Mise en forme Factorielle

Long Florian

Bonjour, voilà j'ai un peu de mal encore avec la mise en forme factorielle et j'aimerais savoir si vous pouviez un peu m'aider, ma question est la suivante :

Après un calcul pour chercher les solutions d'une équation différentielle en série entière, je trouve une relation de récurrence avec les a_k et a_k-2

Je trouve donc a_k= ( -(a_k-2) ) / k(2n+k) ) avec a₁=0 et a₀=qcq avec n appartenant à N et k supérieur ou égale à 2

Je doit mettre les a_k sous forme factorielle, après une petite récurrence on trouve rapidement

a_2k+1=0 mais pour les a_2k je ne trouve pas la solution. J'ai trouvé pour le moment a_2k= ((-1)^k.a₀) / (2^(2k)*??), il me manque les factorielles, dépendantes de k et de n...

J'ai bien entendu calculé a₂, a₄, a₆ pour essayer d'établir après une récurrence l'expression des a_2k, mais je m'arrache les cheveux depuis un bout de temps maintenant sur cette expression...

Cordialement,

Magnolia

Bonjour

Je suppose que $n$ est fixé ? Comment a-t-il pu disparaitre du résultat que tu supposes ?

Long Florian

Effectivement n est fixé, pour trouver l'expression des a2k, je suis partie de l'équation différentielle : x^(n+1).[xu''(x)+(2n+1)u'(x)+xu(x)]=0
en posant ensuite u(x)=Somme(ak x^(k))

Dans le résultat que j'ai proposé, j'ai pas mis de n, car ne je trouve pas l'expression.

Magnolia

Je n'ai pas vérifié que c'est bien ça qui sort de l'équation différentielle.

Essaye avec

$a_{2k}=\dfrac{(-1)^ka_0}{2^{2k}\,k!(n+1)...(n+k)}$

Si ça marche, et si tu veux plus de factorielles, tu peux écrire $\dfrac{1}{(n+1)...(n+k)}=\dfrac{n!}{(n+k)!}$

... et vérifie soigneusement!

Long Florian

Oui c'est bien ça , merci beaucoup !

Par contre, je ne comprend toujours pas comment vous avez trouvé ce résultat en ce qui concerne les factorielles,

$a_{2k}=\dfrac{(-1)^ka_0}{2^{2k}\,k!(n+1)...(n+k)}$

Pour le dénominateur, on a a2=2.(2+2n) a4=2.4.(2+2n).(4+2n) a6=2.4.6.(2+2n)(4+2n).(6+2n), on trouve a2k=2^(2k). et c'est la que je bloque

Magnolia

Par exemple

$2.4.6.(2n+2)(2n+4)(2n+6)=2^6(1.2.3)((n+1)(n+2)(n+3))$

... et c'est un métier! Quand tu en seras à la centième, probablement tu trouveras... ou pas!

Long Florian

J'ai enfin "capté", tout est clair maintenant .

J'espère que ces fatorielles n'auront plus de secret pour moi maintenant.

Merci de votre aide, je vous souhaite une bonne journée !

Magnolia

Avec plaisir!