énoncé 150 :Hommage à Madame Dottie
Prouver la suite d'inégalités suivantes pour $x$ appartenant à $[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}]$ :
$$f(x)=\frac{|sin(sin(\cdots(x)\cdots)|^{|sin(sin(\cdots(x)\cdots)|}}{|sin(sin(\cdots(x)\cdots)|!}\leq \frac{|sin(sin(\cdots(x)\cdots)|^{|sin(sin(\cdots(x)\cdots)|}}{|sin(sin(\cdots(x)\cdots)|!}=g(x)$$
Ou l'on a composé n fois la fonction sinus avec elle même pour la fonction $f(x)$ et n-1 fois pour la fonction $g(x)$.
Cordialement.
Ps:j'avoue que tu m'as inspiré arbre ou pourexemple avec ton fil "en avoir plein les sinus".
@Max : En fait en composant une infinité de fois la fonction sinus ou cosinus alors ces fonctions tendent uniformément vers leurs points fixes respectifs (me semble-t-il), donc tes 2 fonctions sont constantes.
énoncé 152 :des tiroirs assez grands ?
Soit $(u_n)_{n\in \N^*}$ une suite d'entiers naturels, minorée par $m$, tel que $$\forall n \in \N^*, |u_{n+1}-u_n|\leq \big(\frac{m}{2n}\big)^2$$.
A-t-on alors, l'existence d'un point fixe pour la suite, $\exists k, u_k=k$ ?
Les $u_n$ pour $n > \frac m2$ sont tous égaux. Soit $k$ leur valeur commune. Par hypothèse de minoration, $k \geq m$. Alors $k > \frac m2$, donc $u_k = k$.
En supposant $m > 0$, on a $m \leq u_n$ pour tout $n$, ce qui implique que $m \leq k$. Pour tout $n \geq m$, on a $|u_{n+1} - u_n| \leq \frac{m^2}{4n^2} \leq \frac{1}{4}$ et donc tous les $u_n$ sont égaux, plus grand que $m$. On note leur valeur $k$. Alors il existe bien $k$ tel que $u_k = k$.
énoncé 153 :même astuce que pour le 152
Soit $(u_n)_{n\in\N^*}$ une suite d'entiers naturels non nul, majorée, tel que
$$\forall n\in \N^*,|u_{n+1}-u_n|\leq \frac{u_n u_{n+1}}{4n^2}$$
A-t-on alors, l'existence d'un point fixe pour la suite, $\exists k, u_k=k$ ?
Pour le 109 peut-on travailler avec des inégalités ?
Par exemple pour $x>1$ et $y>1$ on a :
$$(1+x^3)(1+y^3)>6+xy-2xy^3-x^3y^2$$
On peut donc discriminer toutes une ribambelles de solutions en travaillant ainsi, est ce correct?
Peut-être, mais l'astuce que j'ai employé dans le 109, n'est pas celle là,... il me semble l'avoir vu utilisé ici (dans ce forum) par un célèbre membre de ce forum.
énoncé 154 :critère de permutabilité
Soit $f$ une fonction de $\Z_p$ dans lui même, avec $p$ premier impair.
A-t-on $f$ permutation ssi $\text{card}(f^{-1}(\{0\}))\in [1,p-1], \text{ et }\forall k\in [1,p-2]\cap \N, \sum \limits_{a\in\Z_p} (f(a))^k=0$ ?
énoncé 155 :détente permutative
A-t-on pour toute $f$ permutation de $\Z_p$ l'existence de $h,g$ fonctions de $\Z_p$ tel que $\forall x \in \Z_p, h(x)\times g(x)= f(x)$ ?
énoncé 156 :clin d’œil à Siméon
Trouver les $p$ premiers tel que pour toute fonction $f$ de $\Z_p$ dans lui même, il existe $g,h$ permutations de $\Z_p$ tel que $f(x)=g(x)\times h(x)$.
énoncé 157:Le labyrinthe de Hilbert
Bon mettons nous tout de suite dans l'ambiance et plongeons dans un labyrinthe un peu spéciale .On l’appel le labyrinthe de Hilbert.
Deux amis sont alors perdus au sein de ce fameux labyrinthe .Pour couronner le tout ils en ont perdu la carte et se retrouvent bloqués à l'entrée qui s'est malheureusement fermée derrière eux . Plus qu'un seul moyen en sortir !
Le pire est à venir puisque le deux compères se fâchent et décident de partir chacun de leur côté .
La question est simple quelle est la probabilité pour qu'ils se retrouvent ensemble à la sortie sachant que leurs nombres de pas est limité ?
Ps : c'est un labyrinthe carré de dimension n*n
Cordialement
j'ai proposé ici : http://math.stackexchange.com/users/408734/dattier, le 100, 82, 154...
Le 100 est tombé de suite pour ce qui est du 82 et 154, je pense que mon énoncé est d'un anglais incompréhensible.
Je ne partage plus entre algèbre et analyse en effet ce découpage informe sur le contenu de l'astuce :
-82 : Diffie-Helmann par les polynômes
-145 : suite récurrente récurrente
-58 : Géolyse
-106 : continuité et fonction de Hölder
-149 : addition, produit et factorielle avec Max.
-150 : Hommage à Madamde Dottie Max
-151 : mini-lemme sinueux par Siméon
-154 : critère de permutabilité
-157 : Le labyrinthe d'Hilbert, par Max.
-158 : un point fixe inattendu.
-159 : pgcd et périodicité par Flipflop
-160 : pgcd et période.
-161 : un classique remis au goût du jour.
-163 : encore du point fixe
-164 : retour sur les groupes sur mesure.
énoncé 158 : 153 plus générale, un point fixe inattendu.
Soit $(u_n)_{n\in \N^*}$ une suite d'entiers naturels non nuls, majorée, tel que :
$$\forall n\in \N^*, |u_{n+1}-u_n|< \frac{u_nu_{n+1}}{n(n+1)}$$
A-t-on alors, l'existence d'un unique point fixe pour la suite, $\exists k,u_k=k$ ?
Ici, me semble-t-il, la preuve proposée par le magicien l’illusionniste ne marche plus.
énoncé 163 :encore du point fixe
Soient $n\in \N^*$, $f$ une fonction de $\N \cap [0,n]$ dans lui même, tel que :
$$\forall k\in\N \cap [0,n-1], \max(f(k),f(k+1))\leq k \text{ ou } \min(f(k),f(k+1))\geq k+1$$
A-t-on l'existence d'un point fixe pour $f$ ?
énoncé 164 :groupe sur mesure le retour
Soit $G=\{2,3,5,17,19\}$, $\mathbb G=\{H\text{ | }\exists n>19, H \text{ sous-groupe de } (\Z/n\Z)^* \text{ et } G\subset H\}$.
1/Déterminer un sous-groupe $H_0$ de cardinal minimal, élément de $\mathbb G$.
2/$H_0$ est-il unique ?
PS : l’intérêt c'est une aide à la résolution d'équations diophantiennes à la puissance.
énoncé 168 :Polynômes caractérisés
Soit $P,Q\in \Z[X]$, $P(X)=a_0+...+a_nX^n$. $Q(X)=b_0+...+b_nX^n$ (avec des coefficients non tous nuls), $m\in\Z$ tel que $\forall i\in\{0,...,n\} |m|\geq 2max(|a_i|,|b_i|)+1$.
A-t-on si $P(m)=Q(m)$ alors $P=Q$ ?
énoncé 169 :pour aller plus loin ?
Soit $p$ entier premier impair, $f$ une fonction de $\mathbb F_p$ dans lui même.
A-t-on l'existence de $g,h$ permutation de $\mathbb F_p$ tel que $f=g+h$ ?
La majoration classique dit que le module d'une racine de $X^d+\sum_{i=1}^d c_iX^{d-i}$ est toujours strictement inférieur à $1+\max(\{|c_i|\mid i=1,\ldots,d\})$.
Je peux rappeler la preuve de cette majoration, et je peux expliquer comment l'appliquer au polynôme $P-Q$ qui, s'il n'est pas nul, a un coefficient dominant plus grand que $1$ en valeur absolue. Mais je ne le ferai pas.
P.S. L'énoncé 168 est écrit de manière farfelue : que vient faire ce $\forall i\in \{0,\ldots,n\}$ ?
Citation GaBuZoMeu : comment l'appliquer au polynôme $P-Q$ qui, s'il n'est pas nul, a un coefficient dominant plus grand que 1 en valeur absolue.
Cela ne donne pas une contradiction, sauf si tu voulais dire un coefficient dominant strictement plus petit que 1 en valeur absolue, mais le résultat que tu veux utiliser ne te permet pas de le conclure, me semble-t-il.
Donc copie à revoir.
Citation Rescassol : Pourexemple, je te laisse à tes fantasmes.
Ce n'est pas un fantasme, elle a reconnut être une femme d'origine russe.
Réfléchis encore : un polynôme à coefficients entiers, s'il n'est pas nul, a un coefficient dominant supérieur ou égal à 1 en valeur absolue.
Tu trouvais le "plus grand" pas assez précis ? J'ai maintenant écrit "supérieur ou égal", comme ça il n'y a plus d'ambigüité.
Oui, cela ne donne pas de contradiction comme tu le sous-entends.
Tu veux un indice : demande le de manière explicite,
tu as la réponse : publie la,
je me serais trompé : prouve le en donnant une preuve qui utilise le résultat que tu as annoncé,
si tu refuses toutes ces alternatives, alors je préférerais en rester là...
Je n'ai pas besoin d'indice, puisque j'ai donné une solution.
Avec les indications que j'ai écrites et le résultat de majoration que j'ai rappelé, un étudiant de L2 pas trop manchot devrait s'en sortir sans difficulté.
Puisque tu as des difficultés, je te donne une dernière indication :
On suppose $P-Q$ non nul. Soit $R$ le polynôme $P-Q$ divisé par son coefficient dominant. Alors tous les coefficients de $R$ sont majorés en valeur absolue par $2\max(|a_0|, \ldots,|a_n|,|b_0|,\ldots,|b_n|)$.
Citation Pourexemple : Tu veux un indice : demande le de manière explicite,
tu as la réponse : publie la,
je me serais trompé : prouve le en donnant une preuve qui utilise le résultat que tu as annoncé, si tu refuses toutes ces alternatives, alors je préférerais en rester là...
Voilà un indice : J'ajoute que dans ta preuve tu ne te sers pas du fait que les coefficients sont entiers.
Contre-exemple au résultat proposé par GaBuZoMeu :
On prend $P(x)=\frac{1}{27}\times x^3$, $Q(x)=1$, alors $3\geq \frac{2}{27}+1$ et $3\geq 2\times 1 + 1$, et $P(3)=1=Q(3)$
Réponses
Algèbre :
-114 : calcul exact avec la partie entière.
-82 : Diffie-Helmann par les polynômes
-109 : équation diophantienne
-124 : groupe sur mesure et les conditions de l'énoncé ici
-145 : suite récurrente récurrente
Analyse :
-58 : Géolyse
-100 : convexité multiplicative
-65,66 : racines fonctionnelles
-106 : continuité et fonction de Hölder.
-149 : addition, produit et factorielle avec Max.
-150 : Hommage à Madame Dottie par Max
-151 : mini-lemme sinueux par Siméon
Bonne journée.
Prouver la suite d'inégalités suivantes pour $x$ appartenant à $[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}]$ :
$$f(x)=\frac{|sin(sin(\cdots(x)\cdots)|^{|sin(sin(\cdots(x)\cdots)|}}{|sin(sin(\cdots(x)\cdots)|!}\leq \frac{|sin(sin(\cdots(x)\cdots)|^{|sin(sin(\cdots(x)\cdots)|}}{|sin(sin(\cdots(x)\cdots)|!}=g(x)$$
Ou l'on a composé n fois la fonction sinus avec elle même pour la fonction $f(x)$ et n-1 fois pour la fonction $g(x)$.
Cordialement.
Ps:j'avoue que tu m'as inspiré arbre ou pourexemple avec ton fil "en avoir plein les sinus".
Soient $a,b$ deux réels. Montrer que les deux énoncés suivants sont équivalents :
P.S. En particulier, pour tous $x,y$ réels et $u,v$ strictement positifs, $\dfrac{\sin(x+y)^2}{u+v} \leq \dfrac{\sin(x)^2}{u} + \dfrac{\sin(y)^2}{v}.$
@Max : tel quel je ne vois pas immédiatement, de chemin à suivre.
Bonne journée.
énoncé 152 : des tiroirs assez grands ?
Soit $(u_n)_{n\in \N^*}$ une suite d'entiers naturels, minorée par $m$, tel que $$\forall n \in \N^*, |u_{n+1}-u_n|\leq \big(\frac{m}{2n}\big)^2$$.
A-t-on alors, l'existence d'un point fixe pour la suite, $\exists k, u_k=k$ ?
Bonne journée.
Les $u_n$ pour $n > \frac m2$ sont tous égaux. Soit $k$ leur valeur commune. Par hypothèse de minoration, $k \geq m$. Alors $k > \frac m2$, donc $u_k = k$.
En supposant $m > 0$, on a $m \leq u_n$ pour tout $n$, ce qui implique que $m \leq k$. Pour tout $n \geq m$, on a $|u_{n+1} - u_n| \leq \frac{m^2}{4n^2} \leq \frac{1}{4}$ et donc tous les $u_n$ sont égaux, plus grand que $m$. On note leur valeur $k$. Alors il existe bien $k$ tel que $u_k = k$.
Edit: zut, 3 minutes trop tard
énoncé 153 : même astuce que pour le 152
Soit $(u_n)_{n\in\N^*}$ une suite d'entiers naturels non nul, majorée, tel que
$$\forall n\in \N^*,|u_{n+1}-u_n|\leq \frac{u_n u_{n+1}}{4n^2}$$
A-t-on alors, l'existence d'un point fixe pour la suite, $\exists k, u_k=k$ ?
Par exemple pour $x>1$ et $y>1$ on a :
$$(1+x^3)(1+y^3)>6+xy-2xy^3-x^3y^2$$
On peut donc discriminer toutes une ribambelles de solutions en travaillant ainsi, est ce correct?
Bonne soirée.
énoncé 154 : critère de permutabilité
Soit $f$ une fonction de $\Z_p$ dans lui même, avec $p$ premier impair.
A-t-on $f$ permutation ssi $\text{card}(f^{-1}(\{0\}))\in [1,p-1], \text{ et }\forall k\in [1,p-2]\cap \N, \sum \limits_{a\in\Z_p} (f(a))^k=0$ ?
Bonne journée.
A-t-on pour toute $f$ permutation de $\Z_p$ l'existence de $h,g$ fonctions de $\Z_p$ tel que $\forall x \in \Z_p, h(x)\times g(x)= f(x)$ ?
Trouver les $p$ premiers tel que pour toute fonction $f$ de $\Z_p$ dans lui même, il existe $g,h$ permutations de $\Z_p$ tel que $f(x)=g(x)\times h(x)$.
Bon mettons nous tout de suite dans l'ambiance et plongeons dans un labyrinthe un peu spéciale .On l’appel le labyrinthe de Hilbert.
Deux amis sont alors perdus au sein de ce fameux labyrinthe .Pour couronner le tout ils en ont perdu la carte et se retrouvent bloqués à l'entrée qui s'est malheureusement fermée derrière eux . Plus qu'un seul moyen en sortir !
Le pire est à venir puisque le deux compères se fâchent et décident de partir chacun de leur côté .
La question est simple quelle est la probabilité pour qu'ils se retrouvent ensemble à la sortie sachant que leurs nombres de pas est limité ?
Ps : c'est un labyrinthe carré de dimension n*n
Cordialement
j'ai proposé ici : http://math.stackexchange.com/users/408734/dattier, le 100, 82, 154...
Le 100 est tombé de suite pour ce qui est du 82 et 154, je pense que mon énoncé est d'un anglais incompréhensible.
Ici, ils ont réussit à tomber le 153 (avec une solution que je ne comprends (toujours) pas, il me semble qu'elle marche mais ne comprends pas pourquoi elle marche) : https://www.maths-forum.com/enigmes/les-tiroirs-sont-ils-assez-grands-t181499.html
Je donne la solution du 124 ici : https://www.ilemaths.net/sujet-le-groupe-choisie-727645.html
Pour le 153 la solution que j'ai, utilise le point fixe de Picard (fonction contractante), et avec ce résultat, on a des "bonus" en plus.
Bonne journée.
Je ne partage plus entre algèbre et analyse en effet ce découpage informe sur le contenu de l'astuce :
-82 : Diffie-Helmann par les polynômes
-145 : suite récurrente récurrente
-58 : Géolyse
-106 : continuité et fonction de Hölder
-149 : addition, produit et factorielle avec Max.
-150 : Hommage à Madamde Dottie Max
-151 : mini-lemme sinueux par Siméon
-154 : critère de permutabilité
-157 : Le labyrinthe d'Hilbert, par Max.
-158 : un point fixe inattendu.
-159 : pgcd et périodicité par Flipflop
-160 : pgcd et période.
-161 : un classique remis au goût du jour.
-163 : encore du point fixe
-164 : retour sur les groupes sur mesure.
Soit $(u_n)_{n\in \N^*}$ une suite d'entiers naturels non nuls, majorée, tel que :
$$\forall n\in \N^*, |u_{n+1}-u_n|< \frac{u_nu_{n+1}}{n(n+1)}$$
A-t-on alors, l'existence d'un unique point fixe pour la suite, $\exists k,u_k=k$ ?
Ici, me semble-t-il, la preuve proposée par le magicien l’illusionniste ne marche plus.
Ouhais bon, c'est évident coquille c'était : $u_n = \text{Pgcd}(37^n-1,98)$
Bienvenu Flipflop...
C'est évident, c'est évident ?
Mais oui, je comprends pourquoi cela est périodique.
énoncé 159
énoncé 160 : merci à Flipflop
1/On note $\forall n\in \N, u_n=\text{pgcd}(2^n-1,3^n-1)$.
$(u_n)$ est-elle périodique, au bout d'un certain rang ?
2/On note $\forall n\in \N, v_n=\text{pgcd}(u_n,n)$
$(v_n)$ est-elle périodique, au bout d'un certain rang ?
3/On note $\forall n\in \N, w_n=\text{pgcd}(n^2-1,2^n-1)$
$(w_n)$ est-elle périodique, au bout d'un certain rang ?
Bonne journée.
A-t-on pour tout $n \in \N^*$ , si $a|n^2+1$ et $a \mod 2=1$ alors $a\mod 4=1$ ?
énoncé 162 :
Soient $c\in \R$, $n\in\N,n>1$ et $f$ fonction continue de $\R^n$ dans $\R$.
A-t-on $\text{card}(f^{-1}(\{c\}))=\text{card}(\R)$ ?
Bonne soirée.
énoncé 163 : encore du point fixe
Soient $n\in \N^*$, $f$ une fonction de $\N \cap [0,n]$ dans lui même, tel que :
$$\forall k\in\N \cap [0,n-1], \max(f(k),f(k+1))\leq k \text{ ou } \min(f(k),f(k+1))\geq k+1$$
A-t-on l'existence d'un point fixe pour $f$ ?
Bonne journée.
Je partage avec vous une très jolie preuve du 58 (Géolyse) : http://math.stackexchange.com/questions/2112322/a-new-characterization-of-an-annulus-in-the-plane.
Bonne soirée.
@Siméon : GaBuZoMeu a trouvé une formule close (pour la somme des entiers de Cantor élevés à une certaine puissance) ici : http://math.stackexchange.com/questions/2113044/calculus-with-the-integers-of-cantor
Bonne journée.
Le 158 est tombé bravo à Depasse : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1396624,1399938#msg-1399938
PS : j'ai proposé le même, ici : http://math.stackexchange.com/questions/2112047/a-general-result-on-the-integers-sequences à l'heure de maintenant, ils ne l'ont toujours pas résolu.
Bonne soirée.
énoncé 164 : groupe sur mesure le retour
Soit $G=\{2,3,5,17,19\}$, $\mathbb G=\{H\text{ | }\exists n>19, H \text{ sous-groupe de } (\Z/n\Z)^* \text{ et } G\subset H\}$.
1/Déterminer un sous-groupe $H_0$ de cardinal minimal, élément de $\mathbb G$.
2/$H_0$ est-il unique ?
PS : l’intérêt c'est une aide à la résolution d'équations diophantiennes à la puissance.
Bonne journée.
le 145 (suite récurrente récurrente) est tombé : http://math.stackexchange.com/questions/2116141/recurring-recurrent-sequence/2119708#2119708
Bonne soirée.
164 groupe sur mesure la solution est ici : http://math.stackexchange.com/questions/2117467/what-are-the-smallest-multiplicative-modular-subgroups-containing-a-particular-s
Bonne journée.
énoncé 167 : un résultat général de théorie des ensembles
énoncé 168 : Polynômes caractérisés
Soit $P,Q\in \Z[X]$, $P(X)=a_0+...+a_nX^n$. $Q(X)=b_0+...+b_nX^n$ (avec des coefficients non tous nuls), $m\in\Z$ tel que $\forall i\in\{0,...,n\} |m|\geq 2max(|a_i|,|b_i|)+1$.
A-t-on si $P(m)=Q(m)$ alors $P=Q$ ?
énoncé 169 : pour aller plus loin ?
Soit $p$ entier premier impair, $f$ une fonction de $\mathbb F_p$ dans lui même.
A-t-on l'existence de $g,h$ permutation de $\mathbb F_p$ tel que $f=g+h$ ?
Il peut le faire, on l'applaudit bien fort.
Cordialement,
Rescassol
Oui, je peux le faire.
Prouve le.
Citation Rescassol :
Il peut le faire, on l'applaudit bien fort.
J'aurais dit plutôt elle dit qu'elle peut le faire.
Je peux rappeler la preuve de cette majoration, et je peux expliquer comment l'appliquer au polynôme $P-Q$ qui, s'il n'est pas nul, a un coefficient dominant plus grand que $1$ en valeur absolue. Mais je ne le ferai pas.
P.S. L'énoncé 168 est écrit de manière farfelue : que vient faire ce $\forall i\in \{0,\ldots,n\}$ ?
Pourexemple, je te laisse à tes fantasmes.
Tu "aurais dit" ce que tu veux.
J'ai dit ce que je voulais, et le sexe des anges ne m'intéresse pas.
Cordialement,
Rescassol
comment l'appliquer au polynôme $P-Q$ qui, s'il n'est pas nul, a un coefficient dominant plus grand que 1 en valeur absolue.
Cela ne donne pas une contradiction, sauf si tu voulais dire un coefficient dominant strictement plus petit que 1 en valeur absolue, mais le résultat que tu veux utiliser ne te permet pas de le conclure, me semble-t-il.
Donc copie à revoir.
Citation Rescassol :
Pourexemple, je te laisse à tes fantasmes.
Ce n'est pas un fantasme, elle a reconnut être une femme d'origine russe.
Indication : si $\vert \ell \vert \ge1$, alors $\left\vert \dfrac{c}{\ell}\right\vert \le\vert c\vert$.
comment l'appliquer au polynôme $P-Q$ qui, s'il n'est pas nul, a un coefficient dominant plus grand que 1 en valeur absolue.
Je rappelle que $P,Q\in\Z[X]$ ... donc copie à revoir.
Écoute écrit une preuve complète qui utilise le résultat que tu as a annoncé, et je reconnaîtrai avoir eu tort.
Sans cela, je préfère en rester là.
Tu trouvais le "plus grand" pas assez précis ? J'ai maintenant écrit "supérieur ou égal", comme ça il n'y a plus d'ambigüité.
Tu veux un indice : demande le de manière explicite,
tu as la réponse : publie la,
je me serais trompé : prouve le en donnant une preuve qui utilise le résultat que tu as annoncé,
si tu refuses toutes ces alternatives, alors je préférerais en rester là...
Fait ton choix.
Avec les indications que j'ai écrites et le résultat de majoration que j'ai rappelé, un étudiant de L2 pas trop manchot devrait s'en sortir sans difficulté.
Puisque tu as des difficultés, je te donne une dernière indication :
On suppose $P-Q$ non nul. Soit $R$ le polynôme $P-Q$ divisé par son coefficient dominant. Alors tous les coefficients de $R$ sont majorés en valeur absolue par $2\max(|a_0|, \ldots,|a_n|,|b_0|,\ldots,|b_n|)$.
Tu veux un indice : demande le de manière explicite,
tu as la réponse : publie la,
je me serais trompé : prouve le en donnant une preuve qui utilise le résultat que tu as annoncé,
si tu refuses toutes ces alternatives, alors je préférerais en rester là...
Contre-exemple au résultat proposé par GaBuZoMeu :
On prend $P(x)=\frac{1}{27}\times x^3$, $Q(x)=1$, alors $3\geq \frac{2}{27}+1$ et $3\geq 2\times 1 + 1$, et $P(3)=1=Q(3)$
PS : oui, fait donc cela
$P(x)=\frac{1}{27}\times x^3$ ................
C'est dans $\mathbb{Z}[X]$, ça ?
Cordialement,
Rescassol