"Il est facile de 2"

528: prendre $f(x)=\log (x)$ et $A=\{2^n|n \in \mathbb N \}$.

Qu'à cela ne tienne, on prend $f(x)=\frac{1}{\log(x)}$ et le même $A$ que dans mon post ci-dessus.

528 bis: oui si nous prenons $f(x)= \frac{1}{\log(1+x)}$, de sorte que $f^{-1}(y)= \exp (\frac{1}{y})-1$; et $A$ l'ensemble des nombres premiers, $A=\{p_n|n \in \N\}$ avec $p_n \sim n \log (n)$ (je me sers du théorème des nombres premiers ce qui n'est pas vraiment trivial certes). Après on calcule ;-)

527:
Soit $u_n: z \in \C \backslash \{-k, k \in N\} \mapsto \frac{1}{(n+z)^2}$. Soit $A >0$. Pour tout $z \in \C$, $Re(z) \geq A \implies |u_n(z)| \leq \frac{1}{(n+A)^2}$ ce qui prouve que la série de fonctions holomorphes converge normalement sur tout ouvert de la forme $V_A =\{z \in \C| Re(z) > A\}$ avec $A>0$, vers une limite qui du coup est aussi holomorphe. Soit $u$ la somme de cette série, définie sur $V_0$. L'ouvert $V_0$ étant simplement connexe, il existe dessus une primitive $f$ de $u$, holomorphe (on va supposer $f(1)=0$).
Comme $f'(z+1)-f'(z)= u(z+1)-u(z)=\frac{-1}{z^2}$, il existe $c \in \C$ tel que $f(z+1)-f(z)=c+\frac{1}{z}$ pour tout $z \in V_0$. De plus comme pour tout $z$, $u_n(\overline{z})= \overline{u_n(z)} $, $u(\overline{z})= \overline{u(z)}$ et donc $z \mapsto \overline{f(\overline{z})}$ est aaussi une primitive de $f$ s'annulant en $1$, donc cette dernière fonction est égale à $f$ du coup $f(\R_+^*) \subseteq f(\R)$. En particulier $c \in \R$.
L'application $g:x \in \R_+^* \mapsto f(x)-cx \in \R$ vérifie alors:
(*) $g$ est analytique (le but de tous ce laïus sur l'holomorphie) et réelle.
(**) $\forall x>0, g(x+1)-g(x)=\frac{1}{x}$.

Vérifions que (***): $g$ est strictement croissante. On a $g'(x)= -c+\sum _{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(x+n)^2}$, donc $g'$ est décroissante et tend vers $-c$ en $ +\infty$. On a alors $c=0$ sans quoi on aurait $g(x) \sim -cx$ en $+\infty $ et notamment $g(n) \sim -cn$ alors que $g(n)= g(1)+ \sum_{k=1}^n \frac {1}{k} \sim \log(n) $ quand $n \to +\infty$.
Comme donc $c=0$ on a $g'>0$ et $g$ strictement croissante.

Noter que si $\lambda \in \R$ alors $x \mapsto \lambda+g(x)$ vérifie encore (*), (**) et (***) et que d'autre part le cardinal de l'ensemble des fonctions analytiques est majoré par celui de $\R$. D'où le cardinal de l'ensemble des fonctions convenables.

Enfin: (527.2)
Soit $x\geq 1$, il existe $y \in [0,1[$ et $n \in \N$ tel que $n+y=x$ et on a :$$|g(x)- \log(x)| \leq \big |g(1+y) \big|+ \big|-\log(n+y)+ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{(k+y)} \big|$$. La majoration du terme de droite en log, se fait via un encadrement et des inégrales.

Merci pour cette (courte) réponse :-D

R542 : Le cas où $E$ est un singleton est évident. On suppose donc que $E$ a au moins deux éléments.

On suppose le résultat faux : il existe donc un $x_0\in E$ et un $ z_0\in F$ tels que $\forall f\in F^E$, si $f(x_0)=z_0$ alors $x_0\notin \phi(f)$.

On choisit $x_1\in E$, distinct de $x_0$, et on applique l'hypothèse de la question à $x:=x_1$ et $y:=x_0$, ce qui donne un $a\in F$ tel que pour tout $f$, si $f(x_1)=a$ alors $x_0\in\phi(f)$.

Or, comme $x_0$ et $x_1$ sont distincts, il existe $f\in F^E$ telle que $f(x_1)=a$ et $f(x_0)=z_0$, ce qui donne respectivement $x_0\in \phi(f)$ et $x_0\notin \phi(f)$, une contradiction.

On a donc bien $\forall x\in E\forall y\in F\exists f\in F^E: [x\in \phi(f)$ et $f(x)=y]$.

Un sympa vu sur un autre forum:
Exercice 544
Peut on construire des parties $X,Y$ de $\mathbb R$ non homéomorphes, mais telles qu'il existe des applications $f: X \to Y$ et $g: Y \to X$ continues et surjectives?

545:
$A:= \R \backslash \Z$ et $B:=\R \backslash (\N^* \cup \{\frac{1}{n}| n \in \N^*\})$ marchent sauf erreur.

537. Non. Considérer $A=\Z[X]$ et $M=\begin{pmatrix}2 & X \cr 0&0 \end{pmatrix}.$

Alors, $J=(2,X)$ n'est pas principal.

On peut généraliser facilement. Soit $A$ un anneau, possédant un idéal $I$ non principal engendré par $p$ éléments, $I=(a_1,\ldots,a_p)$. Soit $M$ une matrice dont la première ligne est $(a_1 \cdots a_p)$ et dont les autres lignes sont nulles.

Alors $J(M)=I$, et est donc non principal.