"il est facile de" la preuve :

pourexemple · December 2016

Tu veux un critère d'élégance simple : il faut qu'en une lecture (attentive), la plus part des lecteurs soient capable de restituer (ton énoncé ou preuve)...

Bonne journée.

max8128 · December 2016

énoncé 146 :
Soient , $a_1$,$a_2$,...,$a_n$ et $b_1$,$b_2$,...,$b_n$ deux suites de réels tels que :
$\frac{\prod_{k=0}^{n}(a_k)}{\prod_{k=0}^{n}(b_k)}\leq 1$, et $\sum_{k=0}^{n}(a_k)\leq \sum_{k=0}^{n}(b_k)$
Je précise que les $a_n$ et les $b_n$ sont tous supérieur à 3 et que $n\geq3$.
Démontrer ceci :
$$(\frac{\sum_{k=1}^{n}(A_k)}{\sum_{k=1}^{n}(B_k)})^{\frac{1}{\prod_{k=1}^{n}(C_k)}}\geq \frac{1}{\sum_{k=1}^{n}(b_k)}-\frac{1}{\sum_{k=1}^{n}(b_k)+\sum_{k=1}^{n}(a_k)}+1$$
Avec
$A_k=a_k^{a_k^{\cdots^{a_k}}}$ (ou l'on a appliqué la fonction puissance n fois )
$B_k=b_k^{b_k^{\cdots^{b_k}}}$ (ou l'on a appliqué la fonction puissance n fois )
$C_k=a_k^{a_k^{\cdots^{a_k}}}*b_k^{b_k^{\cdots^{b_k}}}$ ( ou l'on a appliqué la puissance n fois)

Cordialement.

pourexemple · December 2016

Bonjour,

Je remets ici les énoncés non encore résolus.

Algèbre :

-62 : calcul de somme de puissance entière carré.
-114,115 : calcul exact avec la partie entière
-82 : crypto Diffie-Helmman par les polynômes.
-99 : CNS pour l'existence de solution pour un ensemble fini d'équation fonctionnelle
-108 : calcul autour des entiers de Cantor
-109 : équation diophantienne
-124 : groupe sur mesure, les conditions de l'énoncé sont ici 120
-135 : extension de corps et calculabilité
-143 : critère de groupitude
-144 : les groupes by Siméon et détaille ici.
-145 : suite récurrente récurrente ?

Analyse :

-58 : géolyse
-74 : la course avec Tonm
-100 : convexité multiplicative
-65,66 : racines fonctionnelles
-106 : continuité et fonction de Holder
-88 : unicité du max
-89 : EDP non linéaire
-140 : critère de contraction merci à Max
-146 : du pudding avec Max

Le plus facile, selon moi, étant :
le 145, le plus difficile le 89.

PS : Pour les incontournables déjà vus sur ce fil, c'est là...

Bonne journée.

pourexemple · December 2016

pourexemple · December 2016

Je vous rappelle le but de ce fil : échanger des astuces.

En fait, c'est à vous d'habiller vos astuces de leurs meilleurs atouts (en les mettant sous forme d'un joli énoncé), et après on fait des échanges d'astuces, par exemple si tu me donnes la solution l'astuce de l'énoncé 144, je te donne (l'astuce) de l'énoncé 108.

Car il faut vraiment croire, que les évidences sont faciles à trouver pour se lancer dans la résolution de ces énoncés, ce que, personnellement, je ne conseille à personne (sous peine de se casser les dents).

A vous de faire votre choix.

Bonne journée.

pourexemple · December 2016

PS : je précise que si vous résolvez un énoncé vous êtes en droit de demander l'astuce correspondante.

Tonm · December 2016

Un petit ajout à l'énoncé 74 pour qu'il y a de quoi à faire, (le 1) c'était facile) espèrons que ca soit aussi pour le deux.

Merci à pourexemple

Pour le 142 c'est vrai pour $P(x)$ continue seulement à suivre...

pourexemple · December 2016

pour le 142 : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1198849,1375964#msg-1375964

Bonne journée.

pourexemple · December 2016

@Siméon : le 144 contre le 108 ?

pourexemple · December 2016

@Tonm : le 74-2/ contre le 88 ?

Tonm · December 2016

Une façon de voir limite $P(x)-x$ quand $x$ tend vers $-\infty$ est nécessairement $-\infty$ et $+\infty$ quand $x$ tend $+\infty$ ($P(x)$ emporte sur $2x$) donc la fonction va s'annuler...

pourexemple · December 2016

Oui, c'est une solution plus rapide que celle que j'avais envisagé et qui ne marche que si $P$ est $C^1$.

Tonm · December 2016

Disons P est $C^1$ comment tu fais?

L'échange de solutions n'est pas ma visée mais...

pourexemple · December 2016

On a $P'(x)-2\geq 0$ donc $P'(x)\geq 2$ on a donc $P$ inversible et son inverse sa réciproque à une dérivée plus petite que $1/2$, donc la réciproque de $P$ est contractante sur $\R$ complet donc elle admet un point fixe, et alors le point fixe de $P^{-1}$ est le point fixe de $P$.

Tonm · December 2016

Trés jolie

pourexemple · December 2016

L'habillage lui n'était pas joli... Je pense que l'on aurait pu en tirer un énoncé beaucoup plus surprenant.

Joaopa · December 2016

exo 62: si c'est basé sur l'égalité de Lucas , ça n'a aucun d'intérêt. S'il y a une autre méthode générique, je suis preneur.

$$\frac{x^{2^n}}{x^{2^{n+1}}-1}=\frac{x^{2^{n+1}}}{x^{2^{n+1}}-1}-\frac{x^{2^{n}}}{x^{2^{n}}-1}$$

pourexemple · December 2016

Bravo.

Sinon je ne connais pas la méthode de Lucas.
Et ici l'astuce consiste à calculer $f(x)+f(g(x))+...+f(g^n(x))$ en calculant h tel que, $f(x)=h(g(x))-h(x)$.
C'est du télescopique pousser un peu plus loin.

Après, je ne sais pas si cela à un intérêt pour toi, mais je suppose que tu ne le diras, que si cela n'a aucun intérêt pour toi.

Joaopa · December 2016

Je suis preneur (pour voir si ca mène un téléscopage différent de celui de Lucas) !!

pourexemple · December 2016

Voilà un exemple de ce que l'on peut calculer : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1198849,1279297#msg-1279297

pourexemple · December 2016

@Joaopa : je connais la fameuse phrase "le client est roi", mais il ne faut pas pousser, après si tu crois que tous ces énoncés sont à ta portés (sans avoir besoin d'échanger de tes astuces) alors attaque toi au 89.

Siméon · December 2016

pourexemple a écrit:

@Siméon : le 144 contre le 108 ?

Pour le 108, il s'agit essentiellement de calculer $S(107,109)$ pour une famille de nombres $S(n,p)$ qu'on peut obtenir de proche en proche à l'aide de la formule de récurrence
$$
S(n,p) = \sum_{k=0}^p \binom{p}{k} (2^k+1)3^{nk} S(n-1,p-k)
$$
Ceci est lié directement à la méthode que j'avais utilisée pour l'autre somme, mais je ne sais pas obtenir de formule close ici. Avais-tu une solution plus élégante/astucieuse ?

Pour le 144, on vérifie que si le groupe $G$ contient un élément $a$ différent du neutre $1$, alors la fonction
$$
x \mapsto \begin{cases}a & \text{si } x = 1\\ 1 & \text{si } x \neq 1\end{cases}
$$
n'est pas produit de deux permutations $u$ et $v$ de $G$ : sinon en posant $b = u(1)$ on a nécessairement $b^{-1} \notin v(G\setminus\{1\})$ par injectivité de $u$, donc $v(1) = b^{-1}$ par surjectivité de $v$, d'où $a = 1$.

pourexemple · December 2016

@Siméon : plus général oui, me semble-t-il.

$P_0(x)=x^{109}$
$P_1(x)=P_0(3x+1)+P_0(3x+2) \mod p$
$P_2(x)=P_1(3x+1)+P_1(3x+2) \mod p$
...
$P_{108}(x)=P_{107}(3x+1)+P_{107}(3x+2) \mod p$

$P_{108}(1) \mod p$ donne le résultat voulut.

Bonne soirée.

Siméon · December 2016

@pourexemple : c'est grosso-modo le même calcul.

pourexemple · December 2016

Possible, mais qu'est-ce qui t'a empêché alors de me donner le résultat ?

pourexemple · December 2016

@Siméon : on ne calculait plus sur les entiers de Cantor, mais sur les entiers dont l'écriture en base 3, n'admet pas de 0.

pourexemple · December 2016

C'est méthode permet de calculer tout aussi simplement, par exemple la puissance 109, des entiers plus petit que $10^{100}$ dont l'écriture en base de 10 ne contient que des chiffres impairs.... et encore plus de chose...

pourexemple · December 2016

Voilà, les énoncés dont les astuces sont, inédites, à ma connaissance (du plus facile à trouver, au plus difficile) :

-82, 99, 88, 89.

Bonne soirée.

Tonm · December 2016

Bonjour

Ça a resté simple même avec numéro 2/ en fait on peut considérer les temps où les coureurs seront tous au départ, pour les temps qui suivent bien sûr on aura les conditions du 1/ et 2/ vérifiées. (74)

Pour le 88 j'ai réflechi mais rien.

Cordialement.

pourexemple · December 2016

Bonjour,

Je n'arrive pas à voir comment on peut les avoir aussi proches que voulut, sur n'importe quelle section du terrain, et aussi donner au joueur de son choix la position de son choix.

D'ailleurs si tu prends 2 coureurs avec une vitesse de $1 ms^{-1}$ et l'autre de $2 ms^{-1}$, leur mouvement (des 2 ensemble) est périodique, de période $1000$ secondes, et il me semble, alors, qu'il y a des sections de terrains où on ne verra jamais les 2 ensembles.

PS : simplicité (compréhensible du plus grand nombre) et facilité (on peut trouver rapidement) ne sont pas confondus, d'ailleurs il y a, un grand soin, à les dissocier, dans les énoncés proposés ici.

Bonne journée.

Tonm · December 2016

Bonjour,

les vitesses sont rationnelles de la forme $v_i=\dfrac{c_i}{b_i}$

en $km/h $ il y a une infinité de valeurs $t$ temps tel que $v_i t_i$ soit un entier pour tout $i$. Ce sont des tour complet puisque la longueur du terrain est $1$ km.
Maientenant à ces temps là ils se trouvent au meme point du départ et pour $t+\epsilon$ on aura ce qu'on affirme dans 1/ et 2/.

J'ai pas dit que la section est n'importe où dans le trajet mais juste l'existence de section aussi petite que l'on veut tel que les coureurs son en ordre dans cette section.

pourexemple · December 2016

1 et 2 sont des rationnelles.

Alors j'avais mal compris cela :
tous ces coureurs sont dans une section quelconque

Ok, et comment tu fais pour choisir la position que tu veux, pour le coureur que tu veux ?

PS : tu n'es pas obligé de répondre publiquement.

Bonne journée.

pourexemple · December 2016

Autant pour moi j'avais raté cette condition : vitesse(ai)<vitesse(aj).

Merci.

Donc voilà la réponse du 88 :
1/ la fonction, dont on prend le max, est concave.
2/ le max ne peut être atteint à l'intérieur de la sphère (des polynômes).
3/ si le max est atteint en deux points distincts de la frontière alors il est atteint en un point intérieur de la sphère.

En fait, comme l'a remarqué mojojojo, il y a bien une affaire de convexité stricte, mais pas pour la fonction, mais pour l'ensemble considéré.

Bonne journée.

Tonm · December 2016

Merci.

mojojojo · December 2016

Non non, c'est bien la fonction qui à un polynôme de $A$ renvoi la valeur de l'intégrale qui est une fonction strictement concave, l'ensemble $A$ étant convexe la fonction y admet au plus un maximum. L'existence vient de compacité+continuité.

Je n'ai jamais rien dit sur la possible localisation du maximum sur la frontière.

pourexemple · December 2016

Citation Mojojojo :
c'est bien la fonction qui à un polynôme de A renvoi la valeur de l'intégrale qui est une fonction strictement concave,

Je ne pense pas qu'elle soit strictement concave, et cela resterait à montrer.

mojojojo · December 2016

Eh bien tu devrais peut-être y penser un peu plus alors. Ou relire ce que j'ai déjà écrit.

pourexemple · December 2016

Oui, et toi lire cela et le message qui suit, peut-être.

Bonne journée.

pourexemple · December 2016

Oui, effectivement.

Soit $P,Q \in A$ distincts alors il existe $t\in [0,1]$ tel que $P(t)\neq Q(t)$, d'où en utilisant la stricte convexité de $\ln$ le résultat.

Désolé, je peux me tromper et je me suis trompé.

pourexemple · December 2016

Bonsoir,

réponse 89 :
1/Il faut utiliser le théorème de point fixe Picard.
2/Et l'appliquer à $f$ continue (ou M-lipschitzienne (je ne me souviens plus trop)) (avec la norme uniforme) et $f(0,0)=0$ :
$$P_0(\int_{[0,x_1]}\int_{[0,x_2]} f(t_1,t_2) dt_1dt_2)+P_1(\int_{[0,x_2]} f(t_1,t_2)dt_2)+P_2(\int_{[0,x_1]} f(t_1,t_2) dt_1)+P_3(f(x_1,x_2))=x_1+x_2$$

Ce n'est pas parce que c'est simple que c'est facile à trouver.

Bonne soirée.

max8128 · December 2016

J'ai changé l'énoncé du 146 celui qui trouve la solution (j'en dispose d'une) je lui offre un bouquin (:-D).

pourexemple · January 2017

Bonjour,

énoncé 147 : calcul difficile ?
Comment calculer la dérivée 100-iem en 0 de $\sin^{2^{100}+1}$ ?

Bonne journée et bonne année.

pourexemple · January 2017

énoncé 148 : un calcul difficile (bis) ?
Comment calculer la dérivée 100-iem en 0 de $\sin^{2^{2017}}$ ?

pourexemple · January 2017

Bonjour,

Voilà, les fruits encore disponible sur le marché :

Algèbre :

-114,115 : calcul exact avec la partie entière
-82 : crypto Diffie-Helmman par les polynômes.
-99 : CNS pour l'existence de solution pour un ensemble fini d'équation fonctionnelle
-109 : équation diophantienne
-124 : groupe sur mesure, les conditions de l'énoncé sont ici 120
-143 : critère de groupitude
-145 : suite récurrente récurrente ?
-148 : un calcul difficile.

Analyse :

-58 : géolyse
-100 : convexité multiplicative
-65,66 : racines fonctionnelles
-106 : continuité et fonction de Holder
-140 : critère de contraction merci à Max
-146 : du pudding avec Max
-147 : un calcul, sans difficulté ?

PS : Pour les fruits dont le contenu est publique, c'est là...

Bonne journée.

max8128 · January 2017

Un dernier énoncé de ma part :
Énoncé 149 :
Soient , $a_1$,$a_2$,...,$a_n$ et $b_1$,$b_2$,...,$b_n$ deux suites de réels tels que :
$\frac{\prod_{k=0}^{n}(a_k)}{\prod_{k=0}^{n}(b_k)}\leq 1$, et $\sum_{k=0}^{n}(a_k)\leq \sum_{k=0}^{n}(b_k)$
Je précise que les $a_n$ et les $b_n$ sont tous supérieur à 3 et que $n\geq3$.
Démontrer ceci :
$$\frac{\prod_{k=1}^{n}(a_k)^{a_k}}{\prod_{k=1}^{n}(b_k)^{b_k}}\leq \frac{\prod_{k=1}^{n}(a_k)!}{\prod_{k=1}^{n}(b_k)!}$$

Joaopa · January 2017

@Max: As-tu une solution à ton exercice?

Joaopa · January 2017

Pour le 115: application de la formule de Legendre
$$v_p(n!)=\sum_{i\ge0}\left[\frac n{p^i}\right]=\frac{n-s_p(n)}{p-1}$$
où $s_p(n)=$ sommes des $p$-chiffres de $n$.