"il est facile de" la preuve :
dans Shtam
Bonsoir,
Je prendrais des preuve simple (courte (moins de 10 lignes) compréhensible par un élève de maîtrise), que j'habille d'un énoncé. A vous de les déshabiller, trouvez une preuve.
énoncé 1 :
On travaille dans le plan euclidien :
soient $n,k$ deux entiers plus grand que 2, $E=\{A_1,...,A_n\}$ des points du plan, $r$ une rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{k}$, $U$ un point du plan, on suppose $r(E)=E$, $d(A_i,U)=i^2$ et $d(A_i,O)=i$. Que vaut $d(O,U)$ ?
"il est facile de" la preuve
Les incontournables de ce fil, ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1198849,1375904#msg-1375904
Je prendrais des preuve simple (courte (moins de 10 lignes) compréhensible par un élève de maîtrise), que j'habille d'un énoncé. A vous de les déshabiller, trouvez une preuve.
énoncé 1 :
On travaille dans le plan euclidien :
soient $n,k$ deux entiers plus grand que 2, $E=\{A_1,...,A_n\}$ des points du plan, $r$ une rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{k}$, $U$ un point du plan, on suppose $r(E)=E$, $d(A_i,U)=i^2$ et $d(A_i,O)=i$. Que vaut $d(O,U)$ ?
"il est facile de" la preuve
Les incontournables de ce fil, ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1198849,1375904#msg-1375904
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Réponses
Existe-t-il une métrique sur $F([0,1])$ les fonctions réelles de $[0,1]$ dans $[0,1]$, où $C([0,1])$ est dense ?
On pose $f(x)=x^2+1$ dans $\Z/101\Z$. Calculer la dérivée $101^e$ de $f^{101}$ en $2$.
$f^{n}$ est la composée de $f$ $n$ fois.
Merci.
énoncé 4 : (usage de la calculatrice fortement conseillé)
On pose $f(x)=x^2+1$ dans $\Z/1031\Z$. Calculer la dérivée $101^e$ de $f^{101}$ en 2.
Existe-t-il $f$ continue de $\R$ dans $\R$, tel que pour tout $x,y$ des nombres décimaux on a :
$f(x)+f(y)+f(x)\times f(y)\leq -3$.
Mais bon 12 est-il un nombre décimal ?
Je n'ai pas de preuve en moins de dix lignes.
S
énoncé 6 :
Déterminer toutes les $f$ continues de $\R$ dans $\R$, tel que pour tout $x,y$ des nombres décimaux tel que $x \neq y$ on a : $f(x)+f(y)+f(x)×f(y)\leq -1$ ?
> f:=x^2+1: > eval(diff(f^101,x$101),x=2) mod 1031; 730d'où l'intérêt de se comprendre et de savoir se parler correctement.
S
@Guego : tu as bien calculé la composition de $f$ et non la puissance ?
De toutes les façons, le calcul repose sur une astuce, il suffit de la donner pour résoudre le problème.
S
Dans l'exemple ci-dessus, parce que $f$ peut également être définie (sur $\Z/101\Z$) par $f(x)=x^2+1+x^{101}-x$ et que la dérivée des polynômes $X^2+1$ et $X^2+1+X^{101}-X$ ne sont pas les mêmes.
Sinon je vous invite à vous lancer vous aussi en proposant vos énoncés.
Déterminer toutes les fonctions f de $[0,1]$ dans lui même, tel que pour tout $x$ dans $[0,1]$
$f(\frac{1}{1+x^2})=2\times f(x)$
Soit $f$ fonction de $\R^n$ dans lui même, continue tel que :
pour tout $x,y$ de $\R^n$ on suppose : $\frac{3}{2}||x-y||\leq ||f(x)-f(y)||$
Prouver que $f$ a un point fixe.
Déterminer toutes les fonctions f de $[0,1]$ dans $[0,1]$ tel que pour tout $x$ dans $[0,1]$ on a :
$\sin(f(1-x))=2 \times f(x)$
énoncé 9 :
On prend $f(1-x^2)+f(1-x)=3 \times f(x)$
Voudrais-tu corriger aussi l'orthographe de cette phrase de sorte qu'elle soit intelligible ?
Existe-t-il $f$ de $[0,1]$ dans lui même tel que :
$f(1-x^2)+f(1-x)+x=3*f(x)$ pour tout $x$ dans $[0,1]$ ?
Décrire une infinité (plus grande que $card(\R)$) de loi associative sur $\R$.
Existe-t-il $f$ de $[0,1]$ dans lui même, tel que :
$f(1-x^2)+f(1-x)+e^{x}=2 \times f(x)$ ?
Pour non isomorphe, je ne sais pas répondre, et je rappelle que je ne mets que des questions auxquelles je sais répondre en quelques lignes.
Exprimer en fonction de $n$ un entier, la somme : $ \sum \limits_{ i \in\mathbb{[}0,n\mathbb{]} } {81}^{2^i} - 3^{2^i} $,
Merci à jacquot
On a donc affaire à une somme téléscopique. (Chaque terme va en tuer un deux crans plus loin)
Sauf erreur il reste donc le terme en $n$ plus celui en $n-1$ moins celui en $1$ et en $0$.
Autrement dit la somme vaut : $3^{2^{n+2}}+3^{2^{n+1}} - 9 - 3.$
énoncé 14 :
Le nombre $\dfrac{1+\lfloor(45+\sqrt{2016})^{2n+1}\rfloor}{10\times 3^n}$ est-il toujours entier ?
On suppose $n \in \mathbb N$
Attends je revérifie.
Nous conseilles-tu l'usage de la calculette ou cela est-il inutile ?
Cela te va-t-il ?
Dans environ http://www.timeanddate.com/counters/fullscreen.html?mode=m&year=2016&month=1&day=14&p0=195
Amicalement.
cette expression "il me semble avoir la preuve que ..." renvoie-t-elle à un concept mathématique particulier ?
S
@GaBuZoMeu en effet.
Posons $q_1=45+\sqrt{2016}$ et $q_2=45-\sqrt{2016}$. On a $q_1+q_2=90$ et $q_1\times q_2=9$
Le nombre $u_n=q_1^n +q_2^n$ est toujours entier. Puisque $0<q_2<1$, on a $u_n=\lfloor(q_1^n)\rfloor +1$.
La suite $(u_n)_{n\geq 0}$ vérifie $u_{n+2}=90u_{n+1}-9u_{n}$, avec $u_0=2$ et $u_1=90$ et on démontre facilement
par récurrence que (i) $3^n|u_n$ et (ii) $10|u_{2n+1}$.
Amicalement
(six lignes avec le titre et le Amicalement)