Fonction continue et intervalle semi-ouvert

Bonjour
Voici 3 questions qui m'ont conduit à m'en poser une quatrième.

1. Existe-t-il une fonction continue qui soit surjective de $]0;1[$ sur $\R$ ?
2. Existe-t-il une fonction continue qui soit surjective de $[0;1]$ sur $\R$ ?
3. Existe-t-il une fonction continue qui soit surjective de $[0;1[$ sur $\R$ ?

Les réponses :
1. Oui, on peut par exemple construire une fonction à base de arctan.
2. Non, car l'image d'un fermé par une fonction continue est un fermé : or $\R$ est un ouvert
3. Oui... une fonction du type $\frac{1}{1-x}*\sin(\frac{1}{1-x})$ remplit le contrat.

Ma question vient du fait que je pensais qu'il n'existe pas de fonction répondant à la question 3. (Je cherchais une fonction bijective).

4. Existe-t-il une fonction continue qui soit bijective de $[0;1[$ sur $\R$ ?

Ici, j'ai bien l'intuition que la réponse est non. Mais j'ai du mal à formaliser une preuve.

Voici ma réponse :
Raisonnons par l'absurde
Soit $f$ une telle fonction.
$f$ est monotone car : $f$ est bijective et une fonction continue injective est monotone.
Supposons que $f$ soit croissante (resp. décroissante)
Pour tout $a \in ]0;1[$
$[0;1[ = [0;a] \cup ]a;1[$
Alors il existe $b \in \R$, tel que
$f : [0;a] \rightarrow ]-\infty;b]$
or f étant bijective l'image de $[0;a]$ par $f$ doit être un fermé or $]-\infty;b]$ ne l'est pas.
Donc une telle fonction n'existe pas !
CQFD.

a. La preuve vous paraît-elle correcte ?
b. Y avait-il un argument plus simple au niveau L3 ?

Merci pour retour.
++,
Foufoux