Merci contrexemple,
Il va falloir que je fasse des révisions en arithmétique pour comprendre entièrement la solution de samok.
Ton indication $x^{p-1} \mod p =1 $ m'avait permis entre temps de montrer que au delà de $2^{607}-2$ ta somme reste toujours congrue à 1 modulo $2^{607}-1$ sauf pour les multiples de $2^{607}-2$ où elle est nulle. (périodicité de période $p-1$)
@jacquot :
$K=Z_p$ alors $K^*=K-\{0\}$ le groupe multiplicatif est cyclique, donc il existe $b\in K^*$ tel que pour tout $a\in K^*$, il existe $n \in [0,p-2]$, $a=b^n$.
Donc $ \sum \limits_{i\in [1,p-1]} i^j \mod p=\sum \limits_{n\in [0,p-2]} b^{j\times n}\mod p$ qui est une série géométrique qui vaut 0 (car $b^{j\times (p-1)}=1$) ssi on n'a pas $(p-1)|j$, c'est à dire $b^j\neq 1$
En fait il existe une astuce plus simple que celle là je la mets en oeuvre dans cet énoncé : énoncé 21 :
On note $G$ un groupe fini, multiplicatif de $A$ un anneau unitaire intègre sans diviseur de 0. Calculer pour tout $j$, $\sum \limits_{g\in G}g^j$.
narration de recherche :
- je me suis dit que la puissance induirait une bijection (dans le groupe multiplicatif), mais en prenant comme exemple 13, j'ai été fort désappointé;
- j'ai repensé à une preuve du petit théorème de Fermat, où une bijection utilisée est $x\mapsto ax$.
21: groupe multiplicatif fini d'un corps->cyclique.
12:x=1
16: On peut aussi remarquer que $\frac1{x^{p-1}-1}=\sum_{i\ne0}\frac1{x-i}$ dans $\mathbb Z/p\mathbb Z$.
l'énoncé 21 : il est question d'anneau intègre unitaire (pas forcément commutatif et pas forcément fini).
énoncé 12 : bravo, en prenant x=1, on se rend compte que f(1)>1, ce qui n'est pas possible.
énoncé 16 : $\frac{1}{x^{p-1}-1}=\frac{1}{0}$ qui est indéterminé sur $\Z_p$
Pour ce que j'en sais de ce genre de problème la solution est rarement à chercher dans l'ensemble des solutions communes, c'est à dire qu'il serait inutile d'essayer à l'aide de déplacement des pièces dans le plan, d'obtenir "la lettre M", peut être qu'il faut appliquer une symétrie par ci par là, ou qu'il ne faut pas rester dans le plan (dans l'espace), ou que "la lettre M" n'est pas à comprendre dans le sens commun, mais à comprendre d'une manière particulière.
Réponse du 1 :
$r(E)=E$ alors $r^k(E)=E$ donc est stable par une symétrie de centre $O$, donc $O$ est centre de gravité de $E$, une fois que l'on a dit cela l'exercice devient un classique.
Réponse 2 : $card(C([0,1])=card(\R^{\N})=card(\R)$ alors si on note $E$ le complété de $C([0,1])$ pour une distance quelconque, alors $card(E)\leq card(C([0,1])^\N)=card(\R^\N)=card(\R)<card(F([0,1])$
Il n'existe pas de configuration telle que dans l'énoncé 1 car $d(r(A_i),O)=d(A_i,O)=i$ et le fait que $r(A_i)\in E$ entraîne que $r(A_i)=A_i$ pour tout $i$, donc que $A_i=O$ pour tout $i$.
Pour l'énoncé 4, je ne sais pas ce qu'est cette fameuse propriété C.E.T. mais je trouve 941 avec une grosse calculatrice :
p=101
q=1031
f=[0]*(p+1)
f[1]=1
k=0
while k<p:
i=p
while i>=0:
s=4*f[ i]
j=0
while j<=i:
s=s+f[j]*f[i-j]
j += 1
f[ i]=s%q
i -= 1
f[0]=(f[0]+3) % q
k +=1
a=f[p]
k=p
while k>0:
a=(a*k) %q
k -=1
print(a)
L'idée est de faire le changement de variables $x=2+y$. On est amenés à poser $g(y)=f(2+y)-2=y^2+4y+3$ et à calculer la dérivée $101^e$ de $g^{\circ 101}$ en $0$. Il suffit donc de calculer le coefficient de $y^{101}$ de $g^{\circ 101}$, ce qui se fait aisément par ordinateur car on n'a pas besoin dans les calculs intermédiaires de garder en mémoire les termes en $y^k$ pour $k>101$.
Pour l'énoncé 1, tu as raison j'ai mal choisi les $d(O,A_i)$, mais bon l'astuce n'était pas caché là.
Pour l'énoncé 4 : bravo ce que tu as fait revient à utiliser le fameux C.E.T (ContrExemple Theorem, je voulais ainsi vérifier qu'il y avait au moins une personne d'intéresser par les réponses, ne voyant pas trop de réactions).
Propriété (C.E.T.) : Si $P(X) \mod Q(X)^n=R(X)$ alors $P'(X) \mod Q(X)^{n-1}=R'(X) \mod Q(X)^{n-1}$.
voici une caricature de type d'énoncés que vous demandez :
- je l'ai fait avec mes petites mains et ma petite tête;
- il est essentiellement trivial;
- il est maquillé outrageusement pour masquer sa trivialité.
Avant de me dire qu'il n'a pas de sens, je rappelle que quand j'étais petit, on m'a défini un espace vectoriel comme un triplet d'ensembles $(E,+,.)$, donc comme un ensemble. Ainsi un ensemble comme "la reine d'Angleterre" peut-être qualifié de vectoriel si on exhibe $E$, $+$ et $.$ .
Ta caricature est raté car il eut fallut avoir un énoncé très court, ce que le tien n'est pas.
Je préfère privilégier les énoncés courts...
Non, car il me semble que ton truc expression n'est pas bien parenthésé, sinon merci de mettre ton énoncé au format tex, cela serait plus simple pour copier coller ton truc expression.
ce que tu appelles un ordre est une demande polie, à moins qu'obséder par la forme, tu n'as que peux de scrupule sur le fond. Le poète est celui qui marie le fond et la forme, c'est pour cela que ce n'est pas donné à tous le monde, en particulier à toi.
@samok : pour ton énoncé, soit le cardinal de ton ensemble est de la forme p^n (p premiers), alors on peut établir une bijection ensembliste entre ton ensemble et un espace vectoriel sur le corps à p éléments de dimension n, et alors ton ensemble devient un espace vectoriel par cette bijection qui devient une fonction linéaire bijective.
soit ce n'est pas le cas (card <> p^n) alors on ne peut construire un e.v., car les corps finis sont de la forme p^n (avec p premiers).
Je n'arrive pas à compter le nombre d'éléments de ton ensemble mais de toutes les façons tu as ta réponse.
$(a,b)=\{a;\{a;b\}\}$
puis $(a,b,c)=((a,b),c)$
$\emptyset=0$ et $\{\emptyset\}=1$
$a=\{0;1\}$ puis les opérations $b$ et $c$ sont celles de $(\mathbb{Z}_2,+,.)$, par exemple $0+1=1$ s'écrit avec l'élément de $b$ : $\{\{0;\{0;1\}\};\{\{0;\{0;1\}\};1\}\}=((0,1),1)$
C'est aussi une caricature du formalisme que je visais.
Je ne sais pas ce que je suis mais tu sembles savoir ce que je ne suis pas, cela m'invite à ne plus intervenir dans ce fil.
Bonne continuation.
Si ma réaction te semble, inappropriée, sache que dans la plupart des cas j'essaie tel que tu le faisais, de mimer tes réponses.
J'espère n'avoir pas franchi les limites du convenable, comme je peux te dire que tu ne les as pas franchies, ici.
Je te rappelle que si tu veux participer au fil, sans mettre des réponses volontairement ambiguës, tu es le bienvenu.
Réponse 8 :
1/$f$ injective et $f^{-1}$ est contractante.
2/$f(\R^n)$ est fermé et ouvert dans $\R^n$, donc $f(\R^n)=\R^n$.
3/D'où par le théorème de point fixe des fonctions contractantes on a : un unique point fixe de $f^{-1}$, donc de $f$.
$\int_{u\in[0,2\pi]} |\sin(nu)|^{\frac{1}{n}} du = \int_{v\in[0,n2\pi]} |\sin(v)|^{\frac{1}{n}} \frac{dv}{n}=\int_{t\in[0,2\pi]} |\sin(v)|^{\frac{1}{n}} du=2\pi$
Pour la première égalité $v=n\times u$, pour la deuxième car $\sin$ est périodique de période $2\pi$, pour la dernière égalité par le théorème de convergence simple.
Or $0\leq1-|\sin(nx)|^{\frac{1}{n}}$ et la limite de l'intégrale en $[0,2\pi]$ vaut 0, donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}1-|\sin(nx)|^{\frac{1}{n}}$ est nul presque partout sur $[0,2\pi]$, on conclut à l'aide de la $2\pi$-périodicité.
énoncé 26 : un nouveau critère d'irréductibilité ?
Soit $P\in\Z[X]$ de degré $n$ tel qu'il existe $2n+1$ valeurs entières pour lesquelles $P$ vaut un nombre premier, peut-on dire qu'alors $P$ est irréductible sur $\Z$ ?
25: Supposons que $p\equiv 3 \ [4].$ Alors $p$ est irréductible dans $\Z[ i ]$, qui est factoriel, et $p\mid (1+in)(1-in).$ Par le lemme d'Euclide $p\mid 1\pm i n$.
Autrement dit, $\dfrac{1\pm in}{p}\in\Z[ i ]$, d'où $p\mid 1$ dans $\Z$, contradiction.
Comme précédemment, si $p\equiv 3 \ [4]$, il divise $n\pm i(n+1)$ dans $\Z[ i ]$. Alors $\dfrac{n+i(n+1)}{p}\in\Z[ i ]$, d'où $p\mid n$ et $p\mid n+1$ dans $\Z$, et ainsi $p\mid 1$ par différence, contradiction.
Réponses
Il va falloir que je fasse des révisions en arithmétique pour comprendre entièrement la solution de samok.
Ton indication $x^{p-1} \mod p =1 $ m'avait permis entre temps de montrer que au delà de $2^{607}-2$ ta somme reste toujours congrue à 1 modulo $2^{607}-1$ sauf pour les multiples de $2^{607}-2$ où elle est nulle. (périodicité de période $p-1$)
Amicalement. jacquot
$K=Z_p$ alors $K^*=K-\{0\}$ le groupe multiplicatif est cyclique, donc il existe $b\in K^*$ tel que pour tout $a\in K^*$, il existe $n \in [0,p-2]$, $a=b^n$.
Donc $ \sum \limits_{i\in [1,p-1]} i^j \mod p=\sum \limits_{n\in [0,p-2]} b^{j\times n}\mod p$ qui est une série géométrique qui vaut 0 (car $b^{j\times (p-1)}=1$) ssi on n'a pas $(p-1)|j$, c'est à dire $b^j\neq 1$
Cordialement.
énoncé 21 :
On note $G$ un groupe fini, multiplicatif de $A$ un anneau unitaire intègre sans diviseur de 0.
Calculer pour tout $j$, $\sum \limits_{g\in G}g^j$.
narration de recherche :
- je me suis dit que la puissance induirait une bijection (dans le groupe multiplicatif), mais en prenant comme exemple 13, j'ai été fort désappointé;
- j'ai repensé à une preuve du petit théorème de Fermat, où une bijection utilisée est $x\mapsto ax$.
voili voilou,
S
@samok : merci.
@JLT : bravo, cela vient de la proposition soit, $P(X)=X\times(X-1)...(X-p+1)$, pour tout $n\in \Z$, $p|P(n)$,
on a même $p!|P(n)$.
12:x=1
16: On peut aussi remarquer que $\frac1{x^{p-1}-1}=\sum_{i\ne0}\frac1{x-i}$ dans $\mathbb Z/p\mathbb Z$.
énoncé 12 : bravo, en prenant x=1, on se rend compte que f(1)>1, ce qui n'est pas possible.
énoncé 16 : $\frac{1}{x^{p-1}-1}=\frac{1}{0}$ qui est indéterminé sur $\Z_p$
16. Mon indication dans le 16 est évidemment à prendre dans $\mathbb Z/p\mathbb Z(x)$.
anneau sans diviseur de zéro non commutatif : le corps des hamiltoniens.
@Joaopa :
21 : peux tu nous en dire plus ?
16 : ok.
Pour ce que j'en sais de ce genre de problème la solution est rarement à chercher dans l'ensemble des solutions communes, c'est à dire qu'il serait inutile d'essayer à l'aide de déplacement des pièces dans le plan, d'obtenir "la lettre M", peut être qu'il faut appliquer une symétrie par ci par là, ou qu'il ne faut pas rester dans le plan (dans l'espace), ou que "la lettre M" n'est pas à comprendre dans le sens commun, mais à comprendre d'une manière particulière.
J'ai free, ou à moitié free ?
S
S
Je rappelle qu'il faut donner des énoncés de son cru (qui ne se trouve pas sur internet)
Je vous propose de réfléchir à l'énoncé 1.
indice : cette énoncé ne repose que sur une information cachée, une fois trouvée il devient un exercice classique.
$r(E)=E$ alors $r^k(E)=E$ donc est stable par une symétrie de centre $O$, donc $O$ est centre de gravité de $E$, une fois que l'on a dit cela l'exercice devient un classique.
Indice : la réponse est non, mais alors pourquoi ?
indice : il ne repose que sur une seule propriétaire calculatoire.
Pour l'énoncé 4, je ne sais pas ce qu'est cette fameuse propriété C.E.T. mais je trouve 941 avec une grosse calculatrice :
L'idée est de faire le changement de variables $x=2+y$. On est amenés à poser $g(y)=f(2+y)-2=y^2+4y+3$ et à calculer la dérivée $101^e$ de $g^{\circ 101}$ en $0$. Il suffit donc de calculer le coefficient de $y^{101}$ de $g^{\circ 101}$, ce qui se fait aisément par ordinateur car on n'a pas besoin dans les calculs intermédiaires de garder en mémoire les termes en $y^k$ pour $k>101$.
Pour l'énoncé 4 : bravo ce que tu as fait revient à utiliser le fameux C.E.T (ContrExemple Theorem, je voulais ainsi vérifier qu'il y avait au moins une personne d'intéresser par les réponses, ne voyant pas trop de réactions).
Propriété (C.E.T.) : Si $P(X) \mod Q(X)^n=R(X)$ alors $P'(X) \mod Q(X)^{n-1}=R'(X) \mod Q(X)^{n-1}$.
Je vous propose de réfléchir à l'énoncé 8
Je donnerais un indice en cas de besoin.
voici une caricature de type d'énoncés que vous demandez :
- je l'ai fait avec mes petites mains et ma petite tête;
- il est essentiellement trivial;
- il est maquillé outrageusement pour masquer sa trivialité.
Avant de me dire qu'il n'a pas de sens, je rappelle que quand j'étais petit, on m'a défini un espace vectoriel comme un triplet d'ensembles $(E,+,.)$, donc comme un ensemble. Ainsi un ensemble comme "la reine d'Angleterre" peut-être qualifié de vectoriel si on exhibe $E$, $+$ et $.$ .
Ta caricature est raté car il eut fallut avoir un énoncé très court, ce que le tien n'est pas.
Je préfère privilégier les énoncés courts...
Non, car il me semble que ton truc expression n'est pas bien parenthésé, sinon merci de mettre ton énoncé au format tex, cela serait plus simple pour copier coller ton truc expression.
Le poète est celui qui marie le fond et la forme, c'est pour cela que ce n'est pas donné à tous le monde, en particulier à toi.
soit ce n'est pas le cas (card <> p^n) alors on ne peut construire un e.v., car les corps finis sont de la forme p^n (avec p premiers).
Je n'arrive pas à compter le nombre d'éléments de ton ensemble mais de toutes les façons tu as ta réponse.
$(a,b)=\{a;\{a;b\}\}$
puis $(a,b,c)=((a,b),c)$
$\emptyset=0$ et $\{\emptyset\}=1$
$a=\{0;1\}$ puis les opérations $b$ et $c$ sont celles de $(\mathbb{Z}_2,+,.)$, par exemple $0+1=1$ s'écrit avec l'élément de $b$ : $\{\{0;\{0;1\}\};\{\{0;\{0;1\}\};1\}\}=((0,1),1)$
C'est aussi une caricature du formalisme que je visais.
Je ne sais pas ce que je suis mais tu sembles savoir ce que je ne suis pas, cela m'invite à ne plus intervenir dans ce fil.
Bonne continuation.
S
Si ma réaction te semble, inappropriée, sache que dans la plupart des cas j'essaie tel que tu le faisais, de mimer tes réponses.
J'espère n'avoir pas franchi les limites du convenable, comme je peux te dire que tu ne les as pas franchies, ici.
Je te rappelle que si tu veux participer au fil, sans mettre des réponses volontairement ambiguës, tu es le bienvenu.
Au revoir.
1/$f$ injective et $f^{-1}$ est contractante.
2/$f(\R^n)$ est fermé et ouvert dans $\R^n$, donc $f(\R^n)=\R^n$.
3/D'où par le théorème de point fixe des fonctions contractantes on a : un unique point fixe de $f^{-1}$, donc de $f$.
Je vous propose de réfléchir à l'énoncé 9.
Indice : il repose sur la même astuce que l'énoncé 10.
Pour la première égalité $v=n\times u$, pour la deuxième car $\sin$ est périodique de période $2\pi$, pour la dernière égalité par le théorème de convergence simple.
Or $0\leq1-|\sin(nx)|^{\frac{1}{n}}$ et la limite de l'intégrale en $[0,2\pi]$ vaut 0, donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}1-|\sin(nx)|^{\frac{1}{n}}$ est nul presque partout sur $[0,2\pi]$, on conclut à l'aide de la $2\pi$-périodicité.
$P(n)=2n^2+2n+1$ montrer que $P$ sur les entiers, ne prend jamais comme valeur $p=4k+3$ avec p premier.
énoncé 25 :
même Question avec $P(n)=n^2+1$
Montrer que pour tout $n \in \N$, si $p|P(n)=n^2+1$ avec $p$ premier impair alors $p=4k+1$
Soit $P\in\Z[X]$ de degré $n$ tel qu'il existe $2n+1$ valeurs entières pour lesquelles $P$ vaut un nombre premier, peut-on dire qu'alors $P$ est irréductible sur $\Z$ ?
Autrement dit, $\dfrac{1\pm in}{p}\in\Z[ i ]$, d'où $p\mid 1$ dans $\Z$, contradiction.
énoncé 27 :
Montrer que pour tout $n\in\N$ si $p|P(n)=2n^2+2n+1$ alors $p=1 \mod 4$