Décompositions d'Erdös-Straus et nombre RSA
dans Arithmétique
Salut à tous
Soit n un nombre entier >= 2 et x,y, z des entiers naturels non nuls tels que:
4/n = 1/x + 1/y +1/z
Soient b et c des entiers naturels non nuls tels que:
x = b*n; y = [b*n/(4*b-1)] + c
et
z = ( b*n*([b*n/(4*b-1)] + c) ) / ( (4*b-1)*([b*n/(4*b-1)] + c) – b*n )
[ ] = fonction partie entière
Soit n un nombre RSA
n = p*q
Pour tout nombre RSA on peut trouver b et c tels que:
z/(b*y) = p ; avec p et q différents de 2
J'attend un contre exemple
Bien à tous
Soit n un nombre entier >= 2 et x,y, z des entiers naturels non nuls tels que:
4/n = 1/x + 1/y +1/z
Soient b et c des entiers naturels non nuls tels que:
x = b*n; y = [b*n/(4*b-1)] + c
et
z = ( b*n*([b*n/(4*b-1)] + c) ) / ( (4*b-1)*([b*n/(4*b-1)] + c) – b*n )
[ ] = fonction partie entière
Soit n un nombre RSA
n = p*q
Pour tout nombre RSA on peut trouver b et c tels que:
z/(b*y) = p ; avec p et q différents de 2
J'attend un contre exemple
Bien à tous
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Réponses
La France vient d'égaliser ! Cocorico !
e.v.
Pour n = 791
b = 2 c = 1 x = 1582 y = 227 z = 51302
p = 113 ; q = 7
Je demande à tous de parler THEORIE DES NOMBRES
4/n = 1/x + 1/y + 1/z
n = 3 b = 2 c = 1 x = 6 y = 1 z = 6
n = 5 b = 1 c = 1 x = 5 y = 2 z = 10
n = 6 b = 1 c = 1 x = 6 y = 3 z = 6
n = 7 b = 2 c = 1 x = 14 y = 3 z = 6
n = 8 b = 1 c = 1 x = 8 y = 3 z = 24
n = 9 b = 1 c = 1 x = 9 y = 4 z = 12
n = 10 b = 1 c = 1 x = 10 y = 4 z = 20
n = 11 b = 1 c = 1 x = 11 y = 4 z = 44
n = 12 b = 1 c = 1 x = 12 y = 5 z = 20
n = 13 b = 2 c = 1 x = 26 y = 4 z = 52
n = 14 b = 1 c = 1 x = 14 y = 5 z = 70
n = 15 b = 1 c = 1 x = 15 y = 6 z = 30
n = 16 b = 1 c = 1 x = 16 y = 6 z = 48
n = 17 b = 1 c = 1 x = 17 y = 6 z = 102
n = 18 b = 1 c = 1 x = 18 y = 7 z = 42
n = 19 b = 2 c = 1 x = 38 y = 6 z = 57
n = 20 b = 1 c = 1 x = 20 y = 7 z = 140
[Les 800 suivants dans le fichier joint. AD]
Et si c = 1 ...
pour tout n entier naturel supérieur ou égal à 5 et pour c = 1, on peut trouver b entier naturel tel que :
4/n = 1/x + 1/y + 1/z
Et ma caractérisation devient:
x = b*n; y = [b*n/(4*b-1)] + 1
et
z = ( b*n*([b*n/(4*b-1)] + 1) ) / ( (4*b-1)*([b*n/(4*b-1)] + 1) – b*n )
Et particulièrement pour les n carrés de nombres premiers on a b qui est particulier
n = 2521 b = 12 c = 1 x = 30252 y = 644 z = 1217643
n = 3361 b = 290 c = 1 x = 974690 y = 841 z = 28266010
Je reviendrai avec un programme qui décompose de "grands" nombres RSA en un temps record...
Est-ce le contre-exemple de cela que tu recherches ? http://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_égyptienne#Conjecture_d.27Erd.C5.91s-Straus_et_de_Sierpi.C5.84ski
Alain
Mais là je stipule que ce record est facilement battu. Mieux le lien étroit avec les nombres RSA
Soit n un nombre entier >= 2 et x,y, z des entiers naturels non nuls tels que:
4/n = 1/x + 1/y +1/z
Soient b et c des entiers naturels non nuls tels que:
x = b*n; y = [b*n/(4*b-1)] + c
et
z = ( b*n*([b*n/(4*b-1)] + c) ) / ( (4*b-1)*([b*n/(4*b-1)] + c) – b*n )
[ ] = fonction partie entière
Soit n un nombre RSA
n = p*q
Pour tout nombre RSA on peut trouver b et c tels que:
z/(b*y) = p ; avec p et q différents de 2
Intéressant, mais je ne comprends pas tout :
Comment trouves-tu $b$ ?
Par exemple pour n=4, j'ai bien l'égalité d'Erdös avec $x = 2$ et $y=z=4$
Ta formule pour $b$ ne fonctionne pas selon tes hypothèses.
Comment prouves-tu que $b$ et $c$ existent tels que tu les définis ?
Ensuite, ton "lien étroit" avec RSA n'a rien d'extraordinaire beaucoup des $p$ trouvés sont soit $1$ soit $n$
++,
Foufoux
4/n = 1/x +1/y +1/z
x = b*n
4/n = 1/(b*n) +1/y +1/z
4/n – 1/(b*n) = 1/y +1/z
(4*b – 1)/(b*n) = 1/y +1/z
1/y +1/z = (4*b – 1)/(b*n)
1/y +1/z = (4*b – 1)*([b*n/(4*b-1)] + c) / ( (b*n)*([b*n/(4*b-1)] + c) )
1/y+1/z = ((4*b-1)*([b*n/(4*b-1)]+c)–b*N+b*N) / ((b*n)*([b*n/(4*b-1)]+c))
1/y+1/z =1/([b*n/(4*b-1)]+c) + ((4*b-1)*([b*n/(4*b-1)]+c)–b*N) / ((b*n)*([b*n/(4*b-1)]+c))
Posons
y = ([b*n/(4*b-1)] + c)
z = ( b*n*([b*n/(4*b-1)] + c) ) / ( (4*b-1)*([b*n/(4*b-1)] + c) – b*n )
Alors on retrouve:
4/n = 1/x +1/y +1/z
Remarque:
il y a deux niveaux avec ma caractérisation
Premier niveau: j'ai raisonné avec n >= 2
Second niveau: c'est là où j'ai parlé de nombres RSA (je n'ai pas détaillé ici l'algo...)
n = 6 q = 3 b = 1 c = 1 x = 6 y = 3 z = 6
n = 9 q = 3 b = 1 c = 1 x = 9 y = 4 z = 12
n = 10 q = 2 b = 1 c = 1 x = 10 y = 4 z = 20
n = 14 q = 7 b = 2 c = 1 x = 28 y = 5 z = 20
n = 15 q = 3 b = 1 c = 1 x = 15 y = 6 z = 30
n = 21 q = 3 b = 1 c = 1 x = 21 y = 8 z = 56
n = 22 q = 2 b = 1 c = 1 x = 22 y = 8 z = 88
n = 25 q = 5 b = 4 c = 1 x = 100 y = 7 z = 140
n = 26 q = 13 b = 10 c = 1 x = 260 y = 7 z = 140
n = 33 q = 3 b = 1 c = 1 x = 33 y = 12 z = 132
n = 34 q = 2 b = 1 c = 1 x = 34 y = 12 z = 204
n = 35 q = 7 b = 2 c = 1 x = 70 y = 11 z = 110
n = 38 q = 19 b = 5 c = 1 x = 190 y = 11 z = 110
n = 39 q = 3 b = 1 c = 1 x = 39 y = 14 z = 182
n = 46 q = 2 b = 1 c = 1 x = 46 y = 16 z = 368
n = 49 q = 7 b = 2 c = 1 x = 98 y = 15 z = 210
n = 51 q = 3 b = 1 c = 1 x = 51 y = 18 z = 306
n = 55 q = 11 b = 3 c = 1 x = 165 y = 16 z = 240
n = 57 q = 3 b = 1 c = 1 x = 57 y = 20 z = 380
n = 58 q = 2 b = 1 c = 1 x = 58 y = 20 z = 580
n = 62 q = 2 b = 2 c = 1 x = 124 y = 18 z = 1116
n = 65 q = 13 b = 10 c = 1 x = 650 y = 17 z = 850
n = 69 q = 3 b = 1 c = 1 x = 69 y = 24 z = 552
n = 74 q = 37 b = 28 c = 1 x = 2072 y = 19 z = 1064
n = 77 q = 7 b = 2 c = 1 x = 154 y = 23 z = 506
n = 85 q = 5 b = 2 c = 1 x = 170 y = 25 z = 850
n = 86 q = 43 b = 11 c = 1 x = 946 y = 23 z = 506
n = 91 q = 7 b = 2 c = 1 x = 182 y = 27 z = 702
n = 93 q = 3 b = 1 c = 1 x = 93 y = 32 z = 992
n = 95 q = 19 b = 5 c = 1 x = 475 y = 26 z = 650
n = 106 q = 2 b = 1 c = 1 x = 106 y = 36 z = 1908
n = 111 q = 3 b = 1 c = 1 x = 111 y = 38 z = 1406
n = 115 q = 5 b = 4 c = 1 x = 460 y = 31 z = 2852
n = 118 q = 2 b = 1 c = 1 x = 118 y = 40 z = 2360
n = 119 q = 7 b = 2 c = 1 x = 238 y = 35 z = 1190
n = 121 q = 11 b = 3 c = 1 x = 363 y = 34 z = 1122
n = 122 q = 61 b = 46 c = 1 x = 5612 y = 31 z = 2852
n = 123 q = 3 b = 1 c = 1 x = 123 y = 42 z = 1722
n = 129 q = 3 b = 1 c = 1 x = 129 y = 44 z = 1892
n = 133 q = 7 b = 2 c = 1 x = 266 y = 39 z = 1482
n = 134 q = 67 b = 14 c = 1 x = 1876 y = 35 z = 1340
Pour les nombres RSA pairs on voit que b devient plus grand. Raison pour laquelle je les ai exclus de l'analyse. De toute façon un nombre RSA pair ne sera jamais utilisé en crypto.
n = 26 q = 13 b = 10 c = 1 x = 260 y = 7 z = 140
n = 38 q = 19 b = 5 c = 1 x = 190 y = 11 z = 110
n = 74 q = 37 b = 28 c = 1 x = 2072 y = 19 z = 1064
n = 122 q = 61 b = 46 c = 1 x = 5612 y = 31 z = 2852
n = 134 q = 67 b = 14 c = 1 x = 1876 y = 35 z = 1340
n = 815 q = 163 p = 5 b = 41 c = 1 x = 33415 y = 206 z = 42230
n = 965 q = 193 p = 5 b = 28 c = 2 x = 27020 y = 245 z = 37828
n = 1055 q = 5 p = 211 b = 11 c = 1 x = 11605 y = 270 z = 626670
n = 1385 q = 277 p = 5 b = 40 c = 2 x = 55400 y = 350 z = 77560
n = 1535 q = 307 p = 5 b = 26 c = 3 x = 39910 y = 390 z = 59865
n = 1655 q = 5 p = 331 b = 17 c = 1 x = 28135 y = 420 z = 2363340
Si tu avais trouvé une méthode révolutionnaire pour trouver la factorisation de ce que tu appelles un "nombre RSA" le plus convaincant ce serait comme l'a déjà indiqué Remarque de nous factoriser les nombres non factorisés qui subsistent du challenge RSA maintenant clos.
Tu veux remplacer la recherche des facteurs par la recherche d'autres nombres qui permettraient de trouver les facteurs en question mais tu ne donnes aucunes indications que cette recherche n'est pas, au moins, aussi complexe que de factoriser un "nombre RSA".
Vous avez parfaitement raison
Justement "The game is over" pour quelques nombres de cette liste ...
Avec c = 1 et b appartenant à l'ensemble {4;3;2;1} on factorise facilement un très grand nombre de nombres RSA
Au risque de me répéter, si tu parviens à factoriser un des nombres de l'ex-challenge RSA qui ne l'ont pas encore été, tu prouveras l'intérêt de tes considérations autrement tu te fais seulement plaisir.