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Résultats surprenants en mathématiques

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Réponses

  • Super idée ce fil ! ma (maigre) contribution :

    - Les 104 premiers polynômes cyclotomiques ont des coefficients égaux à 1 ou -1 mais pas le 105ème.

    - On peut tirer au hasard un nombre réel uniformément dans [0;1], mais on ne peut pas faire ça avec des rationnels (je sais pas pourquoi celui-ci me dérange, sûrement parce que je ne connais absolument rien aux probas).

    - Le plus surprenant pour moi c'est qu'on démontre le théorème des nombres premiers et de la progression arithmétique par l'analyse complexe. Je crois qu'il existe des démos sans analyse complexe mais elles sont apparues bien plus tard et sont plus difficiles je crois.
  • Une référence : la loi forte des petits nombres.
    Judoboy a écrit:
    On peut tirer au hasard un nombre réel uniformément dans [0;1], mais on ne peut pas faire ça avec des rationnels.
    Effectivement, vu comme ça, l'énoncé a un petit goût paradoxal, n'en déplaise à Christophe.

    e.v.

    PS : Je n'ai pas trouvé la suite.
    À ta naissance, tu pleurais tout le temps et tout le monde souriait autour de toi. Fais en sorte qu'à ta mort, ce soit l'inverse. (Proverbe arabe)
  • Excellente cettte fiche ! Merci ev.
  • En traçant l'ensemble des points $(x,y)$ du plan tels que ${1\over 2} < \left\lfloor \mathrm{mod}\left(\left\lfloor {y \over 17} \right\rfloor 2^{-17 \lfloor x \rfloor - \mathrm{mod}(\lfloor y\rfloor, 17)},2\right)\right\rfloor$ , on obtient ceci :
    tupper-out.png

    Ceci figure dans une grande liste d'identités plus ou moins surprenantes : http://math.stackexchange.com/questions/505367/surprising-identities-equations

    P.S. (edit) il semble qu'il y ait une légère "arnaque" dans le sens de parcours des axes, voir la page wikipedia sur cette formule autoréférente du Tupper pour plus de détails
  • Trop fort !
  • J'arrive pas à le croire ton truc Siméon...
  • ça a été publié un 1er avril ?
  • Voir par ici pour plus de détails.

    C'est vraiment redoutable.

    e.v.
    À ta naissance, tu pleurais tout le temps et tout le monde souriait autour de toi. Fais en sorte qu'à ta mort, ce soit l'inverse. (Proverbe arabe)
  • Magique !

    D'ailleurs il y a bien plus d'étonnement face à la magie que face aux maths.
  • Bonjour,


    ce qui m'étonne un peu c'est que la fonction : floor(2*n/log(2)) - ceiling(2/(2^(1/n)-1)) ne soit pas pas identiquement nulle.

    bien cordialement

    kolotoko
  • Bonjour,

    C'est celui-là : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1382172,1383054#msg-1383054

    Je vous mets en blanc quelques choses qui le rendront beaucoup moins surprenant (ou pas ?).

    Lemme : Si $f$ fonction continue sur $[0,a]$ et $P \in C(\R^2)$ tel que $\exists c \in \R, \forall a,b\in \R^2, P(a,b)+P(b,a)=c$ alors $$\int_0^a P(f(x),f(a-x))=\frac{c\times a}{2}$$

    Je vais pas la jouer "génie" (que je ne suis pas et que je ne cherche pas à être), en effet je connais le résultat en lien depuis qu'il a été publié par Yves, et je n'ai découvert cette explication qu'à la suite de cette conversation avec Philippe Malot.

    Bilan 1 : Ce sont les applications inattendues d'un résultat général simple qui sont surprenantes.
    Bilan 2 : L'échange avec d'autres personnes peut amener des idées que l'on aurait pas eues sinon.


    Cordialement.
  • Je mets ici la contribution de Joel, pour qu'elle ne soit pas perdue.

    (ayant demandé la fermeture de ce fil : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1447802, faisant doublon avec celui là)
    joel_5632 a écrit:
    Les fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ Q-linéaires mais pas R-linéaires ont un graphe dense dans $R^2$
  • Intéressant ce fil, le fait que La somme de deux convexes de $\R^2$ de frontière $C^{\infty}$ a une frontière de classe $C^6$ est assez hallucinant je trouve. Quelqu'un aurait-il un lien de la preuve ?
  • On peut définir une suite croissante d'entiers qui dépasse n'importe quelle suite définie par une formule ou un algorithme (à partir d'un certain rang).
  • Le plus petit facteur premier de $2017!^{2017!^{2017!}}-1$ est $2027$
  • Il existe des fonctions à la fois parfaitement définie et parfaitement indéfinie.

    On se place dans ZFC, on prend $I$ une affirmation indécidable de cette théorie.

    on prend
    $$f \text{ : } \{1\} \rightarrow \{1,2\} \text{ tel que } f(1)=1 \text{ si } I, f(1)=2 \text{ si } \text{non}(I) $$
    Merci à Fin de Partie.
  • @Cidrolin : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?9,881911,1448074#msg-1448074

    Quel résultat explique-t-il cela ?

    J'avoue que la brisure de symétrie m'a interpellé.
  • Bonjour !

    Fil très intéressant en effet.

    Lu sur ce forum : tout théorème est un cas particulier d'évidence. Au fait, à qui est dû ce résultat ?

    Belle journée.
  • @pourexemple

    Dans le Monthly de ce mois d'avril, Trevor D. Wooley démontre ce surprenant (et je pense inutilisable) résultat :62584
  • Cyrano, regarde du côté de Kiselman, Smoothness of vector sums of plane convex sets
  • À propos du résultat annoncé par Héhéhè et Cyrano au sujet de la frontière de la somme de deux convexes $C^\infty$ du plan, comment se généralise-il en dimension supérieure ?
  • Salut,

    @Cidrolin : merci (et désolé pour le remerciement tardif de ma part).

    Cordialement.
  • Je pense qu'il est temps de remonter cette discussion vraiment intéressante. Voici une contribution que j'ai découverte l'autre soir :

    Les groupes $\mathbf{SL}_n(\mathbb F_q[T])$ sont finiment engendrés pour $n \geq 3$, mais c'est faux pour $n=2$.
  • Le dénombrement des structures différentiables sur les sphères de R^n : incompréhensible pour moi.
  • Je n'arrive plus à mettre le doigt dessus, mais je me souviens qu'il existe une formule (relativement simple) fournissant une valeur très proche de pi (de mémoire, les 4 milliards premières décimales sont les mêmes). Si mes souvenirs sont bons, Jean-Paul Delahaye en parle dans son livre consacré à pi.
  • Un petit sarcasme de l’ascension :
    Moi, j’ai une formule, que voici : $$\pi$$.

    On rigole ;-)
  • Désolé Dom mais on ne rigole pas. Dans une formule, il doit toujours y avoir au moins un prédicat. Ce que tu proposes est un terme.
  • L'existence d'une bijection entre \[\mathbb{R}\quad\text{et}\quad \wp (\mathbb{N})

    \] FLEURISTIN
  • Hum...je ne savais pas que « formule » possédait une définition formelle.
    Cela dit on peut toujours créer des formules qui se ramènent à quelque chose de trivial.
  • Pour faire plaisir à Gaussien j'ai une formule magnifique:

    $\dfrac{1}{1-\pi^2}+\dfrac{\pi}{1+\pi}-\dfrac{\pi}{1-\pi^2}=1$

    On n'est pas capable de connaître le $10^{100000}$ ème chiffre après la virgule de $\pi$ mais on sait tout de même que ma formule est vraie. B-)
  • Le nombre $\dfrac {4711+3\sqrt7}{1736}$ permet de calculer les $10$ premières décimales de $e$.
  • Surprenant, pas surprenant ? Le nombre $p$ suivant est premier.
    [color=#000000]> p ;
    8936582237915716659950962253358945635793453256935559
    [/color]
    
    Ce n'est pas cela qui est surprenant. Un première surprise (?) :
    $$
    \gcd\big(n^{17} + 9, (n+1)^{17} + 9\big) = 1 \text { ou } p \qquad \forall n \in \N
    $$
    Plus : pour tout $n < N = 8424432925592889329288197322308900672459420460792433$
    $$
    \gcd\big(n^{17} + 9, (n+1)^{17} + 9\big) = 1
    $$
    mais pas pour $n = N$, pour lequel le pgcd est $p$.

    Surprenant ou pas, en fait ? Et si on expliquait comment ces données ont été construites, qu'adviendrait-il du caractère surprenant ?
  • Surprenant mais très convenu : $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^2}=\dfrac{\pi ^2}{6}$.

    La surprise, en ce qui me concerne, est le lien entre « les entiers et $\pi $ » même si ça ne veut rien dire.
  • @Dom : Il y a une interprétation sympathique de cette somme, discutée ici.

    Un autre résultat surprenant : le théorème de rigidité de Mostow. Celui-ci nous dit que, si $M_1$ et $M_2$ sont deux variétés hyperboliques (= à courbure sectionnelle constante à -1), alors toute équivalence d'homotopie $M_1 \to M_2$ est induite par une isométrie $M_1 \to M_2$. La surprise est qu'une équivalence très "molle" (homotopique) implique une équivalence très "rigide" (géométrique).
  • Merci à toi, Poirot !
  • On trouve aussi une autre intervention de ce $\dfrac{\pi ^2}{6}$.
    C’est, à l’inverse près, la probabilité que deux entiers soient premiers entre eux.

    Probabilité dans le sens suivant : soit $n$ un entier, on note $q_n$ le nombre de couples d’entiers inférieurs à $n$, premiers entre eux.
    La probabilité est la limite en l’infini de $\dfrac{q_n}{n^2}$.

    Source : Monnier MP, édition 5, problème 4.3.
  • $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2-\frac14}=2$ est aussi surprenant.
  • @Cidrolin : je trouve surtout ça surprenant quand on le compare à la valeur de $\zeta(2)$.
  • Apparement, ce résultat sur la "probabilité" que deux nombres entiers soient premiers entre eux s'appelle le théorème de Cesàro.
  • Pas très compliqué :

    1 / 9801 = 0 , 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ..... 95 96 97 99 00 01 02 03 ….
  • Dans la même veine, 81 * 12345679 = 999999999
    Où est passé le "8" ?
  • Voici une des merveilles de l'analyse :
    On se donne un borélien $ A $ de $ \mathbb{R} $ tel que : $ \lambda ( A ) > 0 $.
    Alors $ E = A - A = \{ \ a-b \ | \ a,b \in \mathbb{R} \ \} $ est un voisinage de $ 0 $.
    Ce qui est surprenant, c'est que, en vidant par exemple l'intervalle $ [ 0 , 1 ] $ de tous ces rationnels, on obtient un borélien $ A $ de $ \mathbb{R} $ de mesure de Lebesgue $ 1 $. Il est d'intérieur vide ( c'est à dire, pas d'ouverts dans $ A $ ), et curieusement, il existe $ \epsilon > 0 $ tel que : $ ] - \epsilon ,\epsilon [ \subset E \in \mathcal{V} (0) $. C'est surprenant. :-)
    J'ai trouvé ça ici : http://perso.numericable.fr/azizelkacimi/BeauteConferenceCasa.pdf
  • Aire moyenne des triangles ayant leurs sommets sur le cercle trigonométrique = 3/(2 pi)
    Voir
  • N'est-il pas surprenant qu'il y ait autant de résultats mathématiques qui nous surprennent ?
  • Quant à moi, je n'ai pas compris la surprise de $(-1)^2=1$.
  • En Grèce antique, on se surprenait du fait qu’il existe des irrationnels. La rigidité holomorphe m’a beaucoup surpris aussi.
  • @ Dom

    On dirait un bonhomme qui fait un clin d'oeil.
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