translatons

kolotoko0

Bonjour,

considérons un carré de n^2 cases.
Considérons le tore obtenu en "collant" les côtés opposés.

Choisissons n cases que l'on note toutes 1.
Translatons ces n cases pour obtenir n autres cases que l'on note toutes 2 .
Translatons ces n cases pour obtenir n nouvelles cases que l'on note toutes 3.
et ainsi de suite , jusqu'à obtenir n cases notées toutes n.

Bien entendu , en fin de processus, le carré de n^2 cases doit être rempli de n cases1, de n cases 2, de n cases 3 ... , de n cases n.

Question : de combien de manières peut-on numéroter ainsi les cases du carré ?

On aura peut-être intérêt à commencer par n petit : 2,3,4,..

bien cordialement

kolotoko

marco

Bonsoir,

Le vecteur de translation varie-t-il à chaque numérotation ?
Le vecteur de translation est-il le même entre les $n$ cases $1$ et les $n$ cases $2$, et entre les $n$ cases $2$ et les $n$ cases $3$, etc ... ?

kolotoko0

Bonsoir,

le vecteur de translation peut varier, le but final étant de pouvoir remplir le carré avec n motifs translatés l'un de l'autre.

bien cordialement

kolotoko

kolotoko0

Bonjour,

on doit pouvoir les mettre où on veut les n premiers chiffres 1.

et ensuite il faut se débrouiller pour trouver les translations qui conviennent.

non ? me trompe-je ?

bien cordialement

kolotoko

marco

Si $n=3$, et que les cases numérotées $1$ sont les cases $(1,1), (1,2)$ et $(2,1)$, il me semble que on ne peut pas remplir le carré avec des translatés.

kolotoko0

Bonjour,

si .
Cela donne (x orienté vers la droite et y vers le bas) :
1,1,3
1,2,2
3,2,3

avec le même vecteur de translation (1,1) pour aller de 1 à 2 et de 2 à 3 .

Faut pas oublier qu'on se déplace sur un tore.

bien cordialement

kolotoko

marco

Ah, oui, pardon.

marco

Pour $n=6$, et les cases $(2,1),(2,2),(1,3),(2,3),(3,3),(2,4)$, il me semble que c'est impossible.

marco

Autre façon de voir que ce n'est pas possible, on ne peut pas paver le plan avec des ronds de rayons semblables. Donc, si lorsque $n$ tend vers l'infini, on approche un rond par une forme constituée de petits carrés, cette forme ne pourra pas paver le plan.

kolotoko0

Bonjour,

oui, cela me semble exact.

Le dénombrement demandé doit être possible pour n = 2,3 ou 4.

Au-delà , cela devient pratiquement impossible à évaluer sans l'aide de l'informatique.

bien cordialement

kolotoko

marco

Par ordinateur, pour $n=2$, je trouve que le nombre de numérotation est $3 \times 2!$.
Pour $n=3$, $31 \times 3!$
Pour $n=4$, $623 \times 4!$
Pour $n=5$, $3841 \times 5!$

marco

Il doit y avoir une erreur car je trouve $28 \times 3!$ pour $n=3$, sans ordinateur.
Après correction, c'est $28 \times 3!$ pour $n=3$.
$527 \times 4!$ pour $n=4$