Décidabilité en géométrie et algèbre

Ga?

Le 2 ne me semble pas pertinent, en tout cas. Il suffit de savoir éliminer un quantificateur existentiel, un point c'est tout.

cactus400

Salut, dans ce papier de Tarski, page 17, définition 8, je ne comprends pas la définition, surtout qu'après, apparaît $P_{\xi}(\alpha)$ qui semble avoir des propriétés de morphisme alors que $\alpha$ est un polynôme.

Je ne comprends pas ce qu'est $P_{\xi}(\alpha)$ où $\alpha$ peut être un terme arbitraire(cela vient après dans la définition).

Il est par exemple écrit $$\text{Si} $\alpha=\xi\text{, alors on pose }$P_{\xi}(\alpha)\equiv 0 + 1\cdot\xi$$

Je ne comprends alors pourquoi on dit $$\text{Si} \alpha\text{ est une constante ou une variable différente de}\xi\text{, alors on pose }P_{\xi}(\alpha)=\alpha$$

En fait, je ne comprends pas la définition. J'en viens même à me demander si il n'y a pas des fautes de frappe

Merci pour vos explications

cactus402

A mon avis, ce n'est pas compliqué, mais j'ai besoin d'aide

Ga?

Le texte de Tarski est assez pesant, mais il n'y a vraiment rien de profond dans cette définition. Et je n'ai pas vu de faute de frappe. Tarski dit simplement que, si $\xi$ est une variable, tout terme du langage est prouvablement égal à un polynôme en $\xi$. Lis la remarque en haut de la page 18.

cactus403

salut Ga?

en fait, même avec la remarque je ne comprends là ce qu'il veut dire.

Que signifie $P_{\xi}$ ?

car ce n'est pas défini.

Pourquoi $P_{\xi}$ a l'air des propriétés de morphisme (addition et multiplication) ?

Je ne comprends pas ce que tu as dit Ga?

Merci

Ga?

$P_\xi$ prend un terme du langage et le transforme en polynôme en $ \xi$.
Par exemple
$P_\xi( ((a\times\xi) +b)\times(\mu+\xi)) = b\mu + (a\mu+b)\xi + a\xi^2$
Si tui ne comprends pas, je ne vois vraiment pas ce que je peux faire de plus. Désolé.

rodem

Bonjour, à la page 6 du document, c'est-à-dire à la page 10 du pdf dont Ga? a donné le lien, A.Tarski donne la définition récursive de l'ordre d'un thème algébrique

Je ne comprends pas pourquoi si $k$ désigne le maximum des ordres des termes algébriques $\alpha$ et $\beta$, alors $\alpha\cdot\beta$ serait d'ordre $k+1$

Concrètement, si je prends par exemple $\alpha = x_1x_2$ et $\beta = x_3 x_4$ qui sont des termes algébriques d'ordre $2$ (dont le maximum de leur ordre est 2), si je me trompe pas, alors j'aurais dit que $\alpha\cdot\beta$ est un terme algébrique d'ordre 4, alors que la définition récursive donne $2+1=3$, et ça me semble bizarre

Pouvez-vous m'expliquer ?
merci

christophe c

Mon pc a l'air de pas mal bugguer (imposible de voir les pdf, même les petits). Mais vu le style de ta question, ça n'a probablement aucune importance en fait, c'est juste pour associer un entier à chaque "chose" de l'histoire de façon à pouvoir arguer par récurrence (il faut juste qu'un terme plus compliqué que d'autres ait un numéro plus grand que les numéros des autres)

rodem0

bonjour,
moi ça me pose problème quand même, car cela n'assure plus un unique ordre, même si on ne l'exige pas à priori

par exemple $x_1 x_2 x_3 x_4$ peut être d'ordre 3 ou 4, et ça me paraît étrange

christophe c

Attention: quand on parle de "termes", ils sont supposés construits d'une unique façon. L'égalité des valeurs qu'ils sont supposés désigner dans une théorie n'a rien à voir avec la choucroute. Donc si je ne me suis pas trompé sur l'interprétation de ce que tu as écrit (je ne peux ouvrir les pdf cet aprem :X ) , ou bien $x_1x_2x_3$ n'a pas de sens (par exemple c'est une abréviation avachie de $(x_1*x_2)*x_3$) ou bien l'opération est explicitement ternaire.

Comme ici il s'agit de termes écrits avec $(+;\times)$, toutes les opérations sont binaires. Donc $(x_1\times x_2)\times x_3$ veut dire quelque chose mais pas $x_1\times x_2\times x_3$. Oublie "le sens", qui n'a rien à voir dans tout ça (le but étant de prouver qu'il existe un programme informatique qui va répondre à des.. questions qui seront des .. suites de caractères)

rodem1

Bonsoir page 18 du document , en bas, théorème 11, il est question de prouver par récurrence, que $$P_{\xi} (\text{formule sans quantificateur})\equiv \text{formule sans quantificateur}$$ Et d'après ce qui est suggéré, on peut le faire par récurrence.
Pourquoi pas ? Mais le problème est que je ne vois pas ou ne sais pas comment écrire une formule sans quantificateur d'ordre $k+1$ de façon générale, l'idée étant ensuite de se ramener à une formule d'ordre $k$
Dans les pages précédentes, avant-dernier paragraphe fin de la page 9 du document, il est expliqué ce qu'est une formule d'ordre $k$, mais dans cette définition que vous voyez il y a le $\exists$, qui est un quantificateur.
Je ne comprends pas alors comment faire le lien.
Merci de votre aide

rodem2

Bonjour je reviens à ma question à laquelle avait tenté de répondre christophe c :

Comment écrire une formule d'ordre $(k+1)$ sans quantificateur en fonction d'une formule d'ordre $k$ ?

en effet, d'après la page 13/67 du pdf, il est dit que si $\theta$ et $\phi$ sont deux formules d'ordre $k$, alors par exemple $\theta\wedge\phi$ est d'ordre $k+1$

POur montrer une certaine propriété par récurrence sur l'ordre de la formule, je souhaiterais , pour l'hérédité, pouvoir écrire la formule d'ordre $(k+1)$ sous la forme de $\theta\wedge\phi$ ou $\theta\vee\phi$ ou $\sim \theta$ où $\sim$ désigne la négation, et où chacune de ces formules $\theta$, $\phi$ sont d'ordre $k$

Le problème qui se pose à moi la pour la négation par exemple est que donc si je commence l'hérédité en supoosant $\theta$ d'ordre $k+1$, alors $\theta=\sim(\sim\theta)$ (négation de négation de P=P)

Mais $\sim(\sim\theta)$ est d'ordre $(k+1)+1+1=k+3$ (d'après la définition récursive d'une formule)

C'est plutôt étrange car on a deux fois le même terme écrit différemment, à gauche il est d'ordre $(k+1)$ et à droite d'ordre $k+3$. Mais ce qui me paraît encore plus étrange est que l'on pourrait même dire $\theta=\sim\sim\sim(\sim\theta)$

Merci par avance pour vos explications

Ga?

Encore une fois, tu t'emmêles les pinceaux parce que tu confonds la forme d'une formule et sa signification.
Ici l'analyse de la formule est purement syntaxique : la formule est une suite bien formée de caractères, point c'est tout. Et en tant que suite de caractères, $\sim\sim\theta$ est évidemment autre chose que $\theta$.
christophe c t'avait parfaitement répondu, mais tu n'as pas capté sa réponse.
Tu perds beaucoup de temps sur des passages du texte de Tarski qui ne présentaent pas vraiment d'intérêt.

rodem3

Bonsoir Ga?

J'ai besoin de prouver par récurrence que $$P_{\xi}(\theta)\equiv\theta$$ si $\theta$ est une formule sans quantificateur

Et Tarski dit que cela se fait sur l'ordre de la formule $\theta$, et c'est de là que vient ma question. C'est vers la page 18 du document de Tarski

J'essaye ainsi d'écrire $\theta$ sous forme de disjonction et conjonction de formule d'ordre $k$ pour appliquer la récurrence

Merci de m'aider pour m'éclairer

Ga?

Je veux bien t'aider, mais il faut que tu y mettes du tien. N'as tu pas compris mon précédent message ? Tu fais comme s'il n'existait pas.

rodem3

Bonjour Ga?

je tiens compte de tes messages , sois sûr de cela.

Alors comment je peux faire pour faire ma récurrence ?

Merci

rodem2

Bonjour

quelqu'un aurait-il la gentillesse de m'expliquer comment faire cette récurrence du théorème 11 ?

Tarski dit que la deuxième partie de ce théorème peut également être prouvée par récurrence.

Je suis bloqué sur ces 2 points.

Merci à ceux qui peuvent m'aider pour le passage de l'étape ($\theta$ d'ordre $n$) à ($\theta'$ d'ordre $n+1$)

Cordialement

Ga?

Il n'y a absolument rien dans le théorème 11 en question (juste des détails d'écriture sans réelle importance), et Tarski se donne même la peine d'expliquer ce rien en détail. Franchement, je ne vois pas ce qui peut t'arrêter.
Le genre d'argument employé, c'est :
Puiisque par hypothèse de récurrence $P_\xi(\theta)$ est équivalent à $\theta$ et $P_\xi(\phi)$ est équivalent à $\phi$, alors $P_\xi(\theta\vee\phi)$, qui est par définition $P_\xi(\theta)\vee P_\xi(\phi)$, est équivalent à $\theta\vee \phi$.
Es-tu vraiment arrêté par ce genre d'arguments ?

rodem2

Bonjour Ga?

non, ce genre de détails ne me pose pas problème, mais j'ai voulu rédiger correctement les choses, et bien montrer le passage de la formule sans quantificateur d'ordre $n$ à la formule sans quantificateur d'ordre $n+1$.

Quand on fait une récurrence, on dit :"supposons la formule vraie à l'ordre $n$ et montrons la à l'ordre $n+1$"

Et donc je me place au rang $n+1$, mais pour faire le lien avec une formule sans quantificateur d'ordre $n$, j'imagine que je devrais quand même avoir une relation qui mer permettre d'exprimer celle d'ordre $n+1$ en fonction de formules d'ordre $n$.

Ga?, dans ce que tu fais, tu prends deux formules d'ordre $n$ par exemple et tu en effectues la conjonction ou la disjonction, cela crée certes une formule d'ordre $n+1$, par la définition récursive des formules, mais , à ma connaissance, ce n'est pas pareil que de partir d'une formule d'ordre $n+1$ et d'exploiter l'hypothèse de récurrence ?

Tu vois ce que je veux dire ?

Ga?

Non, je ne vois pas la difficulté.
Ou alors, c'est que tu n'as pas réalisé que le pas de récurrence se déroule ainsi :
On suppose que c'est vrai pour toutes les formules d'ordre $<n$, et on montre que c'est vrai aussi pour les formules d'ordre $n$.
Par exemple, si la formule d'ordre $n$ s'écrit $\neg\neg\phi$, alors par hypothèse de récurrence (car $\phi$ est d'ordre $n-2$) on a $P_\xi(\phi)$ équivalent à $\phi$ et donc $P_\xi(\neg\neg\phi)$, qui est par définition $P_\xi(\phi)$, est équivalent à $\phi$, qui est équivalent à $\neg\neg\phi$.

rodem2

Bpnjour Ga?

tu as écrit l'endroit qui me bloque :

Ga? a écrit:

si la formule d'ordre $n$ s'écrit $\neg\neg\phi$, alors par hypothèse de récurrence (car $\phi$ est d'ordre $n-2$)

si on considère $\phi$ une formule d'ordre $n$, alors d'accord pour dire que $\phi=\neg\neg\phi$, mais juste après tu dis , entre parenthèses, que $\phi$ est d'ordre $n-2$

Ma question est de savoir ce qu'il se passe, puisqu'au début, on dit qu'elle est d'ordre $n$ et juste après, on dit qu'elle est d'ordre $n-2$

Merci pour ton aide

christophe c

rodem a écrit:

alors d'accord pour dire que $\phi=\neg\neg\phi$

8-) tu ne lis pas, c'est le contraire qui t'est dit

$\phi\neq \neg \neg \phi$

On t'a dit et redit qu'ici les formules [size=x-large]sont des suites de caractères, c'est tout[/size]

La formule $\neg \neg \phi$ A DEUX caractères de plus que la formule $\phi$ (précisément les deux "$\neg$" qui sont devant)

rodem2

Justement , le problème est que Tarski, dans la démonstration du théorème 11, prétend que :

$\phi=\neg\neg\phi$

Je te renvoie à son papier que Ga? a cité au début du fil.

Cet exemple est justement celui qui me pose le pus de problèmes

Ga?

C'est toi qui prétend que Tarski prétend que $\phi=\neg\neg\phi$ . Ce n'est écrit nulle part. Tarski écrit que $\neg\neg\phi$ est EQUIVALENT à $\phi$, mais bien sûr pas que $\neg\neg\phi$ est la même formule que $\phi$, ce qui est évidemment faux.
Il te faudrait apprendre à lire ce qui est écrit, et pas ce que tu imagines voir écrit.

rodem2

Bonjour Ga?

je suis d'accord avec toi, mais j'essaye de comprendre ce qui est écrit rigoureusement, et parfois, je bloque.

Dans certains lignes de démonstration, les signes = sont mélangés avec les "équivalents", et j'en viens à me demander si il n'y pas des erreurs dans l'article original

rodem2

Bonjour

dans la remarque qui suit la définition 15, à la page 20, il est dit que :

La notion de dérivée peut bien sûr, être étendue à des termes arbitraires qui ne sont pas des polynômes formels en $\xi$ conformément à la définition ... en posant
$D_{\xi}(\alpha)\equiv D_{\xi}P_{\xi}(\alpha)$

où $P_{\xi}(\alpha$ avait été défini de façon assez étonnante pour moi page 17.


Je me pose la question d'un exemple illustrant le fait que :

rodem a écrit:

La notion de dérivée peut bien sûr, être étendue à des termes arbitraires qui ne sont pas des polynômes formels en $\xi$ conformément à la définition ... en posant
$D_{\xi}(\alpha)\equiv D_{\xi}P_{\xi}(\alpha)$

Pourriez-vous m'en donner ?

Merci
Bonne journée à vous

Ga?

$D_\xi((1+\xi)\cdot (\xi -1)) = 2\cdot\xi$

Ga?

J'aurais dû écrire $D_\xi((1+\xi)\cdot (\xi -1)) \equiv 2\cdot\xi$
Tarski note $\equiv$ l'identité de deux objets du langage (termes ou formules), pour la distinguer du symbole de relation $=$ qui fait partie du langage. Ne pas confondre $\equiv$ avec l'équivalence logique.

christophe c

@rodem, peut-être pourrais-tu aussi préciser ta démarche. Cherches-tu à lire l'oeuvre de Tarski pour étudier l'histoire? Ou sinon, sache que Ga? a posté (dans ce fil il me semble), des textes plus modernes expliquant les mêmes choses.

Concernant la récursivité de l'ensemble vérité de $(\C,\times +)$ ce n'est pas très difficile
Concernant la récursivité de l'ensemble vérité de $(\R,\times +)$, ça l'est nettement plus, mais pas au niveau logique. La difficulté technique se produit au moment de capter un algorithme dit "méthode de Sturm" si je me rappelle bien et l'autre document de Ga? la détaille avec des expressions actuelles

Dans les deux cas, on passe par "l'élimination des quantificateurs". Tout ceci, je te le rappelle bien entendu à la condition que ton intention ne soit pas "d'étudier de l'histoire et des textes historiques".

rodem3

Bonjour Ga? et rodem, d'abord merci

Ensuite @Ga?, l'exemple que tu donnes est intéressant car, ainsi sous-entends-tu (et je serais d'accord avec toi) que $(1+\xi)\cdot (\xi -1)$ n'est pas ce que Tarski appelle un polynôme formel en $\xi$ ?

(en effet , dans sa définition de polynôme en la variable $\xi$, c'est $\alpha_n \xi^n + \ldots + \alpha_0$

Merci de votre réponse

Ga?

Encore une fois, il suffit de lire Tarski.
Et encore une fois, tout les points sur lesquels tu sembles buter sont des détails techniques sans importance.
Je partage la question de Christophe. Que cherches-tu ?

rodem3

Je cherche à bien comprendre en respectant les défintions de Tarski, je veux être rigoureux, et pas faire de l'approximation.

Pour ma dernière question, confirmez-vous ce que j'ai écrit ? (et qui allait dans votre sens)

merci

Ga?

Si tu respectais à la lettre les définitions de Tarski sans interpréter, tu n'aurais pas de problème.
Je m'aperçois d'ailleurs que ce n'est pas ce que j'ai fait, donc je corrige. Sauf erreur, :
$P_\xi((1+\xi)\cdot (\xi -1))\equiv 1\cdot(0-1)+0 + (1\cdot 1+ 1\cdot(0-1))\cdot \xi + 1\cdot 1\cdot \xi ^2$
et donc
$D_\xi((1+\xi)\cdot (\xi -1)) \equiv 1\cdot 1+ 1\cdot(0-1) + 2\cdot(1\cdot 1)\cdot\xi$
Tout est explicite dans le texte de Tarski, c'est d'ailleurs ce qui fait sa lourdeur.

rodem3

En effet, et d'ailleurs l'exemple détaillé que tu viens de donner me montre que j'avais raison de me poser des questions, car ce formalisme n'a rien d'évident en réalité
Je dois travailler sur ton exemple, en espérant qu'il n'y ait pas de faute de latex

Ga?

Très franchement, encore une fois, ça ne présente pas grand intérêt. Faire explicitement ce genre de truc, c'est éteindre toute intelligence et suivre bêtement les instructions (un travail mécanique, quoi). Tu perds ton temps. Moi en tout cas, j'abandonne. Je ne reviendrai éventuellement que si tu passes à des choses qui présentent plus d'intérêt.

rodem2

Bonjour Ga?

je veux te dire que dans tes messages, tu as l'air de dire que ce que dit Tarski est simple. Moi je trouve cela pas évident.
D'accord qu'il ne faut pas éteindre toute intelligence, mais aussi j'ai besoin de comprendre quand même un mimimum

C'est pourquoi si je considère tes 2 lignes de calcul :

Ga? a écrit:

$P_\xi((1+\xi)\cdot (\xi -1))\equiv 1\cdot(0-1)+0 + (1\cdot 1+ 1\cdot(0-1))\cdot \xi + 1\cdot 1\cdot \xi ^2$
et donc
$D_\xi((1+\xi)\cdot (\xi -1)) \equiv 1\cdot 1+ 1\cdot(0-1) + 2\cdot(1\cdot 1)\cdot\xi$

j'avoue avoir du mal à bien comprendre comment tu écris ces 2 lignes en revenant aux définitions de Tarski
Je suis très intéressé de comprendre, et te serais reconnaissant de bien vouloir m'expliquer comme tu écris chacune des lignes de calcul

Merci par avance
Cordialement

christophe c

Ga? t'a dit qu'il abandonne la conversation tant que tu n'as pas au moins détaillé tes intentions (ce que tu n'as pas fait à la suite de ma demande, tu as très expéditivement dit un truc vague sur tesdites intentions).

Personnellement, j'ai abandonné dès le départ par flemme de chercher où dans le fil on trouve le doc de Tarski et surtout, parce qu'à un moment mon PC ne chargeait pas les pdf. Mais même maintenant, je n'irai pas charger le pdf de Tarski, "juste pour t'aider" dans une sorte de didacticiel de traduction entre ses écrits et les argumentations plus condensées qu'on connait aujourd'hui, ce serait trop de travail.

C'est pourquoi il est important que tu précises VRAIMENT tes intentions, afin que le cas échéant, on assume de te dire "non, non, on ne décryptera pas avec toi, une lecture intégrale de Tarski" car c'est trop prenant (bravo déjà à la patience de Ga?), et éventuellement "ton niveau" en logique et algèbre. Sinon, on va tourner en rond et tu vas te sentir abandonner. Donne au moins de quoi "t'abandonner" dans ton aventure de manière "franche".

Une dernière fois, si ton intention n'est pas du décryptage historique ou de la lecture historique (n'ayant pas lu Tarski, je ne sais pas s'il y a lieu de parler de décryptage, il semble que non d'ailleurs, d'après Ga? qui te répète "lis Tarski en détails ne déforme pas ses propos"), alors on peut t'aider patiemment à comprendre les deux théorèmes d'élimination des coupures. Si ta volonté est de lire absolument Tarski, je te renvoie aux réponses que t'a faites Ga? de le lire "texto" (mais avec les inconvénients de patience et de détails que ça demande). Mais je pense que cette lecture tu vas devoir la finir seul(e) par contre.

rodem2

bonjour christophe

mon intention est simple : je veux comprendre, pas forcément tout le papier, mais au moins je ne veux pas faire l'impasse sur ce qui peut paraître évident, c'est tout

Pour ma part, je poste des questions sur des détails quand je doute

Merci de bien vouloir m'expliquer les 2 lignes de calcul :

Ga? a écrit:

$P_\xi((1+\xi)\cdot (\xi -1))\equiv 1\cdot(0-1)+0 + (1\cdot 1+ 1\cdot(0-1))\cdot \xi + 1\cdot 1\cdot \xi ^2$
et donc
$D_\xi((1+\xi)\cdot (\xi -1)) \equiv 1\cdot 1+ 1\cdot(0-1) + 2\cdot(1\cdot 1)\cdot\xi$

christophe c

rodem a écrit:

mon intention est simple : je veux comprendre, pas forcément tout le papier

Ca ne répond pas à ma question. Je n'ai pas envie d'aller cliquer sur l'article de Tarski pour te répondre**, je ne suis donc pas en mesure de te répondre sur cet article. Si je devais faire l'effort de "lire des articles", j'ai une file impressionnante de priorités bien avant lui. En aucune manière je ne me supporterais entrain de lire un vieil article de Tarski alors que j'ai + ou - promis à des amis chers de parcourir bien d'autres papiers.

Je fais l'effort d'avoir tapé ces 3 lignes pour t'informer, il n'y a pas d'hostilité. Tu ne peux pas compter sur moi.

Si maintenant tu souhaites comprendre l'élimination des coupures (le principe logique) et avoir un plan vers les pièces manquantes dans la preuve logique, je veux bien faire l'effort de détailler mais tu ne l'as toujours pas demandé.

** et il n'est pas dit que même si je cliquais, je capterais quelque chose, je suis très mauvais et très "soupe au lait" lecteur.

Ga?

@rodem : Visiblement, tu n'as pas compris, je répète une dernière fois.
- ou bien tu fais l'effort de vraiment LIRE Tarski et d'appliquer ses instructions (sans interpréter surtout), à la manière dont un ordinateur éxécute un programme (c'est je que j'ai fait ci-dessus, je ne le referai pas)
- ou bien ça te casse les pieds et tu laisses tomber pour une activité qui a plus de sens.
J'ai essayé de t'aider, mais faut tout de même pousser mémé dans les orties.

Nîmes-man

Désolé d'être si mauvais en recherche mais : on le trouve dans quel message, ce pdf de Tarski ?

Ga?

En suivant le lien dans le premier message de ce fil.

rodem2

@Ga?, je ne cherche pas à te faire pousser mémé dans les orties, et d'ailleurs, il faut respecter les mémés et grands-parents

je considère ma question importante et je souhaite comprendre le calcul bas niveau, c'est-à-dire sans passer par les à -priori que j'ai du calcul ordinaire

L'exemple du calcul que tu as fait, je n'arrive pas à le comprendre, et cela prouve que je n'ai pas encore compris comment on utilise le formalisme de Tarski


Merci de ne pas rentrer dans des débats existentiels qui ne m'aident pas à avancer, et me retardent.

Avant de rentrer dans les théoèmes qui suivent , merci à ceuxi qui peuvent m'aider pour comprendre :

Ga? a écrit:

$P_\xi((1+\xi)\cdot (\xi -1))\equiv 1\cdot(0-1)+0 + (1\cdot 1+ 1\cdot(0-1))\cdot \xi + 1\cdot 1\cdot \xi ^2$
et donc
$D_\xi((1+\xi)\cdot (\xi -1)) \equiv 1\cdot 1+ 1\cdot(0-1) + 2\cdot(1\cdot 1)\cdot\xi$

Nîmes-man

Merci Ga?

rodem a écrit:

L'exemple du calcul que tu as fait, je n'arrive pas à le comprendre, et cela prouve que je n'ai pas encore compris comment on utilise le formalisme de Tarski.

Tu sembles ne pas comprendre comment l'on dérive un polynôme formel du second degré. Il n'y a pourtant rien à comprendre, juste à connaître la définition de la dérivation des polynômes.

J'ai peur que tes problèmes viennent d'une méconnaissance des mathématiques élémentaires (tu évoquais la rédaction d'une récurrence plus haut) plutôt que du papier en question. A quel niveau te places-tu ?

rodem2

Svp, quelqu'un aurait-il l'amabilité de m'aider

pour montrer mes efforts, je rappelle que dans le papier de Traski, je le traduis en français :

tarski a écrit:

La notion de dérivée peut bien sûr, être étendue à des termes arbitraires qui ne sont pas des polynômes formels en $\xi$ conformément à la définition ... en posant
$D_{\xi}(\alpha)\equiv D_{\xi}P_{\xi}(\alpha)$

où je rappelle la définition de Tarski(page 17 du papier)(définition que j'avais trouvé pour le moins étonnante car faisant penser fortement à un morphisme d'annueaux) :

\begin{enumerate}
\item Si $\alpha\equiv\xi$, alors on pose $$P_{\xi}(\alpha)\equiv 0 + 1\cdot\xi$$
\item Si $\alpha$ est une constante ($0$, $1$ ou $-1$, ou une variable différente de $\xi$), alors on pose $$P_{\xi}(\alpha)\equiv \alpha$$
\item Si $\alpha$ et $\beta$ sont des termes arbitraires, alors on pose :
$$\begin{cases}P_{\xi}(\alpha+\beta)&\equiv P_{\xi}(\alpha)+_{\xi}P_{\xi}(\beta)\\
P_{\xi}(\alpha\cdot\beta)&\equiv P_{\xi}(\alpha)\cdot_{\xi}P_{\xi}(\beta)\end{cases}$$
\end{enumerate}

Ga?

$P_\xi(1+\xi) \equiv {?}$

rodem2

@Ga?

Je pense que je commence à comprendre :

cependant, j'ai un doute, quelle est la propriété qui autorise la distributivité ?

J'ai remarqué , que dans tes calculs, tu gardes $(0-1)$ sans le modifier , alors que tu fais la réduction $$0+1\equiv 1$$

peux-tu m'expliquer pourquoi par rapport aux fondements ?

Merci

Ga?

$P_\xi(1+\xi) \equiv {?}$
Réponds

rodem2

Avec les définitions

$P_\xi(1+\xi) \equiv P_\xi(1) +P_\xi(\xi) \equiv 1 + 0+1\cdot\xi$

Ga?

Bien. Et maintenant $P_\xi(\xi-1)\equiv {?}$
Rappel de notation : $\alpha-\beta \equiv \alpha + (-1)\cdot \beta$