax)=\frac{-asin(2ax)cos(x)+sin(x)cos(ax)^2}{cos(x)^2}$
Comme la fonction $f'(x)$ est impaire on peut se restreindre au cas ou $x>0$
On étudie le signe de :
$g(x)=-asin(2ax)cos(x)+sin(x)cos(ax)^2$
$g'(x)=\frac{1}{2}cos(x)((1-4a^2)cos(2ax)+1)$
On étudie alors le signe de l'expression suivante :
$h(x)=(1-4a^2)cos(2ax)+1$
On pose $2a=u$ :
D'ou:
$h(x)=(1-u^2)cos(ux)+1$
$h'(x)=u(u^2-1)sin(ux)$
La fonction $h'(x)$ est encore impaire on reste dans le cas ou $x>0$:
Le signe de $h'(x)$ est le suivant :
Quand $|u|\leq \frac{1}{2}$ :
On a que le signe de $h'(x)$ est négatif
Quand $|u|\geq \frac{1}{2}$
On a que le signe de $h'(x)$ est positif
Du reste il suffit de remonter le raisonnement et de conclure
Cela te va-t-il Pourexemple ?
Bonne soirée.
On a l'inégalité suivante :
$cos(0.1a^2)cos(0.75b^2)\leq cos(0.1b^2)cos(0.75a^2) \leq cos(0.1b^2)cos(0.75a^2)+sin(0.1b^2)sin(0.75a^2)=cos(0.75a^2-0.1b^2)$
$\leq cos((0.75-0.1)a^2) \leq \cos((0.65)ab)\leq cos(\sqrt{0.75*0.1}ab)^2 $
Cool non ?
La démonstration du 100 est ultra-courte également et de porté plus général, à noter qu'on a aussi :
$$(f(ab))^2\leq f(a^2)f(b^2),\text{ avec } a,b\in [0,1]$$ si $f$ convexe croissante de [0,1] dans $\R_+$.
Bonne journée.
On part de l'inégalité suivante :
$cos(0.1a^2)cos(0.75b^2)\leq cos(0.1b^2)cos(0.75a^2)$
Celle ci se réécrit ainsi car chaque cosinus est positif :
$\frac{cos(0.1a^2)}{cos(0.75a^2)}\leq \frac{cos(0.1b^2)}{cos(0.75b^2)}$
On étudie donc la fonction :
$f(x)=\frac{cos(0.1x^2)}{cos(0.75x^2)}$
$f'(x)=xsec(0.75x²)(1.5cos(0.1x²)tan(0.75x²)-0.2sin(0.1x²))$
Or :
$cos(0.1x²)\geq cos(0.75x²)$ pour x appartenant à $[0;1]$
D’où :
$(1.5cos(0.1x²)tan(0.75x²)-0.2sin(0.1x²))\geq (1.5cos(0.75x²)tan(0.75x²)-0.2sin(0.1x²))=1.5sin(0.75x²)-0.2sin(0.1x²)\geq 0$
Donc la dérivée est positive et par voie de conséquence la fonction $f(x)$ est croissante
On a donc l'inégalité désiré .
Maintenant on s'attaque à la deuxième partie :
$ cos(0.1b^2)cos(0.75a^2) \leq cos(0.1b^2)cos(0.75a^2)+sin(0.1b^2)sin(0.75a^2)$
Qui est équivalente à :
$sin(0.1b^2)sin(0.75a^2)\geq 0$
Ce qui est vrai.
De plus on à la formule $cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)$
Donc on arrive à :
$cos(0.1b^2)cos(0.75a^2)+sin(0.1b^2)sin(0.75a^2)=cos(0.75a^2-0.1b^2)$
On a encore cette avant dernière partie à justifier :
$cos(0.75a^2-0.1b^2)\leq cos((0.75-0.1)a^2) \leq \cos((0.65)ab)$
On remarque qu'on a :
$0.75a^2-0.1b^2\geq (0.75-0.1)a^2 \geq (0.65)ab$
Comme la fonction cosinus est décroissante cela renverse le signe de chaque inégalité on obtient donc cette avant dernière partie .
Reste à démontrer que :
$\cos((0.65)ab)\leq cos(\sqrt{0.75*0.1}ab)^2$
Je laisse cet fin d'exercice au lecteur .
Cordialement.
Je plussoie gebrane0, incompréhensible que la modération te laisse pourrir tous les fils. T'as ouvert un bouqiuin de 6ème comme te l'a recommandé YvesM ? Non, bien sûr que non, t'es tellement au-dessus tout ça ... Bah reste comme ça tu iras loin ... Et la prochaine fois que tu te demandes où ça coince, inutile de poster, ce sera dès la première ligne, avec une probabilité de 1.
Cordialement .
Cordialement.
Toi qui parle de mauvaise foi, voilà un exemple magistral (tu)
Cordialement.
$a,b\in [-1,1]$ dans la question originale de PourExemple.
Cordialement,
Rescassol
Et vu le taux de conneries par message de max, on ne peut pas penser à un abus de notation ...
Je ne défends personne, et ne tape sur le dos de personne.
Je m'abstiens de me croire dans la tête de quiconque pour prétendre savoir ce qu'il ou elle pense.
Je n'obéis pas aux gens qui me disent comment penser ou comment écrire ou parler.
Je me borne à faire une simple constatation.
Cordialement,
Rescassol
En tout les cas il y a au moins un domaine (très important dans un forum) ou Max peut donner des leçons à beaucoup d'entre nous, moi le premier : la politesse.
Bonne soirée.
Une autre :
$$ \cos(2ab)\geq \cos(a^2-b^2)+\cos(a^2+b^2)-1, \text{ pour }a,b\in[-1,1]$$
Edit : je me suis trompé dans ma recopie, je m'excuse au prés de monsieur sagesse et perfection qui n'a pas l'habitude de faire cela, et qui doit croire au coup monté.... :-D
Bonne journée.
Le plaisir de se tromper ??
Demontrer $$ \cos(2ab)\geq \cos(a^2-b^2)-\sin(a^2+b^2), \text{ pour }a,b\in]-1,1[$$
@gerard0 ton contre ne marche plus:-D
Mais pourquoi vouloir jouer le rôle de max, tu ne te satisfais pas de l'original ? ;-)
Demontrer
$$ \cos(2ab)\geq \cos(a^2-b^2)-\sin(a^2+b^2),
> \text{ pour }a,b\in[-\frac12,\frac12]$$
$$ \cos(2ab)\geq \cos(a^2-b^2)+\cos(a^2+b^2)-1, \text{ pour }a,b\in[-1,1]$$
Faisons ce que je fais avec Max, tu me donnes la preuve de ton inégalité je te donne la preuve pour la mienne.
$a=b=1$
$$\cos(2)=\cos(2ab)=\cos(a^2-b^2)-1+\cos(a^2+b^2)$$
Si tu veux plus de détaille n'hésite pas, après (n'étant pas parfait) je peux me tromper et toi ?
Si oui, je publierais avec plaisir ma preuve, sinon on peut tous (sauf peut-être monsieur sagesse et perfection) se tromper la preuve tu te serais trompé.
Je m'en fous royalement de ton inégalité...
Max se trompe comme moi je peux le faire souvent, mais il a un gros avantage sur toi, c'est que lui reste poli même quand il est mis en défaut, ce dont vraisemblablement tu sembles incapable.
J'ajoute qu'il semble bien qu'ici, tu fasses référence à mon inégalité.
Comme quoi nous avons beaucoup de chose à apprendre de Max.
Quant à la politesse je n'ai aucune leçon à recevoir de toi, et encore moins de max qui accuse notre mauvaise foi sur ce forum alors qu'il édite ses messages en cachette. Ce que tu viens aussi de faire avec ta première inégalité, heureusement gerard a eu la présence d'esprit de te citer dans sa réponse, ton petit truc tombe à l'eau.
Je ne parlerais pas de mauvaise foi, je dirais juste que tu t'es trompé, comme cela peut arriver à chacun d'entre nous (sauf peut-être monsieur sagesse et perfection), qu'en penses-tu ?
Pas de violence svp
Merci et bonne continuation
Je t'ai déjà dit, je m'en fous complètement de tes inégalités que tu édites sans cesse sans prévenir personne, parce que tu as mal "recopié" X:-( C'est plus que mal recopier là, le sin devient cos, l'intervalle change, il y a un -1 qui se rajoute, tu te moques de nous et en conséquence je ne perdrais jamais mon temps à répondre à tes inégalités.
Tu doutes encore que pourexemple et max est la même personne?
$$\sin=1-\cos$$
Bon après tu es libre de ne pas lire mon inégalité, comme je suis libre d'éditer mes messages quand j'ai fait une boulette que je reconnais (cf le commentaire de l'édit).
Bonne journée.
Je ne savais pas, mais effectivement ça commençait à me perturber cette même mauvaise foi et ce même attrait pour des inégalités foireuses (:D
Tu dis ça comme ça ? Parce que si c'était le cas la modération devrait le savoir et aurait dû réagir.
@Gebrane et Skyffer : Par respect pour votre capacité (que je n'ai pas) en la résolution de problème mathématique, je vous propose d'en rester là.
Bonne journée.
$$(sin(a^2)cos(b^2))^m(sin(b^2)cos(a^2))^n\leq \frac{m^mn^n}{(m+n)^{m+n}}$$
Cordialement.
L'identité max8128 = pourexemple est fausse. Les pseudo multiples n'ont pas cours sur le forum.
Et il est temps de fermer cette discussion.
Voir par ici pour les modifications d'énoncé a posteriori