Équation cubique

df

Bonjour

On travaille actuellement sur un extrait d'un article de Wikipedia sur les équations cubiques...

Soit à résoudre : 6x3 - 6x2 + 12x +7
On pose j=e2iPi/3, j est une racine cubique de l'unité: j3=1
On cherche alors des racines sous la forme : x=a+bj+cj2
On cherche à éliminer j entre les deux dernières équations...
Les deux dernières équations se mettent sous la forme :
j3 = 1
x - a - bj=cj2
En faisant des produits membre à membre successifs et en remplaçant chaque fois celle des deux équations dont le degré par rapport à j est le plus élevé par le résultat, nous allons baisser progressivement le degré des équations par rapport à j jusqu'à ce que j disparaisse de l'une des équations.
Un premier produit membre à membre nous donne (et c'est là que ça se complique...) :
bj2 = jx -aj - c
x - a - bj = cj2

Un deuxième produit membre à membre nous donne :
cjx - acj + b2 j = bx + c2 - ab
x - a - bj = cj2

Quelqu'un pourrait-il me donner le détail des calculs de ces deux fameux produits membre à membre... Cette méthode est appelée méthode de Bézout pour la résolution des équations cubiques...
Merci d'avance.

gb

df a écrit:

bj² = jx -aj - c
x - a - bj = cj²

En multipliant la première égalité par c, et en récupérant la valeur de cj² dans la deuxième égalité:
cjx -acj - c² = bcj²= bx - ab - b²j
et on récupère bien:
cjx - acj + b²j = bx + c² - ab
qui fournit une valeur de j en factorisant:
(cx - ac + b²)j = bx + c² - ab

df

d'accord... Je comprends... Merci beaucoup !

Iliano

Bonjour, j’ai le même problème avec la méthode de Bezout je n’arrive pas à trouver les opérateurs opérations qui on été faites entre le passage du deuxième membre à même membre et le troisième ainsi que l’expression finale :
$$\begin{cases}cjx - acj + b^2j &= bx + c^2 - ab \\x - a - bj &= cj^2
\end{cases}$$Un troisième produit membre à membre nous donne :
$$\begin{cases}
c\mathrm{j}x-ac\mathrm{j}+b^2\mathrm{j}&=bx+c^2-ab \\
ab^2-a^2c-b^2x+2acx-cx^2&=2abc\mathrm{j}-b^3\mathrm{j}-c^3\mathrm{j}-2bc\mathrm{j}x
\end{cases}$$Obtenir l'équation finale :
$$x^3 - 3ax^2 + (3a^2 - 3bc)x + 3abc - a^3 - b^3 - c^3 = 0.$$

Rescassol

Bonjour
Le résultant des polynômes $j^3-1$ et $cj^2+bj+a-x$ est égal à:
$(a+b+c - x)(x^2 + (b+c-2a)x + (a^2+b^2+c^2) - (ab+bc+ca))$,
ce qui est le polynôme trouvé par Iliano.
Cordialement,
Rescassol