Multiples de 3 à quatre chiffres

arniisto

[Titre initial : exercice
Efforçons-nous de choisir un titre plus explicite. j]

bonsoir ,
j'ai un petit exo que je ne parviens pas à trouver un raisonnement


soit E={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
quel est le nombre des nombres à 4 chiffres qu'on peut crééer à partir de E avec et sans repetition à condition qu'il soit divisible par 3

jacquot

Bonsoir
Avec répétition ce n'est pas bien difficile:
tu peux choisir les trois pemiers chiffres au pif, mais pour le dernier chiffre, le choix sera plus restreint pour valider le critère de divisibilité par 3.

Cela t'aide-t-il?
Pour le cas des tirages sans remise ou sans répétions, le dénombrement me semble plus compliqué...

arniisto

je vais essayer merciii

jacquot

Bonjour,

Si on s'interdit la répétition de chiffres, le dénombrement me semble bien compliqué:
Je procèderais comme suit:
je ne m'intéresse d'abord qu'aux restes de la division par 3
si dans une urne, on a trois boules portant le chiffre 0, trois boules portant le chiffre 1 et trois boules portant le chiffre 2, combien y a-t-il de tirages qui donnent un multiple de trois?
Aux permutations près, les solutions sont 0012 ; 0111 ; 0222 ; 1122.
Maintenant, il faut voir de combien de façons on peut tirer chacune de ces solutions et de combien, de façons on peut permuter leurs chiffres.

Quelqu'un a-t-il une démarche plus simple ?

jandri

Bonjour jacquot,

C'est cette méthode qui m'est venue en premier en lisant la question mais il y a beaucoup plus simple.
Si N est le nombre d'entier à 4 chiffres distincts (entre 1 et 9) la réponse est $\dfrac N3$.
Démonstration: la bijection qui remplace chaque chiffre par son successeur (et 9 par 1) envoie $A_0$ sur $A_1$, $A_1$ sur $A_2$ et $A_2$ sur $A_0$ ($A_r$ désignant l'ensemble des nombres congrus à $r$ modulo 3).

jacquot

Merci jandri,

J'avais effectivement remarqué que le nombre total de mes solutions était égal à $A_9^4 /3$,mais sans arriver à l'expliquer proprement...
Bravo.