vecteur propre commun?
Bonjour [edit : le premier pb est résolu, mais le second est en bas...]
J'ai à nouveau une petite question que je n'arrive pas à résoudre...
Je dispose d'une matrice diagonale inversible notée $D$, et d'une matrice $C$ quelconque non nulle, les deux de même taille.
Je me demande s'il est toujours possible de trouver un $X\in{\mathbb{S}}^k$ (i-e de norme 1) tel que
$$\lVert DCX\rVert = \lVert DC\rVert \qquad \mathrm{et} \qquad \lVert DC^T X\rVert = \lVert DC^T\rVert$$
où on prend la norme matricielle induite de celle de l'espace bien sûr.
Je doute que ce soit le cas, mais je n'arrive pas à trouver de contre-exemple...
PS : En fait ce problème est la réduction d'un problème plus complexe qu'il n'est pas la peine de poser, ça ne ferait qu'embrouiller les choses... Mais si vous y tenez, je vous l'enverrai, après...
En tout cas merci beaucoup pour votre aide
le poulpe
J'ai à nouveau une petite question que je n'arrive pas à résoudre...
Je dispose d'une matrice diagonale inversible notée $D$, et d'une matrice $C$ quelconque non nulle, les deux de même taille.
Je me demande s'il est toujours possible de trouver un $X\in{\mathbb{S}}^k$ (i-e de norme 1) tel que
$$\lVert DCX\rVert = \lVert DC\rVert \qquad \mathrm{et} \qquad \lVert DC^T X\rVert = \lVert DC^T\rVert$$
où on prend la norme matricielle induite de celle de l'espace bien sûr.
Je doute que ce soit le cas, mais je n'arrive pas à trouver de contre-exemple...
PS : En fait ce problème est la réduction d'un problème plus complexe qu'il n'est pas la peine de poser, ça ne ferait qu'embrouiller les choses... Mais si vous y tenez, je vous l'enverrai, après...
En tout cas merci beaucoup pour votre aide
le poulpe
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Réponses
merci
(je me sens bête en ce moment sur ce site)
Je dispose de mes deux matrices $C$ et $D$ comme tout à l'heure.
Je construis une grande matrice $A$ tridiagonale par blocs de la forme
$$\begin{pmatrix}
D & C^T &0 & &\\
C & D & C^T & &\\
0 & \ddots & \ddots & \ddots &\\
\end{pmatrix}
$$
et j'appelle $\hat{D}$ la matrice diagonale par blocs de $D$ et $\hat{C}$ la matrice $A-\hat{D}$.
Le problème serait d'évaluer la norme triple de $\hat{D}\hat{C}$ en fonction de celles de $DC$ et $DC^T$
Il est facile de prouver que
$$\lVert \hat{D}\hat{C}\rVert\leq \lVert DC\rVert + \lVert DC^T\rVert$$
mais cette inégalité est elle une égalité pour toutes $D$ et $C$? j'en doute, mais dans le cas de ton exemple ça marche.
Du coup, je me demande si on peut trouver $D$ et $C$ telles que l'inégalité précédente soit stricte...
merci à vous...