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Intersection

Voilà un petit exercice pour nos agrégatifs qui n'ont rien à cirer du groupe de Klein en géométrie hyperbolique.
Déterminer l'intersection de la surface:
$y^2z^2 + z^2x^2+x^2y^2-2xyz=0$
et de la sphère:
$x^2+y^2+z^2-1=0$
Amicalement
Pappus

Réponses

  • J'ai trouvé une étoile cirée.

    Changez rien sieur pappus, j'ai abandonné la géométrie grâce à vous.

    pamicalement,
    S
  • Mon cher samok
    Je suis désolé de savoir que tu as abandonné la géométrie, surtout à cause de moi;
    J'espère que ce n'est que provisoire.
    La lecture du livre d'Artin Emil, Algèbre Géométrique est pourtant si passionnante!
    Mais je pense que ce n'était pas le meilleur ouvrage pour débuter la géométrie projective
    Quant au groupe de Klein, heureusement on le retrouve en géométrie euclidienne et en particulier dans l'étude de cette intersection.
    Cet exercice peut donc se traiter à différents niveaux, celui de la géométrie et du groupe de Klein et celui du calcul différentiel avec l'utilisation du théorème des fonctions implicites.
    J'aimerais bien avoir une figure de cette intersection, merci d'avance à Remarque s'il lit ce message!
    Amicalement
    Pappus
  • Bonjour,
    On peut déjà voir que ce sont deux polynômes symétriques et que l'intersection des deux surfaces va être une courbe d'équation
    $1-2 s_3-2 s_3 s_1-s_1^2+2 s_2+s_2^2=0$ où $s_1$, $s_2$ et $s_3$ sont les polynômes symétriques élémentaires en $x$, $y$ et $z$.
  • Modifié (15 May)
    Bonjour,
    en projection sur le plan $xOy$ la courbe est la réunion de 4 ellipses. Voici l'équation factorisée :$$(x^2-x+x*y-y+y^2)(x^2+x-x*y-y+y^2)(x^2+x+x*y+y+y^2)(x^2-x-x*y+y+y^2)=0$$
    Amicalement
    zephir.
  • Bravo, zephyr!
    Encore un petit effort et tu auras terminé!
    @Dr Geodindus
    Bravo pour l'utilisation des fonctions symétriques mais l'équation que tu donnes est celle d'une surface et non celle d'une courbe.
    Il me faut deux équations polynomiales faisant intervenir les fonctions symétriques!
    Amicalement
    Pappus
  • Voici une figure La courbe en projection sur le plan $xOy$
    16360
  • merci d'avance à Remarque s'il lit ce message!

    Cette intersection ressemble furieusement à une réunion de quatre cercles :

    16361
    16362
    16363
  • Non monseigneur, c'est une illusion d'optique,
    En faisant tourner la figure de $\pi/4$ autour de $Oz$, on doit voir un joli morceau de parabole (sauf erreur, bien entendu).

    Amicalement,
    zephir.
  • Même en tournant de plus que $\pi/4$, l'illusion reste saisissante...

    16364
  • En tout cas, après calculs, les 4 cercles, intersections de la sphère avec les plans d'équations respectives $x+y-z=1$, $-x+y+z=1$, $x-y+z=1$ et $x+y+z=-1$ sont bien dans l'intersection de notre surface et de la sphère.
    Reste à montrer que c'est l'intégralité de l'intersection.
  • Suite et fin :

    Je note $P = X^2 Y^2 + X^2 Z^2 + Y^2 Z^2 - 2XYZ$ et $Q = X^2+Y^2+Z^2-1$. Si $(x,y,z)$ annule à la fois $P$ et $Q$, alors il annule $4P-Q^2$, qui vaut précisément $(X+Y-Z-1)(-X+Y+Z-1)(X-Y+Z-1)(X+Y+Z+1)$. D'où les 4 cercles...

    Merci maple.
  • Merci Guego pour la rectification. J'avais fait une erreur de calcul. L'intersection est effectivement située dans la réunion de 4 plans. Je confirme les 4 cercles. Il fallait aller au bout sans se tromper :-(
  • D'autant plus que pour tracer un arc de parabole sur une sphère, il faut quand même le vouloir... ;)
  • Quant à moi, j'avais suivi la méthode du Dr Geodingus.
    J'ai formé les deux polynômes en les fonctions symétriques $s_1$, $s_2$ et $s_3$ puis éliminé $s_2$ et j'ai constaté que $s_1 + 1 = x+y+z+1$ se mettait en facteur.
    Maintenant comme mes deux surfaces sont invariantes par le groupe de Klein engendré par les symétries par rapport aux 3 axes, on trouve les 3 autres plans:
    $x-y-z+1=0$, $-x+y-z+1 = 0$, $-x-y+z+1= 0$.
    Enfin pour des raisons de degré, on a obtenu toute l'intersection.
    C'est l'exo n°245, page 226 du tome 3 des exercices de géométrie analytique d'Aubert et Papelier.
    On ne rigolait pas autrefois en Math Spé.
    Il serait intéressant de le rédiger du point de vue du Calcul Différentiel.
    Amicalement
    Pappus
    Merci, Remarque pour ta figure.
    Je sais que je peux toujours compter sur toi.
  • Pappus a écrit:
    J'ai formé les deux polynômes en les fonctions symétriques $ s_1$, $ s_2$ et $ s_3$ puis éliminé $ s_2$ et j'ai constaté que $ s_1 + 1 = x+y+z+1$ se mettait en facteur.
    Les deux équations deviennent $s_1^2-2s_2=1,s_2^2-2s_3(s_1+1)=0$, i.e. $(s_1^2-1)^2-8s_3(s_1+1)=0$ et on voit $s_1+1$ en facteur.
    Remarque a écrit:
    D'autant plus que pour tracer un arc de parabole sur une sphère, il faut quand même le vouloir...
    Je voulais dire "en projection" comme la fenêtre de Viviani.

    Amicalement,
    zephir.
  • @ zephir : je me disais aussi :D, mais dans le contexte, tu avoueras que c'était difficilement résistible ! :)-D
  • Monseigneur, tout vous est pardonné car vous êtes un seigneur (et je pèse mes mots).
  • Vive les exercices sympathiques!
  • Juste une question en passant.
    A l'agrégation il y a une leçon "... application du résultant à l'intersection de courbes ou de surfaces algébriques".
    Comment aurait-on pu utiliser le résultant pour résoudre ce problème?
  • @Dr Geodingus :
    Le résultant des deux équations en $z$ permet de trouver l'équation de la projection sur le plan $xOy$
  • L'aspect calcul différentiel me semble aussi important dans cet exercice.
    1° Comment appliquer le théorème des fonctions implicites pour avoir le droit par exemple de calculer $x$ et $y$ en fonction de $z$?
    2° Effectuer concrètement ce calcul car évidemment ici on peut calculer.
    Comparer alors avec le résultat du 1°
    3° Quels sont les points où le théorème des fonctions implicites tombe en défaut?
    4° Un exercice voisin:
    Chercher les extrema et les points critiques sur la sphère de Riemann de la fonction:
    $(x,y,z) \mapsto y^2z^2 + z^2x^2+x^2y^2 -2xyz$
    Amicalement
    Pappus
  • Merci Zéphir!
  • Modifié (15 May)
    Bonjour
    Personne n'a pensé  à voir ce que ça donnait en coordonnées sphériques ?
    Bon, c'est un peu tard ...
    Cordialement,
    Rescassol

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