Constante d'Euler

$\gamma$ est la limite de la suite $(u_n)$ suivante : $u_n = \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k} - ln(n) = \sum_{k=1}^{n-1} \int_{k}^{k+1}(\frac{1}{k} -\frac{1}{t})dt$, cette suite ainsi écrite est croissante. La dernière écriture la donne même $\gamma$ comme somme de la série (à termes positifs) de terme général $\int_{n}^{n+1} (\frac{1}{n} - \frac{1}{t} ) dt$. Et dans ce cas, si on veut évaluer l'erreur, il suffit d'estimer le reste de la série :
$$R_n = \sum_{k=n}^{\infty} \int_{k}^{k+1}(\frac{1}{k} -\frac{1}{t})dt = \sum_{k=n}^{\infty} \int_{k}^{k+1} \frac{t-k}{kt}dt \leq \sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \sum_{k=n}^{\infty} \int_{k-1}^k \frac{1}{k^2} dt \leq \sum_{k=n}^{\infty} \int_{k-1}^k \frac{1}{t^2} dt = \int_{n-1}^{\infty} \frac{dt}{t^2} = \frac{1}{n-1}.$$ Donc au final, on a $$ 0 \leq \gamma - u_n < \frac{1}{n-1}$$ et si tu veux une précision supérieure à $10^6$, il suffit de prendre $u_{1000001}$ par exemple.

Voir ce lien : https://fr.wikibooks.org/wiki/Mathématiques_avec_Python_et_Ruby/Suites_en_Python#La_constante_d.27Euler
même si la série $ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k} - \ln(n) $ est lente.

est-ce qu'on parle de la constante $\gamma$ d'Euler (lente à calculer avec la définition $\gamma = -\lim_{n \to \infty} \ln n - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$, peut-être que $\gamma = -\Gamma'(1) = -\int_0^\infty e^{-x} \ln(x)dx$ est plus efficace ?)

ou de la constante $e$ d'Euler (rapide à calculer à partir de la définition $e = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}$)

Avec une simple utilisation d'Euler-Maclaurin on arrive à
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}=\log n+\gamma+\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^{2}}+\frac{1}{120n^{4}}+...$$

J'espère que vous allez bien Neptune