Formule du pion
Bonjour
Je recherche une démonstration ensembliste de la formule du pion qui n'utilise pas la formule avec les factorielles car je voudrais justement me servir de la formule du pion pour retrouver l'expression.
Merci.
Je recherche une démonstration ensembliste de la formule du pion qui n'utilise pas la formule avec les factorielles car je voudrais justement me servir de la formule du pion pour retrouver l'expression.
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Réponses
http://www.mathoscope.ouvaton.org/mathoscope_xyz/Prepa/distributeur.php?mot=denombrement_permut
J'ai appelé ça la formule de la compote.
En gros, si tu veux transposer, ce qu'ils appellent un "pion", moi j'appelle ça une "pomme" mais c'est pareil.
On choisit k éléments parmi n, indépendamment de l'ordre et sans répétition. C'est donc une combinaison.
Puis on choisit 1 élément (x) parmi k, indépendamment de l'ordre et sans répétition. C'est donc une combinaison.
On obtient $C_n^kC_k^1$ possibilités.
Autre méthode :
On choisit un x parmi n éléments, indépendamment de l'ordre et sans répétition. C'est donc une combinaison.
Puis on choisit k-1 éléments parmi n-1, indépendamment de l'ordre et sans répétition. C'est donc une combinaison.
On obtient $C_n^1C_{n-1}^{k-1}$ possibilités.
Pourquoi ces quantités sont-elles égales ?
$C_n^kC_k^1=k\frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}$
$C_n^1C_{n-1}^{k-1} = n\frac{(n-1!)}{(k-1)!(n-1-k+1)!} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}$
CQFD.