Ennoncé : soit f continu sur $[0 1]$, $(a_{i})$ suite de $[0; 1]$, donner une condition nécessaire et suffisante sur les $a_{i}$ et $f(a_{i})$ pour que f soit differentiable en ces points.
Cela ne semble pas marcher pour n'importe qu'elle suite en effet si la suite est constante égale à c, alors on ne peut pas trouver de CNS juste sur c et f(c) pour qu'elle soit dérivable en c.
104 : usage de la calculatrice recommandée (inutile de faire les calculs, donner l'algorithme (qui permettrait de faire le calcul en moins d'une dizaine de minutes avec un PC commun) suffit).
C'est inutile à moins que tu ne veuilles tous les chiffres de ce nombre. On peut donner une formule assez simple : il manque juste un terme à celle que j'ai donnée dans mon message précédent (sauf si j'ai encore fait une erreur de calcul). $$2^{101}(3^{104}-1)^3 + 3\cdot 2^{100}(9^{104}-1)(3^{104}-1)$$
pour mod 10007,10009,10037, 10039,10061, tu trouves combien.
Ps : ton nombre est tronqué... sinon tu avais affiché une formule, peux-tu la remettre, ou as-tu dû t'en passer pour finalement, tout faire à l'aide d'un PC ?
En citant ton message on peut récupérer ta solution : BRAVO !
Là, si tu arrives à t'en sortir avec une formule, alors chapeau bas.
énoncé 108 :spéciale dédicace à Siméon
On note $B$, l'ensemble des nombres entiers dont l'écriture en base 3 ne contient pas le chiffre 0.
Calculer $$\sum \limits_{b \in B \cap [1,3^{108}]} b^{109} \mod (2^{89}-1)$$
La formule correcte est de nouveau visible dans mon message. Je suis assez étonné de ta réaction : as-tu posté cet énoncé sans savoir qu'il menait à une expression aussi simple ? Dans ce cas, ça te ferait un exercice intéressant de retrouver comment je l'ai obtenue. Bonne nuit !
Non, je me doute qu'il peut y avoir une formule (que je ne connais pas) et simple, même pour la puissance 109, tomber dessus pour n=109 demande une méthode, la force brut ne suffirait pas... d'où ma réaction, pour savoir s'il y a méthode (ce qui pour moi serait impressionnant) ou utilisation de la force brut.
Je me rends compte que les énoncés deviennent de plus en plus complexe, donc j'ai besoin pour m'assurer de tenir le contrat, que quelqu'un d'autre que moi relise mes démonstrations pour s'assurer de leurs validités.
Je l'avais proposé à un membre éminent du forum, mais il a refusé.
Donc je contacterais des admins pour m'assurer de l'existence d'au moins un relecteur.
@Etanche : oui à tes 2 questions me semble-t-il. @Blueberry : c'est un énoncé recyclé (70) auquel personne n'a encore répondu et il manque l'hypothèse n>1, que je n'avais pas oublié dans l'ancien énoncé.
@Blueberry: Ce n'est pas nécessaire ici, mais il y a un théorème surprenant qui dit que toute application surjective d'un $\mathbb{R}$-espace vectoriel normé sur lui-même qui conserve les égalités de distances est la composée d'une homothétie et d'une isométrie affine. Je ne me souviens plus du nom de la personne qui a démontré ça en premier, mais c'est une généralisation du théorème de Mazur-Ulam, qui est le cas où l'application est une isométrie.
@Palabra
Merci de ta réponse. Donc l'énoncé que tu viens de citer a ceci en plus de l'énoncé 102 qu'il s'applique à n'importe quel $\mathbb{R}$ espace vectoriel normé, si j'ai bien compris.
Il a surtout en plus qu'il montre que les isométries sont affines (et le théorème a des démonstrations élémentaires et jolies). Je n'ai pas réfléchi en détail à cet exercice, mais j'avais fait quelque chose d'approchant et il me semble que cela aurait aussi bien pu fonctionner en dimension infinie.
Je n'ai pas trouvé de relecteur, alors je ferais sans.
@Blueberry : j'ai oublié la démo du 102 (le 70 original), et la démo (partielle) que j'ai réussi à reconstituer fait plus d'une dizaine de lignes, donc je ne le propose plus.
énoncé 110 :
Distinguer deux cas, $n$ pair, $n$ impair.
C'est la limite de $\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m+2}+...+\frac{1}{2m}$ quand $m\rightarrow +\infty $, c'est $\ln 2$.
Bonne fin de nuit.
F. Ch.
Oui c'est une possibilité : quand $m\rightarrow +\infty $, $\displaystyle \frac{1}{m+1}+\frac{1}{m+2}+...+\frac{1}{2m}=\frac{1}{m}\overset{m}{\underset{k=1}{\sum }}\frac{1}{1+\frac{k}{m}}\rightarrow \int_{0}^{1}\frac{dt}{1+t}=\ln 2$.
Il y a aussi une autre démonstration Si l'on sait que $\displaystyle H_{m}=\overset{m}{\underset{k=1}{\sum }}\frac{1}{k}=\ln m+\gamma +o(1)$ quand $m\rightarrow +\infty $, alors : $\displaystyle \frac{1}{m+1}+\frac{1}{m+2}+...+\frac{1}{2m}=H_{2m}-H_{m}=(\ln (2m)+\gamma +o(1))-(\ln m+\gamma +o(1))=\ln 2+o(1)$.
Et une autre idée. Un exercice élémentaire sur la récurrence c'est l'identité de Catalan :$ \displaystyle \overset{m}{\underset{k=1}{\sum }}\frac{1}{m+k}=\overset{2m}{\underset{k=1}{\sum }}\frac{(-1)^{k-1}}{k}$.
Et bien sûr : $\displaystyle \overset{+\infty }{\underset{k=1}{\sum }}\frac{(-1)^{k-1}}{k}x^{k}=\ln (1+x)$ pour $ \displaystyle x\in ]0,1]$.
Bonne journée après la bonne nouvelle,
F. Ch.
09/11/2016
.
Pour le 89 : On pourrait penser que j'utilise le théorème de Cauchy-Kowalevski
Mais en fait il en est rien, j'utilise une astuce qui me semble inédite qui permet de résoudre "facilement" des EDP non-linéaires.
Le 96 est un déguisement de l'inégalité arithmético-géométrique. Appeler ça "généralisation du discriminant" est un peu une tromperie sur la marchandise.
Ca ne généralise pas le discriminant du polynôme de degré 2 : pour ce dernier, il n'y a pas besoin d'hypothèse que le polynôme ne s'annule pas sur $\R_-$ !
Et il y a bien par ailleurs une vraie généralisation du discriminant en tout degré.
Citation : Et c'est bien une généralisation, certes partielle, du discriminant du polynôme de degré 2.
Effectivement il existe une autre généralisation du discriminant : https://fr.wikipedia.org/wiki/Discriminant
Mais celle proposée ici à l'avantage d'être très simple.
Bon courage pour le 108.
@ pourexemple
Je ne sais en quoi l'énoncé 107 est un classique revisité.
Il me semble que les séries de termes généraux $u_{n}=\frac{\sin (n+\frac{1}{n})}{\ln (n+1)}$ ou $v_{n}=\frac{\cos (n+\frac{1}{n})}{\ln (n+1)}$ ou bien $z_{n}=\frac{e^{i(n+\frac{1}{n})}}{\ln (n+1)}$, sont convergentes.
J'ai cité dans un message précédent un lemme qui généralise le Critère Spécial pour les Séries Alternées : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1310159,1313607#msg-1313607
Il nous assure que les séries de termes généraux $\frac{\sin n}{\ln (n+1)}$,$\frac{\cos n}{\ln (n+1)}$,$\frac{e^{in}}{\ln (n+1)}$ sont convergentes, et l'on se ramène à celles-ci au moyen d'un développement limité faisant apparaître des séries absolument convergentes.
Bonne soirée.
F. Ch
énoncé 111 :spéciale dédicace à Chaurien
La série suivante converge-t-elle :
$$S_n=\frac{\sin(1+\frac{1}{\ln(2)})}{\ln(2)}+\frac{\sin(2+\frac{1}{\ln(3)})}{\ln(3)}+...+\frac{\sin(n+\frac{1}{\ln(n+1)})}{\ln(n+1)}$$
énoncé 119 :étrange, merci à Depasse
Soit $p$ nombre entier plus grand que 5, $H$ un sous-groupe de $\Z_p^*$.
Montrer que si $a \in H$ avec $a>2$ alors $(a-1) | \sum \limits_{h \in H} p(-h/p \mod a)$.
@AD : oui.
J'ai fait une erreur dans mon programme...
énoncé 121 :un groupe sur mesure
Existe-t-il un entier $n$, tel qu'on ait un groupe $H \subset \Z_n^*$ vérifiant : $H=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13\}$ ?
Réponses
C'est tiré d'un problème de la Rue d'Ulm qui a été recopié donc peut être mal.
C'est inutile à moins que tu ne veuilles tous les chiffres de ce nombre. On peut donner une formule assez simple : il manque juste un terme à celle que j'ai donnée dans mon message précédent (sauf si j'ai encore fait une erreur de calcul). $$2^{101}(3^{104}-1)^3 + 3\cdot 2^{100}(9^{104}-1)(3^{104}-1)$$
-il faut que tu en connaisses une solution de moins d'une dizaine de lignes,
-reposant sur le programme de maîtrise (M1) max, ou sur des énoncés déjà proposés.
-il faut aussi un problème original (dont vous êtes l'auteur).
Merci.
Ps : ton nombre est tronqué... sinon tu avais affiché une formule, peux-tu la remettre, ou as-tu dû t'en passer pour finalement, tout faire à l'aide d'un PC ?
En citant ton message on peut récupérer ta solution : BRAVO !
énoncé 108 : spéciale dédicace à Siméon
On note $B$, l'ensemble des nombres entiers dont l'écriture en base 3 ne contient pas le chiffre 0.
Calculer $$\sum \limits_{b \in B \cap [1,3^{108}]} b^{109} \mod (2^{89}-1)$$
PS : le 89 reste le plus difficile.
Bonne nuit.
Le 107 j ai trouvé que ça converge.
Tu peux me confirmer? Merci
Pour le 106 oui, tu es d'accord ?
dans le problème 102, est-ce qu'on suppose que la norme est euclidienne ou bien est-ce valable pour n'importe-quelle norme ?
102
Je me rends compte que les énoncés deviennent de plus en plus complexe, donc j'ai besoin pour m'assurer de tenir le contrat, que quelqu'un d'autre que moi relise mes démonstrations pour s'assurer de leurs validités.
Je l'avais proposé à un membre éminent du forum, mais il a refusé.
Donc je contacterais des admins pour m'assurer de l'existence d'au moins un relecteur.
@Etanche : oui à tes 2 questions me semble-t-il.
@Blueberry : c'est un énoncé recyclé (70) auquel personne n'a encore répondu et il manque l'hypothèse n>1, que je n'avais pas oublié dans l'ancien énoncé.
Merci et bonne journée.
Merci de ta réponse. Donc l'énoncé que tu viens de citer a ceci en plus de l'énoncé 102 qu'il s'applique à n'importe quel $\mathbb{R}$ espace vectoriel normé, si j'ai bien compris.
énoncé 109 : équation diophantienne
Résoudre sur $\Z$ : $y^3+2xy^3+x^3+x^3y^2-xy+x^3y^3-5=0$
[small]intérêt : il y a derrière la résolution de cette équation une méthode générale...[/small]
Bonne soirée.
Est-ce qu 'il n 'y a que deux couples solutions pour 109?
Je n'ai pas trouvé de relecteur, alors je ferais sans.
@Blueberry : j'ai oublié la démo du 102 (le 70 original), et la démo (partielle) que j'ai réussi à reconstituer fait plus d'une dizaine de lignes, donc je ne le propose plus.
@Etanche : Oui, me semble-t-il.
Bonne journée.
énoncé 110 : en attente.
Bonne journée.
énoncé 110 :
Soit $E$ la fonction partie entière. Donner la limite de $$\sum \limits_{k\in[E(n/2),n]} \frac{1}{k}$$
Bonne nuit.
Distinguer deux cas, $n$ pair, $n$ impair.
C'est la limite de $\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m+2}+...+\frac{1}{2m}$ quand $m\rightarrow +\infty $, c'est $\ln 2$.
Bonne fin de nuit.
F. Ch.
Bravo.
Pour ceux qui ne connaîtraient pas le truc cela revient au calcul d'une intégrale de Riemann.
Bonne journée.
Il y a aussi une autre démonstration Si l'on sait que $\displaystyle H_{m}=\overset{m}{\underset{k=1}{\sum }}\frac{1}{k}=\ln m+\gamma +o(1)$ quand $m\rightarrow +\infty $, alors : $\displaystyle \frac{1}{m+1}+\frac{1}{m+2}+...+\frac{1}{2m}=H_{2m}-H_{m}=(\ln (2m)+\gamma +o(1))-(\ln m+\gamma +o(1))=\ln 2+o(1)$.
Et une autre idée. Un exercice élémentaire sur la récurrence c'est l'identité de Catalan :$ \displaystyle \overset{m}{\underset{k=1}{\sum }}\frac{1}{m+k}=\overset{2m}{\underset{k=1}{\sum }}\frac{(-1)^{k-1}}{k}$.
Et bien sûr : $\displaystyle \overset{+\infty }{\underset{k=1}{\sum }}\frac{(-1)^{k-1}}{k}x^{k}=\ln (1+x)$ pour $ \displaystyle x\in ]0,1]$.
Bonne journée après la bonne nouvelle,
F. Ch.
09/11/2016
.
Pour le 89 : On pourrait penser que j'utilise le théorème de Cauchy-Kowalevski
Mais en fait il en est rien, j'utilise une astuce qui me semble inédite qui permet de résoudre "facilement" des EDP non-linéaires.
Bonne journée.
Et c'est bien une généralisation, certes partielle, du discriminant du polynôme de degré 2.
Ensuite, si tu veux un exercice qui te résiste un peu essaie donc le 108.
Bonne journée.
Et il y a bien par ailleurs une vraie généralisation du discriminant en tout degré.
Et c'est bien une généralisation, certes partielle, du discriminant du polynôme de degré 2.
Effectivement il existe une autre généralisation du discriminant : https://fr.wikipedia.org/wiki/Discriminant
Mais celle proposée ici à l'avantage d'être très simple.
Bon courage pour le 108.
Aucune envie de regarder le 108, désolé.
Celle proposée ici a le désavantage de ne pas servir à grand chose
Ok, c'est ton opinion.
Je ne sais en quoi l'énoncé 107 est un classique revisité.
Il me semble que les séries de termes généraux $u_{n}=\frac{\sin (n+\frac{1}{n})}{\ln (n+1)}$ ou $v_{n}=\frac{\cos (n+\frac{1}{n})}{\ln (n+1)}$ ou bien $z_{n}=\frac{e^{i(n+\frac{1}{n})}}{\ln (n+1)}$, sont convergentes.
J'ai cité dans un message précédent un lemme qui généralise le Critère Spécial pour les Séries Alternées :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1310159,1313607#msg-1313607
Il nous assure que les séries de termes généraux $\frac{\sin n}{\ln (n+1)}$,$\frac{\cos n}{\ln (n+1)}$,$\frac{e^{in}}{\ln (n+1)}$ sont convergentes, et l'on se ramène à celles-ci au moyen d'un développement limité faisant apparaître des séries absolument convergentes.
Bonne soirée.
F. Ch
Bonne soirée.
énoncé 111 : spéciale dédicace à Chaurien
La série suivante converge-t-elle :
$$S_n=\frac{\sin(1+\frac{1}{\ln(2)})}{\ln(2)}+\frac{\sin(2+\frac{1}{\ln(3)})}{\ln(3)}+...+\frac{\sin(n+\frac{1}{\ln(n+1)})}{\ln(n+1)}$$
Calcul exact avec les parties entières
Bonne journée.
énoncé 119 : étrange, merci à Depasse
Soit $p$ nombre entier plus grand que 5, $H$ un sous-groupe de $\Z_p^*$.
Montrer que si $a \in H$ avec $a>2$ alors $(a-1) | \sum \limits_{h \in H} p(-h/p \mod a)$.
Bonne journée.
Existe-t-il $p$ entier tel qu'on ait un groupe $H\subset \Z_p^*$ vérifiant : $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}=H$.
Existe-t-il un entier n, tel qu'on ait un groupe $H \subset \Z_n^*$ vérifiant : $H=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$ ?
PS : $o(H)=12$
Bonne journée.
J'ai fait une erreur dans mon programme...
énoncé 121 : un groupe sur mesure
Existe-t-il un entier $n$, tel qu'on ait un groupe $H \subset \Z_n^*$ vérifiant : $H=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13\}$ ?
PS : je vois que tu as modifié le message où tu exprimais ton incompréhension de l'argument. :-D
Ps : j'aimerais voir si mon programme marche...
Merci.
PS : je vois que tu as modifié le message où tu exprimais ton incompréhension de l'argument.
Je n'ai pas honte de ne pas comprendre, c'est juste, que nos messages se sont croisés.