Groupes quantiques

fanf

Bonjour.
Deux petites questions sur les groupes quantiques.
1) pourquoi dit on groupes quantiques? (je ne vois pas ce qu'ils ont "de quantique")
2) les groupes quantiques sont des algèbres de Hopf et réciproquement ? Ce sont les mêmes objets mathématiques ?
Merci pour vos éclaircissements,
Fanf

afk

En mécanique quantique, on déforme l'algèbre des fonctions $C^\infty$ sur l'espace des phases $M= T^*X$ en une algèbre non commutative $A_h$. La déformation dépend d'un parametre $h$ (constante de Planck) et on exige qu'on retrouve le crochet de Poisson (mécanique hamiltonienne classique) à l'ordre un (limite semi-classique) $h\to 0$. Plus précisément, on se donne une algèbre $A_h$, une application $C^\infty(M) \to A_h$, $f\mapsto O_f$ et on exige que $[O_f,O_g] = h\{f,g\} + O(h^2)$ de sorte que $A_h/(h^2) = (C^\infty(M),h\{~,~\})$.

Par extension, on a tendance à qualifier de quantique tout problème de déformation d'une structure algébrique commutative en une structure non commutative.

Si $G$ est un groupe de Lie ou un groupe algébrique, on peut lui associer son algèbre de Lie (vecteurs tangents en l'identité ou champs de vecteurs invariants à gauche) et l'algèbre enveloppante de celle-ci (qui s'identifie aux distributions supportées en l'identité ou aux opérateurs différentiels invariants à gauche). Cette dernière algèbre est une algèbre de Hopf associative cocommutative et coassociative.

Dans la théorie des groupes quantiques, au lieu de déformer des algèbres de Poisson comme $C^\infty(T^*X)$ dans l'exemple que j'ai donné, on déforme des algèbres de Hopf $U\mathfrak{g}$. La condition d'ordre 1 (analogue du crochet de Poisson) est donnée par un tenseur $t\in Sym^2(\mathfrak{g})^{\mathfrak{g}}$. En fait, a ma connaissance la théorie se concentre uniquement sur les algèbres enveloppantes des algèbres de Lie semi-simples complexes qui correspondent plus ou moins aux algèbres de fonctions sur les groupes de Lie compacts. Je ne sais pas exactement pourquoi d'ailleurs si ce n'est que ce sont les plus simples des algèbres de Lie non commutatives.

fanf

Merci beaucoup pour cette réponse. Je me rends compte que mes deux questions étaient liées.