Agreg interne : partie compacte de $R^n$
dans Concours et Examens
Bonjour.
Est-il possible, dans cette leçon, d'admettre le théorème de Bolzano- Weierstrass ?
À savoir : De toute suite bornée dans $\mathbb{R}$ on peut extraire une sous-suite convergente.
En effet, dans la définition de partie compacte, je prends : une partie A de $\mathbb{R}^n$ est compacte lorsque toute suite de A admet une sous-suite convergente.
Merci.
Est-il possible, dans cette leçon, d'admettre le théorème de Bolzano- Weierstrass ?
À savoir : De toute suite bornée dans $\mathbb{R}$ on peut extraire une sous-suite convergente.
En effet, dans la définition de partie compacte, je prends : une partie A de $\mathbb{R}^n$ est compacte lorsque toute suite de A admet une sous-suite convergente.
Merci.
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Réponses
Attention, surtout avec ce genre de leçon où il existe plusieurs façons d'aboutir aux résultats principaux, à ne pas tomber dans des cercles vicieux, du genre : "ben c'est évident pour $\R$ puisque je viens de le montrer en toute généralité pour $\R^n$..."
Une infinité de termes sont là ou là, on restreint, on recommence.
Pour l'exposé, montre en main, il me faut la photo finish pour départager les deux options.
e.v.
qui revendique ses signes diacritiques.
voici le plan que j'ai présenté lors de la session 2012, où j'ai eu une très bonne note (20/20),
leçon dans laquelle je l'ai mis en pré-requis ( en sachant le démontrer mais on ne m'a pas demandé
de le faire).
e.v.
C'est toujours possible en maths. En logique ça s'appelle "éliminer une coupure". En programmation, c'est remplacer l'appel d'une procédure par le corps du code. Tu le fais "avec", tu situes bien où tu t'en sers et tu remplaces le paragraphe admettant le T8 par une preuve du T8.
De toute façon, $N((x_1,..,x_n)) \leq N((x_1,0,..0)) +..+N((0,..,x_n))$, ce qui entraîne l'existence d'un $k$ tel que $\forall x: N(x)\leq k||x||_{\infty}$, sans compacité.
Si $x$ est proche de $0$ pour la norme infinie, il l'est donc pour $N$. Or si $u$ converge vers $b$ tel que $||b||\geq 1$, alors que $\forall n: N(u_n)\leq 1/n$, il y aura une contradiction car $b$ sera trop loin de $u_n$ quand $n$ grand. Bref, le T6 permet de dire que $||x||\to 0$ quand $N(x)\to 0$.
J'ai peut-être mal compris ce que tu dis.
Que va penser le jury d'un candidat qui dirait "je n'ai pas besoin du th8 car je prouve le th8 dans la preuve" ?
C'est une astuce mais cela pose un problème de cohérence. Sauf si je n'ai pas saisi.
Évidemment, si on peut se passer du th8 par une autre voie, c'est correct (du point de vue de la construction du plan).
remarque: dans le sketch que je lui ai posté, je ne prouve pas le T8, même dans la preuve. Mais il faut aussi noter que le T8 se prête aisément à une élimination car il est trivial: si $f$ est continue d'un compact dans un espace totalement ordonné, elle atteint son maximum à cause du fait que les images réciproques des intervalles (dans l'ordre d'arrivée) $]<-,u[$ où $u<s$ et $s=\sup (f)$ sont des ouverts et recouvriraient le compact si $s$ n'est pas atteint.
J'ai le même plan que toi et j'avais aussi pensé à montrer le th de D'Alembert.
Quel développement as-tu pris et n'as-tu pas trouvé la preuve du Gourdon un peu difficile?
voici une démonstration possible de l'application illustrant le théorème 6 sans faire appel au théorème 8.
(collection H prépa maths, analyse 1 , 2ème année MP MP* de Christine FEUILLET et Isabelle SELON)
Le développement que j'ai choisi et fait est donc celui du Gourdon sur le théorème de D'Alembert.
Effectivement il n'est pas très aisé en première lecture, mais une fois que l'on a bien compris les différentes articulations il devient assez "simple" à retenir et a refaire.
Le développement que j'ai fait à dû plaire au jury car en plus de la note il en est fait allusion dans le rapport de jury de cette année 2012.
++
** ton plan présente l'équivalence des normes comme "une application de"
Existe-t-il une autre démonstration qui n'y fait pas appel ?
Le fait de l'avoir placé après le théorème 6 vient simplement du fait des plans qui m'ont inspiré, et je trouvais que cela donnait un meilleur équilibre à ce dernier. Mais l'essentiel est de pourvoir argumenter de nos choix devant le jury si le jury nous questionne dessus.
Je ne sais pas ce que tu appelles "qui n'y fait pas appel", mais essentiellement, avec la définition que tu as choisie, tout se prouve sans autre chose (ie tes applications se prouvent avec le même nombre de lignes voir moins, en utilisant ta seule définition). Autrement dit, tes applications ne sont pas des applications .. des théorèmes proposés.
La compacité de $[-a,a]^n$ vient de Tychonov (version lightisée dénombrable pour les MPSI à la rigueur) et elle entraine la compacité des fermés bornés de $\R^k$. Or cette compacité se prouve vite avec ton choix de définition ($u\circ f_1\circ f_2\circ ..\circ f_k$ converge).
Pour des raisons similaires, l'existence d'une suite $u$ d'éléments de $\R^n$ ayant toutes leurs coordonnées dans $[-1,1]$ et une au moins égale à $1$ et qui converge (elle a été extraite de blabla) et vérifie $N(u_n)\leq 1/n$ ne semble pas vraiment "être une application de"
Bon cela dit, tu as eu 20, donc c'est tant mieux et je te souhaite de t'éclater dans ton job.
Comme je le disais dans le sujet de discussion : oral 1 de l'agrégation interne, j'ai été surpris, je pensais avoir fait une bonne prestation mais de là à avoir cette note... Le jury était certainement bien luné.
Le plan est certes important mais n'est pas l'essentiel (on a tous plus ou moins les mêmes), le jury nous juge plus sur le développement et sur l'entretien de la dernière partie.
La définition choisie pour la compacité est celle qui est au programme de l'agrégation interne.
Concernant les applications, d'après les formateurs que j'ai eu, il fallait juste voir l'application du théorème dans la démonstration même s'il en existait d'autres qui ne l'utilise pas.
Ainsi pour l'équivalence des normes, l'application vient uniquement du fait que S étant un fermé borné, c'est donc un compact ( théorème 6) et on peut donc en extraire une sous suite convergente dans S. C'est peut être un peu léger mais le jury ne l'a pas soulevé (ou remarqué).
A titre personnel, je trouve désolant cette manière qu'ont les programmes d'orpheliniser les notions. Ca ne coûte rien de donner la bonne définition et d'admettre qu'elle est équivalente à la définition scolaire pour les espaces métriques (c'est 5 mots de plus). En plus, si "l'agreg" s'y met, alors qu'elle sert de référence au boulot de fonctionnaire-enseignant, il ne faut pas s'étonner ensuite qu'on trouve plein d'erreurs dans les programmes des petites classes.
Tu pousses le bouchon un peu loin.
Le programme donne une définition. De là à dire que l'on orphelinise les notions, quand même.
L'esprit de l'interne, d'ailleurs, c'est d'utiliser les caractérisations séquentielles (c'est comme cela que je comprends le programme en analyse). Et je ne trouve pas que l'on vide de leurs sens les notions.
Parce que n'importe quel théorème ou presque à ce niveau peut se démontrer de multiples manières différentes en partant d'une définition générale ou bien d'une autre, en passant par telle notion équivalente, etc. Et la compacité n'échappe pas à cela, bien au contraire !
Cependant, dire que la compacité dans $\mathbb{R}^n$ provient de Tychonoff, c'est maladroit à mon sens : si c'est historique, je pense que c'est faux ; si c'est théorique, eh bien justement ça dépend quel est le plan de l'ouvrage suivi... On peut construire toute la topologie générale sans parler des réels (il suffit de reléguer les espaces métriques à de la topologie "pas générale" et de ne jamais donner un exemple utilisant la topologie usuelle de R). Mais bon, c'est un peu dommage. Si l'on se place à un niveau intermédiaire, on peut mixer un peu de topologie générale, un peu de topologie métrique, voire traiter le cas de R avant ou en parallèle. C'est ce que font pas mal de bouquins qui se veulent un peu didactique (par opposition à une vision bourbakiste). Par exemple Arnaudiès&Fraysse et (me semble-t-il de mémoire) Wagschall...
Mais quelle est la "vraie" présentation ??? Est-ce que la définition de la compacité par les recouvrements à la Borel-Lebesgue est "meilleure" que celle par les suites ("compacité séquentielle") à la Bolzano-Weierstrass à ce niveau ? Mouais... D'autant plus que dans ce cas, il faut aller jusqu'au bout : compacité séquentielle (toute suite bornée a une sous-suite convergente) ou compacité dénombrable (toute partie infinie possède un point d'accumulation, version "ensembliste", ou : toute suite admet une valeur d'adhérence, version "séquentielle", les deux étant équivalentes dans les espaces séparés) ? Dans un espace métrique, c'est équivalent, mais en général... gare !
Bref, tout cela devient vite très subtil (si si ! et ça ne figure dans aucun bouquin, il faut aller chercher à gauche et à droite dans plein de sources différentes, parfois en anglais comme Dugundji ou Kelley...), et si l'on ne borne pas en se restreignant au cas des espaces métriques, alors jusqu'où "remonte-t-on" ?
Alors ce que cherche le jury, ce n'est pas de savoir si le chemin de l'exposé est le "plus" cohérent ou théorique, mais surtout s'il n'est pas incohérent. Que tel théorème soit "conséquence" ou "application" de tel résultat est avant tout affaire de choix dans l'exposé. Ou alors, il faudrait une version officielle avec des définitions normées et un exposé arrêté. Même Bourbaki n'a pas réussi à imposer ça, la définition d'un point d'accumulation étant par exemple l'une des plus variables d'un ouvrage à un autre, et d'une culture à l'autre !
D'ailleurs, pour ce qui est de l'agrégation, je suis persuadé que les subtilités que j'ai évoquées sont inconnues (ou oubliées) de la plupart des membres du jury, pour la simple et bonne raison qu'une fois un chemin tracé durant son parcours pour démontrer les théorèmes de base, il est rare qu'on replonge pour le plaisir dans la littérature pour étudier tous les chemins et tous les exposés possibles sur tous les sujets du programme d'agrégation (même interne). Et encore une fois, ce n'est pas ce qu'on demande aux candidats, ni aux membres du jury d'ailleurs...
je prépare actuellement cette leçon.
Je pensais mettre le théorème de D'Alembert Gauss en développement. Or n'est-il pas hors sujet ? En effet, le titre est "parties compactes de R n".
Cette démonstration utilise le fait que "tout fermé borné de C est compact."
J'ai utilisé le développement du Gourdon algèbre.
Merci.
De mon point de vue :
- oui tu peux l'admettre, car la leçon est centralisée sur $\R^n$
- mais en revanche si tu fais ce choix, il faut être capable de le re-démontrer. Tu dois montrer au jury à la fois que tu es capable de donner les grands principes de la démonstration (si une question te demande d'expliquer cela en 20 secondes, hors de question de rentrer dans les détails), mais aussi tu dois savoir complètement le démontrer si on te le demande. Je pense même qu'à moins qu'on te demande tous les détails, fournir une réponse synthétique (quitte à rentrer dans les détails si demandés) démontre que tu as du recul sur la démonstration, et non que tu l'as apprise sans la comprendre.
En gros, il me semble que le jury ne t'en voudra pas de l'omettre dans l'optique de gagner du temps, si tu démontres que tu le connais tout de même.
La propriété
"les compacts de $\R^n$ sont les parties fermées bornées"
pourrait apparaître dans ton plan, non ?
Personnellement, je ne pense pas que ton choix de développement soit hors sujet.
Mais je ne parle pas de C donc pour moi, admette que c'est vrai dans C et le mettre ici pour R ou Rn me semble étrange, non?
Le rapport du jury dit qu'il y a eu une belle prestation du théorème de D'Alembert Gauss donc, ce n'est pas hors sujet. De plus, la personne qui a posté il y a quelques années, l'avait aussi présenté en développement