Une congruence intéressante
dans Arithmétique
Montrer que pour tout entier naturel non nul n, il existe un entier naturel m tel que n divise 2m+m.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Je parviens également à prouver l'existence d'un $m$ pour un $n$ de la forme $p^{\theta}$ où $p$ est premier et $\theta > 1$. Je posterai quelques détails quand j'aurai plus de temps si tu es intéressé.
Si tu pouvais expliquer dans les grandes lignes les arguments que tu utilises pour traiter le cas général, je suis preneur
Notons $E$ l'ensemble des entiers $n \geqslant 1$ tels qu'il existe $m \in \mathbb{N}$ avec $n \; | \; 2^m+m$.
Propriété : Soit $n$ un entier naturel impair. Alors $n \in E$ $\Leftrightarrow$ $n \wedge \varphi(n) \in E$.
Conséquence : Tout entier naturel impair appartient à $E$.
( utiliser la suite définie par $u_0=n$ et $u_{k+1}=u_k \wedge \varphi(u_k)$ )
[Je viens de voir ça rapidement mais je crois pouvoir traiter aussi le cas $n$ pair $-$ Je poste des détails dès que j'ai un peu de temps]
Dès que tu l'auras postée, je posterai la mienne :P
Quelle est l'origine de cette question ? S'agit-il d'un exercice de type olympiades ?
Cet exercice m'a été donné par un ami qui séchait dessus et je ne sais pas où il l'avait pêché.
Propriété : Soit $a$ un entier supérieur ou égal à $2$. Alors pour tout $n \in \N$, il existe $m \in \mathbb{N}$ tel que $n \; | \; a^m+m$.
Voir fichier ci-dessous pour les détails :
Et quelle est ta formation ?