Constante d'Euler
Bonjour, je viens sur votre forum puisque je cherche de l'aide avec cette fameuse constante d'Euler.
Je sais à quoi elle correspond etc, ici n'est pas le problème.
Je souhaiterais simplement la programmer sous PYTHON avec une précision (donnée dans les arguments).
Et avec une erreur inférieur à 10^-6.
Et là, je ne sais pas du tout comment m'y prendre, si quelqu'un s'y connait.
Cordialement.
Je sais à quoi elle correspond etc, ici n'est pas le problème.
Je souhaiterais simplement la programmer sous PYTHON avec une précision (donnée dans les arguments).
Et avec une erreur inférieur à 10^-6.
Et là, je ne sais pas du tout comment m'y prendre, si quelqu'un s'y connait.
Cordialement.
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Réponses
$$R_n = \sum_{k=n}^{\infty} \int_{k}^{k+1}(\frac{1}{k} -\frac{1}{t})dt = \sum_{k=n}^{\infty} \int_{k}^{k+1} \frac{t-k}{kt}dt \leq \sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \sum_{k=n}^{\infty} \int_{k-1}^k \frac{1}{k^2} dt \leq \sum_{k=n}^{\infty} \int_{k-1}^k \frac{1}{t^2} dt = \int_{n-1}^{\infty} \frac{dt}{t^2} = \frac{1}{n-1}.$$ Donc au final, on a $$ 0 \leq \gamma - u_n < \frac{1}{n-1}$$ et si tu veux une précision supérieure à $10^6$, il suffit de prendre $u_{1000001}$ par exemple.
même si la série $ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k} - \ln(n) $ est lente.
-- Schnoebelen, Philippe
ou de la constante $e$ d'Euler (rapide à calculer à partir de la définition $e = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}$)
En tant que problème de travail pour des étudiants d'aujourd'hui, il mériterait une réécriture car c'est de l'époque "sans convergence dominée", ce qui impose des détours, mais c'est très intéressant.
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}=\log n+\gamma+\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^{2}}+\frac{1}{120n^{4}}+...$$