Fonction convexe et concave

American Post

Je voudrais connaître l'utilité de définir si une fonction est convexe ou concave.

Je n'en vois pour le moment pas l'interêt!

Merci de m'éclairer.

llb

Une application importante: les inégalités de convexité.
Grace à elles, on peut démontrer par exemple les inégalités de Holder et de Minkowsky (qui sont très importantes en analyse fonctionnelle, car elle serve à vérifier des inegalités triangulaires pour prouver que des applications sont bien des normes).
Plus annexdotique (que qq crie s'il ne trouve pas que c'est le cas), on peut aussi montrer l'inégalité arithmético-géométrique.

American Post

Ah merci Ilb! Je suis en sup, tu comprendras que je ne connaisse pas ce dont tu parles! Mais maintenant je sais que ça a une utilité! Merci de cette réponses si rapide!

Richard André-Jeannin1

Faites un dessin. Il y a par exemple deux sortes de fonctions croissantes: celles qui croissent "de plus en plus vite" (genre exponentielle) et celles qui croissent "de plus en plus lentement" (genre logarithme). Même remarque pour les fonctions décroissantes. La notion de convexité-concavité permet de distinguer ces deux types.

Incognito0

Pour établir des inégalités en utilisant le fait que la courbe représentative d'une fonction convexe est au-dessus de toutes ses tangentes et en-dessous de toutes ses cordes.

Par exemple, $\forall x\in ]-1;+\infty[$, $ln(1+x)\geq -x$ (concavité de ln ie convexité de -ln).

Voilà un exemple parmi d'autres .

Incognito0

Pour établir des inégalités en utilisant le fait que la courbe représentative d'une fonction convexe est au-dessus de toutes ses tangentes et en-dessous de toutes ses cordes.

Par exemple, $\forall x\in ]-1;+\infty[$, $ln(1+x)\geq -x$ (concavité de ln ie convexité de -ln).

Voilà un exemple parmi d'autres .

American Post

En latex (pour moi mieux voir!):

$\forall x\in ]-1;+\infty[$, $ln(1+x)\geq -x$

[ De American Post ]

fleur0

en economie l'etude de la convexité est importante pour savoir si le consommateur est rationnel..... et oui, les maths ne servent pas qu'aux maths....

American Post

Je vous remercie tous!

Incognito0

Ya un moins qui s'est oublié ^^, $-ln(1+x)\geq-x$.

Richard André-Jeannin1

Je dirais que ln(1+x)>x, plutôt que ln(1+x)>-x (qui est une relation fausse pour x entre -1 et 0, et qui est triviale pour x >0).

Richard André-Jeannin1

Naturellement, il faut remplacer > par < dans les relations précédentes

Incognito0

Voila c plutôt $-ln(1+x)\geq-x$ (ie $ln(1+x)\leq x$).
J'avais oublié un &quotmoins" dans ma première formule et j'ai laissé avec les moins de chaque coté pour &quotmontrer" que j'utilisais la convexité de -ln.

Richard André-Jeannin1

Dans ce cas particulier, le plus simple est d'étudier la fonction y=x-ln(1+x), plutôt que d'utiliser des résultats généraux sur la convexité.

Incognito0

Oui, je te le concède.
Mais je voulais illustrer par un exemple simple, et la première fonction concave qui m'est venue à l'esprit est ln .

Belenos

L'analyse convexe qui sert entre autres dans la résolution de problèmes d'optimisation est d'un importance primordiale !

Cédric

American post, je pige pas, je suis en sup aussi et les inégalités de convexités ont constitué une part importante du cours d'analyse, enfin ça métonnes que vous n'ayez pas vu ça car elle sont plutôt utiles dans certains exercices (par exemple quand on doit utiliser Jensen...).

Tu es en mpsi ou en pcsi ?

riri

et puis pour encadrer des fonctions trigo sur un p'tit intervalle c'est vraiment très pratique.

American Post

Je suis en... TSI, c'est un niveau bien en dessous de celui de mpsi ou pcsi. Par exemple, j'ai à mon programme des cours enseignés normalement en S, un peu approfondi tout de même. En gros je vois le grand 1 de chacun de tes cours! Voilà, donc je savais comment déterminer la convexité d'une fonction mais rien de plus qu'en calculant sa dérivée seconde et les seules applications fut: la fonction est convexe (ou concave selon le cas)!

Cédric

Ah oui j'avais entendu dire que des prépa TSI existaient... C'est bien d'ailleurs d'ouvrir un peu les prépas à ceux qui ont pas fait un bac S et cie !

Sinon c'est vrai que ça sert parfois pour majorer ou minorer des expressions, ce qui s'avère souvent utile (par exemple pour étudier une limite ou la continuité de fonctions...)

@+ Cédric

un anonyme

Une petite remarque qui n'est pas souvent mentionnée dans les cours sur les fonctions convexes mais qu'il est quand même utile de savoir ( je le dis même si c'est évident car il semblerait que ce ne soit pas explicitement dans les programmes... ).
Si f est convexe sur I alors f est continue sur l'intérieur de I et dérivable à droite et a gauche sur l'intérieur de I.

nicolas48

Ca sert aussi en algorithmique quand on veut comparer les complexités de deux algorithmes différents
La concavité du log peut ainsi montrer que un tirage aléatoire du pivot dans le tri rapide empire le temps de calcul ...

khadija babile

bsr
est ce que une fonction convexe sur un intervalle)a;b( est necessairemant continue sur cet intervalle

Toto.le.zero

Suffit de lire deux posts plus haut:

Si f est convexe sur I alors f est continue sur l'intérieur de I et dérivable à droite et a gauche sur l'intérieur de I.