"il est facile de" la preuve :
Réponses
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@GaBuZoMeu : y-a-un truc qui cloche avec ton argument, car il marche aussi avec $\{1,2,3,4,5,6,..,12\}=\Z_{13}^*$
-
Pas de problème puisque $14\equiv 1\bmod{13}$.
Mais puisque dans ta question le $n$ (s'il existait) était forcément $>13$ et premier avec tous les entiers de $1$ à $13$, il était forcément $\geq 17$. -
Résultat 122 :
On peut donc montrer que $H=\{1,2,3,..,b\}$ avec $b>3$ correspond à un sous-groupe multiplicatif si et seulement si $b+1$ est premier. -
énoncé 123 : groupe choisie
Même question avec $H=\{1,3,5,7,9,11,13,15,17\}$ -
En fait la méthode proposée par GaBuZoMeu, permet après l'étude du cas $\Z_{19}^*$ de conclure.
-
énoncé 124 :
On prend $H=\{1,95,36,87,84\}$ -
En fait, ici la force brut marche très bien, c'est quasiment la même complexité que mon programme basé sur ce résultat.
-
En fait, il y a un algo. encore plus économe de complexité $o(H)$.
-
-
-
Bonjour,pourexemple a écrit:énoncé 119
Soit $p$ nombre entier plus grand que 5, $H$ un
sous-groupe de $\Z_p^*$.
Montrer que si $a \in H$ avec $a>2$ alors $(a-1) | \sum \limits_{h \in H} p(-h/p \mod a)$.
Ton résultat équivaut, il me semble, dans le cas où $p$ est premier, à:
Soit $p$ nombre entier plus grand que 5, $H$ un sous-groupe de $\Z_p^*$. Alors,
si $a \in H$ avec $a>2$ alors $(a-1) | \sum \limits_{h \in H} (-h/p \mod a)$:
En effet,
d'une part
$\sum \limits_{h \in H} p(-h/p \mod a)= p\sum \limits_{h \in H} (-h/p \mod a)$
et d'autre part
$a-1$ et $p$ sont étrangers (car $p$ est premier et $a<p$)
Cordialement
Paul.
Edit: rajouts car quand j'ai lu "$p$" j'ai pensé "premier" tandis que pourexemple le dit seulement "entier". -
Bonsoir,
Oui, c'est cette version que j'avais discuté sur le fil que tu as ouvert.
Bonne soirée. -
Bonsoir,
@pourexemple,
je crois tenir la preuve de ton "théorème" 119 dans le cas particulier où, certes, $p$ n'est pas nécessairement premier, mais où $H$ est cyclique. Je n'ai pas regardé le cas où $H$ est quelconque.
M'autorises-tu à publier ton message privé pour que tous puissent en profiter?
J'ai peut-être un désir maladif de transparence, mais ça me gêne qu'on m'adresse des messages privés: j'ai horreur d'être privilégié, ça tu pouvais pas le deviner!
Sincèrement
Paul -
Bonjour,
Je ne tenais pas à te mettre mal à l'aise...
Tu peux la publier si tu veux.
énoncé 131 : toujours sur les extensions de corps.
énoncé 132 : very multi-série
A-t-on : $$\forall a\in\R^+,\forall k\in\N^*, \sum\limits_{(n_1,...,n_k)\in(\N^*)^k}\frac{1}{(n_1+...+n_k)^a} <+\infty \text{ ssi } a>k $$ ?
Bonne journée. -
Bonjour,
@pourexemple
Je suis bien persuadé que tu n'as jamais eu l'intention de me mettre mal à l'aise et que mon malaise n'est qu'une histoire entre moi et moi!
Ce forum n'étant pas le lieu où étaler mon auto-analyse, je ne voulais que partager les chocolats que tu m'as gentiment offerts:
Hélas la technique me fait barrage :-X : impossible de publier ton message privé: erreur database phorum avec le coup du sweedish et du latin.
Je dois faire une bêtise: j'ai copié puis collé ton message. Si toi ou un autre pouvait me dire que faire j'en serais ravi
Cordialement
Paul -
@Depasse : Quand tu demandes un aperçu, cela marche ?
Si oui, copie ton message, puis imprime sur le fil "...." que tu édites en y collant ton message, normalement ça marche, en tous les cas pour moi et jusqu'à présent.
Bonne journée. -
Tentative
Edit: c'est le MP que m'a envoyé pourexemple en rapport avec le problème 119 qu'il propose.
Merci à lui pour ses aides y compris techniques.
Paul -
.
-
Bonsoir,
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1364390,1370562#msg-1370562
PS : je te conseille de mettre ton énoncé sous forme de questions, même si tu penses connaître la réponse.
Bonne soirée. -
-
-
Bonjour,
Je remets ici les énoncés non encore résolus.
Algèbre :
-62 : calcul de somme de puissance entière carré.
-114,115 : calcul exact avec la partie entière
-105 : polynômes et permutations
-82 : crypto Diffie-Helmman par les polynômes.
-99 : CNS pour l'existence de solution pour un ensemble fini d'équation fonctionnelle
-108 : calcul autour des entiers de Cantor
-109 : équation diophantienne
-119 : incroyable mais vrai
-124 : groupe sur mesure, les conditions de l'énoncé sont ici 120
-135 : extension de corps et calculabilité
Analyse :
-95 : amusant
-100 : convexité multiplicative
-65,66 : racines fonctionnelles
-106 : continuité et fonction de Holder
-88 : unicité du max
-107 : un classique revisité
-89 : EDP non linéaire
-132 : very multi-série
Bonne journée. -
bonjour pourxemple
pour retrouver le post sur partie entiere calcul (réponse à ta question par un exemple ) -> http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,1362798,1373278#msg-1373278
bonne continuation à toi -
Enoncé 140:Si on a l'équivalence suivante montrer que $f$ est contractante sur $I=[a,b]$:
$$ \mid Arctan(\frac{2f'(x)}{-f'(x)^2+1})\mid=\frac{\pi}{2}-\epsilon\iff \mid \sup_{x\in I}f'(x)\mid =1$$
Où $\epsilon$ est un réèl positif -
Bonjour,
Il me semble que la fonction $\arctan$ est à image dans $]\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$, donc je ne sais pas quelle sens tu donnes à $\arctan(x)=\frac{\pi}{2}$.
Bienvenu et bonne continuation. -
Effectivement je devrais parler de limite tu as raison .
-
Enoncé 119
Bonjour,
dans son MP, pourexemple propose plus que l'énoncé 119, à savoir son "étrange" théorème que j'encadre après avoir défini deux notations:
Pour tout $m \in \mathbb {N}_ {\geqslant 2}$ et pour tout $x \in \mathbb {Z}_ m$, $x_m:= \inf \{k \in \mathbb {N}; k \in x\}$.
Pour tout $m \in \mathbb {N}_ {\geqslant 2}$ et pour tout $X\subseteq \mathbb {Z}_ m$, $X_m:=\{x_m;x\in X\}$.Pour tout $m \in \mathbb {N}_ {\geqslant 2}$, pour tout sous-groupe $H$ de $ \mathbb {Z}_ m^*$ et pour tout $a\in H_m$, $\,\,\,\displaystyle {(a-1) \sum_{h \in H_m} {h}=m\sum_{h \in H_m} {(- \frac{h}{m})_a} }$
Démonstration:
Soient $m \in \mathbb {N}_ {\geqslant 2}$, $H$ un sous-groupe de $ \mathbb {Z}_ m^*$ et $a\in H_m$. Alors,
1) $a$ et $m$ sont étrangers.
2)pour tout $h\in H_m$,
2.1) $\displaystyle{0\leq \lfloor \frac {ah}{m} \rfloor <a}$ (car $h<m$);
2.2) $\displaystyle{ah-(ah)_m=m\lfloor \frac {ah}{m} \rfloor} $ (division euclidienne);
2.3)$\displaystyle{\frac {-(ah)_m}{m}\equiv\lfloor \frac {ah}{m} \rfloor \mod a}$ (à cause de 2.2) et 1));
2.4)$\displaystyle{(\frac {-(ah)_m}{m})_a=\lfloor \frac {ah}{m} \rfloor}$ (à cause de 2.3) et 2.1));
2.5)$\displaystyle{ah-(ah)_m=m(\frac {-(ah)_m}{m})_a}$ (à cause de 2.2) et 2.4)).
3)$\displaystyle{\{(ah)_m;h\in H_m\}=H_m}$ (car $H$ est un sous-groupe de $ \mathbb {Z}_ m^*$ et $a\in H_m$).
4)$\displaystyle { \sum_{h \in H_m} {ah}-\sum_{h \in H_m} {(ah)_m}=m\sum_{h \in H_m} {(\frac {-(ah)_m}{m})_a} }$ (à cause de 2.5)
5)$\displaystyle { \sum_{h \in H_m} {ah}-\sum_{h \in H_m} {h}=m\sum_{h \in H_m} {(- \frac{h}{m})_a} }$ (à cause de 3) et 4)),
d'où, enfin,
$\displaystyle {(a-1) \sum_{h \in H_m} {h}=m\sum_{h \in H_m} {(- \frac{h}{m})_a} }$
Cordialement
Paul -
Bravo.
@Depasse : Même si le résultat que tu donnes est plus fort que celui que j'ai présenté, tu conviendras avec moi, que le plus surprenant des 2 énoncés (et le plus difficile à démontrer) est la forme que j'ai proposée.
Généralement un illusionniste n'aime pas que l'on explique ces tours, la question est : suis-je un illusionniste ?
Je ne répondrais pas à cette question, mais ce qui est sûr c'est que ce forum en compte au moins un.
Bonne journée. -
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1198849,1349882#msg-1349882
La fonction $x \in [-1, 0] \rightarrow e^{x} + x$ vaut $e^{-1} - 1 < 0$ en $-1$ et $1 > 0$ en $0$.
Soit(par convergence uniforme.). $n_{0} \ge 0$ tel que $\forall n \ge n_{0}, ||P_{n} - exp||_{\infty, [-1, 1]} < \frac{1 - e^{-1}}{2}$.
Alors soit $n \ge n_{0}$, alors $P_{n}(-1) + 1 = P_{n}(-1) - e^{-1} + e^{-1} - 1 < \frac{e^{-1} - 1}{2} < 0$.
Et $P_{n}(0) + 0 = 1 > 0$. Donc $P_{n} - Id$ s'annule sur $[-1, 0]$.
Donc $\forall n \ge n_{0}, \exists x \in [-1, 1] | P_{n}(x) = - x$. -
Bonjour,
@Algébre : Bravo.
En fait ce résultat qui ne paie de mine, permet de penser (et on le prouve facilement avec Brower) que l'ensemble des fonctions sur $K$ compact de $\R^n$ avec point fixe, munit de la topologie uniforme est non seulement fermée, et surtout d'intérieure non vide, ici la fonction $-\exp$ est à l'intérieur de cette ensemble.
Bonne journée. -
Bonjour , énoncé 141
Trouver un contre-exemple à l'inégalité ci dessous respectant les contraintes suivantes :
Soient a,b,c,d des réèls non nuls positifs vérifiant :
$ab\leq cd$,$\frac{a}{b}\leq\frac{c}{d}$ et $a+b\leq c+d$
Avec:$a\geq1$ $b\geq1$ $c\geq1$ et $d\geq1$
$$\sqrt[abcd]{\frac{a^a+b^b}{c^c+d^d}}\geq \frac{a+b}{c+d}-\frac{1}{abcd}$$ -
@Max connais-tu la cryptographie ?
Je te donne un exemple en espérant que tu comprennes ce que je veux te dire :
Je prends par exemple : On considère les fonctions polynômes
$$F_i(X)=(X+i)^{\frac{p-1}{2}},i=0...\frac{p-1}{2}$$
Prenons le nombre premier $p=2^{607}-1$, le nombre $q=123456789101112$, l'ensemble $E=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$.
On pose $E'=\{i|\text{signe}(i) \mod p=F_{|i|}(q) \mod p \text{ et } |i| \in E\}$.
Et on poserait la question : Trouver $q$ tel que $E'=\{i|\text{signe}(i) \mod p=F_{|i|}(q) \mod p \text{ et } |i| \in E\}$ ?
Question : Crois-tu que cette question soit honnête, soit belle ou bien soit bonne ?
Bonne journée. -
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1198849,1375050#msg-1375050
OK merci. Je ici Brouwer est un gros résultat quand même. -
@Algèbre si tu sais prouver qu'une application lipschitzienne de $\K$ compact [édit1]convexe[/édit1] de $\R^n$ dans lui même, admet forcément un point fixe, alors je pense que je peux t'indiquer comment prouver facilement [édit2][édit3]la théorème de point fixe de [/édit3]Brouwer[/édit2].
PS : je ne sais pas répondre à cette question (avec les fonctions lipschitziennes) -
Hum je pourrais t'intiquer dans le cas $n = 1$.
Après je ne sais pas. Rajoute se problème dans la liste.
En effet la preuve du theorème de Brouwer est assez longue donc je ne pense pas que c'est trivial. -
Citation Algèbre :
Rajoute se problème dans la liste.
Seuls les énoncés dont l'auteur pense avoir une réponse de moins d'une dizaine de ligne (en utilisant, au maximum, le niveau M1 voir en re-utilisant un résultat déjà prouvé sur ce fil) ont leur place ici.
PS : pour n=1, tu y utilises l'hypothèse lipschitzienne ou seul la continuité te suffit ?
Bonne soirée. -
L'hypothèse M lipschitzienne est fausse regarde $x \rightarrow x + 3$.
De plus le résultat que j'ai démontré utilise des outils niveau L2.
Enfin cela marche si elle est lipschitzienne de rapport $k < 1$(c'est le theorème de Picard.). où alors
si elle est de la forme $|f(x) - f(y)| < |x - y|$ sur un compact. Elle a dans ce cas un point fixe. -
énoncé 142 : surprenant ? merci à Max
Soit $P$ un polynôme réel tel que la fonction $x\rightarrow P(x)-2x$ soit monotone [édit1]croissante[/édit1] sur $\R$.
$P$ admet-elle un point fixe sur $\R$ ? -
-
Pour le 106 :
Il suffit de prendre la fonction $$f:x\mapsto \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}x^{1/k}$$
Elle est continue car la série converge uniformément et n'est pas $\alpha$-hölderienne car $x^{1/k}$ ne l'est pas quand $1/k<\alpha$.
Au départ je pensais que l'escalier de Cantor conviendrait, mais c'est $\ln(2)/\ln(3)$-hölderien comme fonction... -
Bonsoir,
Pour quelle raison cette fonction n'est pas hölderienne ?
Bonne soirée. -
Bonjour,
énoncé 143 : critère nécessaire de groupitude ?
a/ Soit $H=\{h_0,...,h_n\}$ un sous-groupe de $\Z_p^*$ ($p$ premier), avec $h_0=1$ et les $h_i$ distincts, différent de $p-1$.
A-t-on $$(h_1-1)\times ... \times (h_n-1) \mod p=o(H)$$ ?
b/ On suppose que $p-1 \in H$.
A-t-on $$(h_1-1)\times ... \times (h_n-1) \mod p=p-o(H)$$ ?
Bonne journée. -
Bonjour,
Je remets ici les énoncés non encore résolus.
Algèbre :
-62 : calcul de somme de puissance entière carré.
-114,115 : calcul exact avec la partie entière
-105 : polynômes et permutations
-82 : crypto Diffie-Helmman par les polynômes.
-99 : CNS pour l'existence de solution pour un ensemble fini d'équation fonctionnelle
-108 : calcul autour des entiers de Cantor
-109 : équation diophantienne
-119 : incroyable mais vrai
-124 : groupe sur mesure, les conditions de l'énoncé sont ici 120
-135 : extension de corps et calculabilité
-143 : critère de groupitude
Analyse :
-95 : amusant
-100 : convexité multiplicative
-65,66 : racines fonctionnelles
-106 : continuité et fonction de Holder
-88 : unicité du max
-89 : EDP non linéaire
-132 : very multi-série
-140 : critère de contraction merci à Max
-141 : conjecture abcd avec Max
-142 : surprenant point fixe
Bonne journée. -
Best of :
-182,183 : entiers homonymes et synonymes (182 Tombé par Depasse)
-184 : suites convergentes convexes Tombé par Siméon
-185 : les fonctions holdériennes
-186 : l'égalité impossible ? Tombé par Depasse
-187 : produit en série
-190 : étrange ou archi-classique Tombé par GaBuZoMeu
-192 : le bijou caché de la convexité ? Tombé par Siméon
-193 : l'inégalité tonitruante ? Tombé par Siméon
-194 : un nouveau bijou ? Tombé par Champollion
-195 : l'équation fonctionnelle à 1 millions de $ Tombé par Champollion
-196 : polynômes divertissants Tombé par Cidrolin
-197 : propriété fonction multiplicative.
-198 : retour des polynômes + Tombé par Siméon
-199 : retour des polynômes ++ Tombé par Siméon
-200 : une histoire de puissance et de diviseur Tombé par Depasse
-201 : le bijou de l'arithmétique ?
-202 : C.S. d'irréductibilité sur $\Z[x]$
-203 : la transcendance low-cost. Tombé par Siméon
-204 : des polynômes intégrés Tombé par Siméon
-205 : critère transcendant
Les incontournables :
Algèbre :
-énoncé 1 : géométrie calcul de distance.
-énoncé 2 : Topologie fonctionnelle (un désormais classique)
-énoncé 3 : calcul facile de dérivée de composée
-énoncé 4 : calcul facile quand on connaît le résultat général derrière.
-énoncé 14 : un très joli énoncé sur les suites que Cidrollin m'a fait découvrir.
-énoncé 15 : arithmétique avec Cidrollin
-énoncé 20 : une astuce de calcul qui ouvre pas mal de porte.
-énoncé 21 : un résultat général sur les groupes
-énoncé 22 : un énoncé sur les espaces vectoriels Samok
-énoncé 25 : surprenant résultat avec un polynôme et la congruence
-énoncé 26 : un désormais classique critère d’irréductibilité
-énoncé 30 : calcul du terme général d'une suite récurrente non linéaire
-énoncé 31 : même thème que le 30.
-énoncé 45 : une petite astuce qui simplifie la vie.
-énoncé 48,49 : équation diophantienne à puissance
-énoncé 52 : factorielle allégée
-énoncé 68, 69 : suite non linéaire rationnelle
-énoncé 78 : indécidable ?
-énoncé 90 : un résultat général d'algèbre.
-énoncé 94 : donne un joli résultat, corollaire d'un résultat qui se trouve dans cette liste.
-énoncé 105 : polynômes et permutations
-énoncé 109 : équation diophantienne livrée avec un résultat général.
-énoncé 119 : incroyable mais vrai
-énoncé 135 : promenade aléatoire dans un groupe fini.
-62 : calcul de somme de puissance entière carré.
-114,115 : calcul exact avec la partie entière
-105 : polynômes et permutations
-82 : crypto Diffie-Helmman par les polynômes.
-99 : CNS pour l'existence de solution pour un ensemble fini d'équation fonctionnelle
-108 : calcul autour des entiers de Cantor
-109 : équation diophantienne
-119 : incroyable mais vrai
-124 : groupe sur mesure, les conditions de l'énoncé sont ici 120
-135 : extension de corps et calculabilité
-143 : critère de groupitude
-144 : les groupes by Siméon et détaille ici.
-145 : suite récurrente récurrente ?
-148 : un calcul difficile (bis) ?
-168,169,170 : vaut le coup d'oeil.
énoncé 179 : géométrie, mais où est le centre ?
Analyse :
-énoncé 8 : point fixe (un désormais classique)
-énoncé 23 : une limite d'intégrale Fin de Partie
-énoncé 33 : résultat général qui m'avait surpris
-énoncé 35 : un joli qui vaut mieux connaître
-énoncé 42 : un petit résultat de point fixe.
-énoncé 43 : une intégrale dont seul Fin de Partie à le secret.
-énoncé 55 : géométrie "analytique"
-énoncé 58 : géolyse
-énoncé 60 : étrange, valeur propre entière d'une fonction $C^\infty$
-énoncé 71 : illusion de point fixe
-Résultat : l'inégalité de Shah d'Ock- JLT un résultat qu'il vaut mieux connaître.
-énoncé 74 : la course, merci à Tonm.
-énoncé 75 : les parties à point fixe
-énoncé 81 : une question difficile par Aléa
-énoncé 83 : une propriété des ouverts $\R^n$
-énoncé 84 : une question de connexité par Mikaël
-énoncé 87 : Algébryse
-énoncé 91,92 : des équations fonctionnelles "linéaires".
-énoncé 95 : un énoncé à priori banal, amis qui ouvre la réflexion vers...
-énoncé 96 : une généralisation simple du discriminant.
-énoncé 97 : résultat général autour de la convexité.
-énoncé 100 : convexité multiplicative
-énoncé 107 : un classique revisité
-énoncé 110 : quand Riemann s'y met.
-énoncé 136 : un résultat général simple qui peut simplifier la vie (sur les équations fonctionnelles "linéaires").
-énoncé 132 : very-multi série
-énoncé 136 : plein les sinus (livrer avec un résultat général qui prolonge le déterminant sur les fonctions)
-énoncé 142 : surprenant point fixe
-énoncé 141 : conjecture abcd avec Max
-95 : amusant
-100 : convexité multiplicative
-65,66 : racines fonctionnelles
-106 : continuité et fonction de Holder
-88 : unicité du max
-89 : EDP non linéaire
-132 : very multi-série
-140 : critère de contraction merci à Max
-141 : conjecture abcd avec Max
-142 : surprenant point fixe
-146 : du pudding avec Max
-149 : addition, produit et factorielle avec Max.
-150 : Hommage à Madame Dottie par Max
-151 : mini-lemme sinueux par Siméon
-154 : critère de permutabilité
-157 : Le labyrinthe d'Hilbert, par Max.
-158 : un point fixe inattendu.
-159 : pgcd et périodicité par Flipflop
-160 : pgcd et période.
-161 : un classique remis au goût du jour.
-163 : encore du point fixe
-164 : retour sur les groupes sur mesure.
170 : A VOUS DE JOUER.
Les derniers énoncés non encore résolu : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1198849,1453502#msg-1453502 -
Réponse au 132 : il suffit d'écrire
$$\sum_{(n_1,...,n_k)\in(\N^*)^k}\frac{1}{(n_1+...+n_k)^a} = \sum_{n=k}^\infty \frac{f(n,k)}{n^a}$$
où $f(n,k) = \operatorname{card}\left\{(n_1,...,n_k)\in(\N^*)^k \mid n_1 + \cdots + n_k = n\right\} = \dbinom{n-1}{k-1} \underset{n\to\infty}\sim \dfrac{n^{k-1}}{(k-1)!}$. -
Pour l'énoncé 140, il vaudrait mieux commencer par lui donner un sens ...
-
@Siméon : bravo.
@GaBuZoMeu : il y a deux personnes qui n'apprendront jamais rien (de plus), [édit1]celle qui sont est trop timides[/édit1] pour poser une question et [édit1]celle qui sont est trop orgueilleuse[/édit1] pour accepter de se tromper.
[édit2]Merci [édit3]quand même [/édit3] GaBuZoMeu, on peut tous se tromper[/édit2]
Bonne journée.
Cette discussion a été fermée.
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