Une remarque un peu bête mais intéressante concernant la 440:
on a:
Noetherien et fBezout =>Q (je rappelle que (Bezout =>Q est ouvert, c'est ça la question 440)
J'ai donné un exemple d'énoncé simple répondant à la 441, en utilisant les anneaux de Boole.
Par contre, on a aussi banalement: (compact et Bezout) => Q
D'où question 442:, trouver un énoncé du premier ordre, si possible calculatoire $P$ vérifiant:
1) pour tout anneau commutatif unitaire $A$, si $A$ est noethérien ou $A$ est compact (compactifiable) alors $A\models P$ et
2) il existe un anneau commutatif unitaire $A$ tel que $A\models nonP$
Rappel: l'énoncé $Q$ est l'énoncé calculatoire du premier ordre qui dit: "toute matrice 2×2 est équivalente à une diag(a,ab)"
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Il est vrai que je me suis un peu répandu sur plusieurs posts, donc je re-re-résume tout.
1) Il est bien connu que tous les anneaux principaux sont Smith
2) C'est un problème ouvert de savoir si tous les anneaux de Bézout sont Smith (d'après H.Lombardi qui me l'a confirmé par mail, en ce qui concerne aussi le cas précis des matrices 2×2, car Smith(2) =>Smith(n) pur tout n, parait-il)
Je ne m'intéressais pas du tout à ce genre de problème avant qu'un autre fil ne me permette de réaliser que:
3) Tous les anneaux Smith sont supercool.
Là, ça m'a mis sur le "Q", et du coup je me suis intéressé à ce truc bien connu de l'académisme à savoir le théorème (1).
Alors pourquoi je sépare:
a) parce que être Bézout / intègre / Smith sont des propriétés calculatoires simples du premier ordre (stables par tout un tas de choses, passage au produit bien souvent (quand on enlève des propriétés du genre "être intègre") , en tout cas à l'ultraproduit systématiquement!, sous le champ du théorème de la compacité de la logique, etc)
b) être noethérien / principal / (et plein d'autres trucs habituels sur les anneaux) sont des propriétés du deuxième ordre (ce sont des énoncés qui disent que toutes les parties de l'anneau vérifient ceci ou cela)
c) être supercool est une propriété d'aucun ordre borné en l'anneau
Or (3) est un théorème hallucinant de facilité (un tout petit rouage calculatoire fait qu'on prouve en quelques lignes un énoncé qui portent sur tous les ensembles de l'univers). Et ce rouage calculatoire (être Smith) est un problème ouvert (on ne sait pas si tous les Bézout sont smith).
C'est une situation fascinante! D'autant plus qu'il est routine de prouver:
4) tout anneau compact et Bézout est smith
Il est donc naturel de séparer et surtout le problème ouvert lui-même "sépare" les concepts. Ce qui est drôle est que la notion de "Smithitude" ne vient qu'après une découverte classique et pas comme ça de manière ad hoc. Et crois-moi, il me semble très rare de lier comme ça, dans les maths une artillerie du second ordre, une artillerie d'ordre $\infty$ et un rouage calculatoire $\forall \exists : calcul simple$
Définition:
D1) $A$ est Smith quand toute matrice 2×2 est équivalente dans $A$ à une matrice de la forme $diag(a,ab)$
D2) $A$ est supercool quand pour tout entier p, tous modules $M_1,..,M_p$ et toute forme $f$ qui est p-linéaire de $:=M_1\times ..\times M_p$ dans $A$, l'image de $P$ par $f$ est un idéal
D3) $A$ est p-supercool quand tous modules $M_1,..,M_p$ et toute forme $f$ qui est p-linéaire de $:=M_1\times ..\times M_p$ dans $A$, l'image de $P$ par $f$ est un idéal
et ce qui est fascinant est que:
T1) $A$ est 2-supercool => $A$ est p supercool est une évidence quasi formelle (un peu longue à écrire c'est tout)
T2) Smith => 2 supercool est "facile" mais un poil calculatoire
T3) Bézout + noethérien => Smith est difficile même si passé dans les moeurs (mais le principe est simple)
Tout ça pour des histoires de matrices 2×2 ...
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Je te redonne les preuves résumées pour que tu vois que je n'exagère pas.
T1) soit $f$ une forme p-linéaire sur $P:=\prod_i M_i$. Soit $g$ la forme bilinéaire de $Q:=M_1\times (R:=M_2\otimes M_3...)$ dans $A$ vérifiant $\forall x\in P: g(x_1, x_2\otimes ...) = f(x)$. L'image de $g$ est un idéal. Soit $r$ un élément de l'idéal $J$ engendré par $image(f, P)$. Il est donc dans $image(g, Q)$ qui est étant un idéal, $\supseteq J$. Soit $x_1\in M_1$ et $w\in (M_2\otimes M_3...)$ tel que $r=g(x_1, w)$. Or $r=g(x_1, w)$ est une somme de multiples d'éléments de $image(h, R)$ en notant $h(y):=g(x_1, (y_1\otimes ...))$. Or (récurrence), $image(h, R)$ est un idéal. Donc il existe $(x_2,..)$ tels que $f(x_1,x_2,..)=r$
T2) Soit $f$ bilinéaire de $P:=M\times N$ dans $A$. Soit $r\in $ l'idéal engendré par $image(f, P)$. On peut l'écrire sous la forme $r=f(e_1,u_1) + .. + f(e_k,u_k)$ pour un certain $k$ que l'on peut choisir minimum possible. Mais Smith entraine que $\exists x,y,z,t: f(e_1,u_1)+f(e_2,u_2) = f(xe_1+ye_2, zu_1+ tu_2)$, donc $k=1$
(exercice (difficile pour moi car calculatoire, mais easy pour toi) que si $M = Udiag(a,ab)V$ avec des $U,V$ inversibles, alors on peut utiliser $U,V$ pour obtenir $e'_i,u'_j$ avec les $e_i,u_j$ et $r= truc.f(e'_1,u'_1) + bidulef(e'_2,u'_2) = truc.a+bidule.a.b = machin.a$)
T3) est le grand classique académique. Pour les matrices 2×2, j'ai même fait un programme caml.
Partant d'une matrice 2×2 quelconque, tu construis une suite de matrices $n\mapsto \begin{pmatrix} a_n&b_n \\ c_n & d_n\end{pmatrix}$, telle que par une procédure qui est dans tous les cours classiques (je l'ai reproduite dans le fil rubrique = latex, sujet= matrice *****) si l'un des $b_n, c_n$ est non nul, tu remplaces $(a_n,b_n)$ (resp $(a_n,c_n)$ par $(a_{n+1}, 0)$ avec $a_{n+1}$ qui est pgcd de $a_n,b_n$ (resp $a_n,c_n$). S'ils sont tous les deux nuls, tu passes à $\begin{pmatrix} a_n&0 \\ d_n & d_n\end{pmatrix}$. A un moment, il y aura un $n$ tel que $a_{n+1}$ est un multiple de $a_n$ (noethérianité) et donc ça voulait dire que $a_n$ divisait $d_n,b_n,c_n$ et tu peux remettre des zéros partout sauf en $d_n$ qui est un multiple de $a_n$ et c'est la forme de Smith voulue (tu enregistres les opérations élémentaires et les multiplications par des matrices inversibles que tu as fait).
Je répète ce que j'ai déjà dit plus haut, mais j'ai trouvé un pdf bien fichu sur google.
Dans ce pdf, on trouve un exemple sophistiqué d'anneau intègre dont tous les idéaux finiment engendrés sont principaux. De plus, il vérifie, en outre, une propriété très puissante: toute intersection d'idéaux principaux est un idéal principal, et pour toute ensemble $L$ d'idéaux principaux, il existe un idéal principal $(d)$ tel que $\forall X\in L: (d)\supseteq X$ et pour tout $e$ vérifiant $\forall X\in L: (e)\supseteq X:$, forcément $(d))\subseteq (e)$. Il s'agit de l'anneau $H(\C)$ des fonctions entières (holomorphes définies sur $\C$). En gros, il a les mêmes propriétés que n'importe quel anneau de Boole, mais en plus il est intègre (alors que tout anneau de Boole intègre est isomorphe à $F_2$.
Comme exemple nécessitant moins d'acquis techniques, n'importe quelle ultrapuissance*** (non triviale) de $A:=(\Z, \times , +,0,1 )$ (ou de n'importe quel (enfin de beaucoup d'entre eux) anneau principal) est un anneau de Bézout intègre non principal
*** je "rappelle" ce que c'est pour ceux que ça intéresse: soit $E$ un ensemble et $W$ un ultrafiltre sur $E$. La $W$-ultrapuissance de $A$ est le quotient de l'anneau $(\Z^E, \times_{can}, +_{can}, Cste(0), Cste(1)) $ par $==$ où $f==g$ est déifni par $\{x\in E | f(x)=g(x)\}$
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Voici un autre document de Henri Lombardi où on lit explicitement:
Il semble qu'on ignore toujours si une réduction de Smith existe
pour toute matrice dans tout anneau de Bezout. (Kaplanski [Kap] montre que dans un anneau de
Bezout toute matrice admet une réduction de Smith si et seulement si toute matrice triangulaire
2* 2 en admet une)
J'exprime sous forme d'un calcul qu'une matrice triangulaire 2×2 en admet une forme de Smith en écho à la citation ci-dessus (en même temps je progresse dans l'art de multiplier des matrices )
$ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} i & j \\ k & l \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} u & 0 \\ 0 & uv \end{pmatrix} $
(mais évidemment une fois écrit ça, je ne "vois" toujours pas, vu mon handicap calculatoire, "ce qui se passe" et en particulier où sont les pgcd, etc dans cette histoire, mais les lecteurs "voient" peut-être au premier coup d'oeil)
Ah siiiiiiiiiiiiiiii, je vois !!!!!!!! si on suppose a,b,d nuls, on obtient la nullité de u ce qui montre que $u\in (a)+(b)+(d)$ et réciproquement, la nullité de $u$ entraine la proportionnalité des lignes (x,z); (y,t) dans une matrice de det 1 et donc la nullité des coefs a,b et la nullité de d à cause du fait que ça enrtainerait dz=dt=0 donc une combi lin non triv dans la matrice des x,y,.. rooo je suis fier!
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La question qui suit me permettra peut-être de combler une lacune en algèbre linéaire, mais elle est un peu délicate à formuler
Question 444: Intuitivement parlant, je voudrais savoir si, étant donné une forme bilinéaire $f$ de $M\times N$ dans $A$, $A$ étant un anneau et $M,N$ des $A$-modules, et des éléments $(e_i,u_j), (i,j)$ variant dans $2$ de $M\times N$, il peut y avoir strictement plus d'éléments dans $\{f(e,u) | \exists x,y,z,t$ dans $A: e'=xe_0+ye_1,u'=zu_0+tu_1\}$ que dans l'ensemble des (multiples des) coefficients des matrices équivalentes dans $A$ à $(i,j)\mapsto f(e_i,u_j)$? (Voilà, je crois qu'elle est à peu près fidèle à mon manque. C'est peut-être trivial ou peut-être infidèle à ce que je voulais demander, on verra..)
Motivation: ce qui m'a capté dans ce thème est l'implication: Smith =>supercool (définitions ci-dessus). Mais j'ai fait grand bruit ensuite sur l'histoire de la Smithitude et sa relation avec Bézout et la noethérianité dans les documents existant. Par contre, alors que pourtant ça semble naturelle, je n'ai pas beaucoup interrogé sur l'éventualité suivante:
peut-être que de manière simple, Bézout (ou même faible-Bézout) =>supercoolitude, sans pour autant que Bézout => Smith ne soit vrai.
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Voici une question que je pense en fait être un exercice que j'ai réussi à faire pendant que je laissais tourner la télé en attente des résultats (qu'on peut voir sur tous les sites étrangers lool mais bon...)
(Dans presque tous les anneaux ***) Soit $n\in \N$. On prend la matrice générique $M$ avec $n+1$ colonnes et $n$ lignes. Il existe alors une matrice colonne $X$ de $n+1$ cases composées de polynomes en les $(n+1)\times n$ indéterminées et une matrice ligne $Y$ de $n+1$ cases qui est idem et telles que:
Ne pas tenir compte de la question 446, elle est mal fichue, et j'ai la flemme de donner le bon énoncé qui est extrêmement tordu et abstrait (une sorte d'existence indépendante de l'anneau de coefficients premiers entre eux qui lient les lignes d'une matrice qui a plus de lignes que de colonnes).
Je préfère énoncer une question 447 courte et excitante pour "certains" j'imagine.
On se donne les indéterminées $X(i,j)$ pour $(i,j)$ variant dans $n\times p$ et on prend la matrice générique** $M$ qui a p colonnes et n lignes, en se plaçant dans l'anneau $\Z[X_{i,j}, (i,j)\in n \times p]$
Exercice (ou question?)447: Pour tout entier $n$, montrer l'existence d'un $p$ et construire un vecteur colonne $A$ constitué de $p$ polynomes $(P_1,..,P_{p}) $ et vérifiant les deux choses suivantes:
1) L'idéal engendré par les $P_i$ contient tous les coefficients de $M$ qui sont sur une ligne dont le numéro i est tel que $P_i\neq 0$
2) $MA=0$
edit: non désolé, ce n'est encore pas le bon énoncé grrrr, bon je laisse à titre d'exo: trouver un contre-exemple
** ce qui signifie que les coefficients de $M$ sont les $X_{i,j}$
Remarque: en gros, la 446 disait qu'on pouvait remplacer (1) par une condition (1') plus forte dans la plupart des anneaux, mais dans ce cas, c'est pénible à énoncer car on ne peut plus énoncer le truc en fixant un simple anneau de polynomes
[size=x-small](1') l'idéal engendré est l'anneau entier[/size]
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Bon au lieu de reformuler la question, je précise un peu l'intention qui se cache derrière:
1) comme certains s'en souviennent, j'avais été obsédé dans le passé par trouver une preuve de trois lignes que dans tout anneau (commutatif) toute matrice ayant plus de lignes que de colonnes ases lignes liées. (***)
2) J'avais finalement réussi (lien à mettre), mais récemment, le problème ouvert mentionné par H.Lombardi et Meu ont rouvert m'ont appétit pour ces sujets amusants (et semblent-ils puissants).
3) Du coup je me suis dit "dans quelle classe d'anneaux non seulement le théorème évoqué en (1) est vrai, mais en plus il est vrai avec un témoin de Skolem en quelques sortes "constant" par rapport au problème". Et j'ai trouvé: il s'agit des "anneaux-tests".
4) Je les appelle comme ça, car ce sont des anneaux qui transforment des raisonnements en calculs (ils sont faits pour) et qui permettent donc de réécrire tout programme (fini quand-même lol) en un polynôme. Plus besoin de "if ... then ... else", dans ces anneau tout devient calcul.
5) Dans ces anneaux, la propriété de la 447 est trivialement vérifiée, mais j'ai eu à un moment l'impression qu'on pouvait l'étendre à tout anneau.
6) [size=x-small]Une remarque importante à faire est que ce procédé de transformer des raisonnements en calcul, ou des programmes en calculs est "bien connu", et ça s'appelle... faire du forcing. "In some sense", c'est un peu comme si on arrivait à obtenir $\forall x\exists yR(x,y)$ =>$\exists y\forall x R(x,y)$ et c'est "magique". Disons que "l'objet y" devient un objet dynamique: par exemple, en forcing, si on a une algèbre de Boole et une antichaine de $a_i$ de valeurs de vérité, une suite $i\mapsto u_i$ il existe un nom $z$ tel que $\forall i: $ si c'est $i$ qui est choisi par le générique alors $z=u_i$. Le $z$ (qui est pourtant un objet fixe), sera un vrai caméléon et prendre chaque fois la bonne valeur, quelque soit le "i" choisi par "l'oracle". Ca n'a rien de mystérieux, ce n'est que dû à la définition $z:=\{x | \forall i: (b_i $ => $ x\in u_i)\}$ qui même "classiquement" oblige $z$ à être "le" $u_i$ tel que $b_i$ est vrai mais en même temps ça révèle pourquoi l''axiome d'extensionnalité n'est pas innocent. .[/size]
Bon bref, je donne maintenant une série d'exos amusants et la définition de ce que j'ai décidé d'appeler "anneau-test". Je ne garantis pas la validité de tout (mais comme c'est précis, c'est pas grave, si c'est faux, quelqu'un fournira peut-être un contre-exemple), car j'ai juste passé tout ça en revue de tête vite fait, mais ça me semble ok:
a) Définition: un anneau test est un anneau dans lequel tout élément est multiple de son carré.
b) Exos 448 prouver que:
b.1) les idéaux premiers des anneaux-tests sont maximaux
b.2) un anneau noethérien est un anneau-test si et seulement si il est produit de corps
b.3) un anneau noethérien est un anneau-test si et seulement si il est artinien sans nilpotents
b.3) un anneau noethérien est un anneau-test si et seulement si tous les idéaux de $A[X]$ sont principaux
b.4) pour tous les anneaux A, si $A[X]$ est faiblement de Bézout alors $A$ est un anneau test (les anneaux que j'appelle "faiblement de Bézout" sont définis plus haut)
(concernant b3 c'est un truc que j'avais deja prouvé dans un autre fil il y a longtemps, mais à l'époque je n'avais vraiment remarqué le lien avec "les anneaux tests")
Ca donne un certain intérêt à ces anneaux toutes ces propriétés amusantes.
Pourquoi "anneaux-test"?
Réponse: soit $a, r,s$ des éléments de l'anneau: soit $k$ tel que $a=ka^2$. Dans tout quotient de $A$ par un idéal premier $ r(1-ak) + aks$ a la valeur de if a=0 then r else s.
Autrement dit programmer dans les anneaux tests (boucles mises à part) revient à juste construire une expression polynomiale (ce qui en passant illustre pourquoi les anneaux sont hautement indécidables en général).
Je pense, entre autre avoir prouvé une forme "uniforme" de (***) qui dit la chose suivante, dans les anneaux-tests. Etant donné une matrice avec strictement plus de lignes que de colonnes, il existe une série de coefficients (fixes, qui sont des polynomes en les coefs de la matrice) qui sont premiers entre eux et lient les lignes de la matrice dans tout quotient de l'anneau. (Autrement dit, on élimine les raisonnements par cas).
Exo 449: prouver l'énoncé précédent
Question 450:en l'absence de l'axiome du choix est-il consistant qu'il existe un anneau-test $K$ non fini tel que pour toute application $ f\in K\to K$ il existe $P\in K[X]$ tel que $\forall x\in K: "P(x)"=f(x)$?
(Remarque: en présence de l'axiome du choix, cette propriété caractérise les corps finis parmi les corps)
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Précision: exos à faire sans le déterminant, car j'ai l'impression que justement, le déterminant qui est outil apparemment "hallucinant" et non encore conquis par la logique, est justement un peu l'aboutissement d'un cheminement "philosphique" de ce genre.
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Question 451: (je pense qu'elle est très très gentille celle-ci)
Est-ce que dans tout anneau( commutatif unitaire) un polynome ayant une infinité de racines peut se factoriser (je crois qu'on dit peut-être se scinder) en facteurs du premier degré?
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Question 452: voici je crois une excellente devinette qui montre que les cogitations informatiques sont plus proches qu'on ne le croit des problématiques quantiques (en fait, en disant ça, je donne un indice).
Soit $E$ un ensemble, soit $T$ l'ensemble des fonctions partielles de $E$ dans $E$, et $G$ l'ensemble des couples $(f,g)\in E^{E\times E} \times T$ tels que $\forall e\in E\exists n\in \N: [x\mapsto f(g^n(e), x)]$ est constante, où $g^n$ désigne $g\circ g...\circ g$ (n fois).
On sait alors que pour tout $(f,g)\in G$ il existe une unique $a\in T$ telle que
$\forall e\in E: a(e) = f(g(e), a(g(e))) $
en effet, pour le comprendre, vous pouvez imaginer concrêtement avec les entiers une définition par récurrence du genre $a_{n+1}:=f(n,a_n)$ où $g$ est $0\mapsto 0, n+1\mapsto n$ sur $\N$ et où $h\mapsto f(0,h)$ est constante, par exemple.
Vous pouvez aussi imaginer la définition abstraite en caml suivante: let rec a x = f(g x, a (g x))
qui est telle que si $(f,g)\in G$ alors "c'est une bonne définition qui n'est pas sensé boucler"
(en fait, elle boucle quand-même si caml "ne connait pas l'intimité de f", c'est à dire si caml ne "jette" pas t au moment du calcul de $f(e,t)$ quand $h\mapsto f(e,h)$ est constante)
Or il est difficile de connaitre "l'intimité" des objets mathématiques abstraits. Et pourtant, il y a une solution, précisément:
Exercice 452:démontrer l'existence d'une procédure "caml" (ou dans n'importe quel autre langage "correct") tel que pour tout couple $(f,g)\in G$ la procédure en question retourne la bonne fonction a telle que $\forall e\in E: a(e) = f(g(e), a(g(e))) $ sans violer l'intimité*** ( ) de $f$ et en considérant $g$ comme une boite noire.
(Evidemment, les informaticiens ne feront qu'une bouchée de cet exo, alors je les invite à poster leur éventuelle solution en encre blanche de manière à ne pas gacher le plaisir de ceux qui voudraient chercher)
*** pas le droit à un test du genre "if h est constante then blabla1 else blabla2
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Question 453: construire 5 vecteurs (orthonormés dans l'espace euclidien $\R^3$ muni de sa base canonique) vérifiant: $u_1\perp u_2 \perp u_3 \perp u_4 \perp u_5\perp u_1$ et tels pour chaque $u_i: u_i\notin ((\R^{*+})^3)$.
(si 5 ne convient pas, trouver le plus petit $n$ tel que c'est possible avec $2n+1$ à la place de $5$)
Remarque: par le théorème de Gleason, c'est possible (il existe au moins un $n$).
Question R454 (déjà posée dans un contexte plus général au début du fil, do'ù le "R" devant le numéro de la question): quel est le nombre chromatique $c$ de l'espace euclidien $\R^3\setminus \{(0,0,0)\}$ où il y a une arête entre deux vecteurs quand ils sont orthogonaux? (Idem par Gleason, $c\geq 4$).
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Merci Foys, mais si je comprends bien ta réponse, ton polynome $T^2$ a bien une infinité de racines mais... il est bien factorisé en facteurs du premier degré: $T^2 = T\times T$?
Je reprécise la 451. C'est est-ce qu'il existe un polynome (non nul) qui ne puisse pas s'écrire sous la forme $\prod (a_iX+b_i)$ et qui a une infinité de racines? (précision: est-ce qu'il existe un anneau dans lequel ...(suite cidessus))
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On prend le polynôme $(X^2+X+1) \times X(X-1) $ dans $\mathbb{F}_2[X]$ et on considère l'anneau $A= \mathbb{F}_2^{\N}$.
Toutes les suites de $0$ et de $1$ sont solutions, mais le polynôme n'est pas scindé.
Ou bien $(X^2+1) (X-1)X$ dans $\R^{\N}$.
Merci à toi marco, ton astuce a consisté à distinguer polynome et fonction polynomiale. Ca conduit à la question naturelle suivante:
question 457: existe-t-il, un anneau $A$ commutatif unitaire, un polynome $P$ de $A[X]$, qui a une infinité de solutions et tel qu'il n'existe aucun polynome scindable dont la fonction polynomiale coincide avec celle de $P$?
Pour motiver ces questions, je rappelle en fait le contexte qui était celui des questions qui ont précédé la 451, dont une qui me semblait succulente, donc je la répète: on n'a pas droit à l'axiome du choix, on est dans ZF + DC.
Existe-t-il un anneau infini $A$ (commutatif unitaire) tel que pour toute application $f$ de $A$ dans $A$, il existe un polynome $P$ de $A[X]$ dont la fonction polynomiale associée est exactement $f$?
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christophe chalons écrivait:
> Existe-t-il un anneau infini $A$ (commutatif
> unitaire) tel que pour toute application $f$ de
> $A$ dans $A$, il existe un polynome $P$ de $A$
> dont la fonction polynomiale associée est
> exactement $f$?
C'est hautement suspect puisqu'on construit le cas échéant une application surjective d'une partie de A[X]=A^(N) dans 2^A evidemment, qu'en est-il avec les restrictions demandées (ZF+)...
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Sans l'axiome du choix, je crois que l'énoncé "il existe E infini tel que il existe une surjection de E² sur P(E)" est encore ouvert. En l'absence de l'axiome du choix les choses peuvent être très différentes, par exemple, il existe un ensemble E non fini tel que P(E) n'a que deux classes modulo la relation d'équivlance être egales partout sauf pour un ensemble fini d'éléments.
L'intérêt de mon énoncé avec un anneau est qu'elle donne plus de grain à moudre car il y a la structure bien aimée des matheux addition et multiplication et pas seulement une surjection paradoxale, mais je ne sais pas si c'est consistant.
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Question 462: elle n'est pas tout à fait comme les autres, car il s'agit juste de modifier une preuve pour la rendre un peu plus constructive.
On se place dans $\R^3$ muni de sa structure euclidienne usuelle. On note $G$ l'ensemble des droites vectorielles de $\R^3$ (celles qui passent par $0$). On note $A\subseteq G^2$ l'ensemble des couples de droites orthogonales. Comme je l'ai souvent redit, le graphe $(G,A)$ ne peut pas être colorié avec 3 couleurs (c'est un résultat superexcitant qui concerne entre autre la MQ). Bon, bref, le problème n'est pas là. La preuve qui suit prouve qu'on peut colorier $(G,A)$ avec quatre couleurs. Mais il y a un petit passage espiègle (très facile vous zinquiétez pas ) et la présente question 462 consiste à demander si on peut s'en passer.
Voici la preuve et je mets le passage espiègle en rouge.
On peut canoniquement couper l'espace via 3 plans qui passent par l'origine "orthogonaux" (je ne détaille pas, c'est facile de deviner de quoi je parle en disant "orthogonaux") entre eux (ce qui au passage découpe l'espace en 8 régions). Chaque droite à part très peu d'entre elles (ie un ensemble de mesure nulle que vous devinez aisément) passe par deux régions opposées (symétriques par rapport à l'origine). En dehors des droites incluses dans les plans, on vient ainsi de colorier avec 4 couleurs toutes les autres, et le coloriage est correct. Par compacité, si $(G,A)$ n'était pas coloriable avec 4 couleurs, il aurait un de ses sous-graphes finis qui ne le serait pas, ie un ensemble fini $F$ de droites non coloriables avec 4 couleurs. Or c'est absurde, car il suffirait alors d'appliquer le raisonnement précédent en choissant les 3 plans de sorte qu'il ne contienne aucune des droites de $F$
Qui c'est qui aurait envie de nous faire un zoli coloriage avec 4 couleurs sans passer par l'étape rouge ci-dessus?
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Soit $E$ un ensemble fini et $k$ un entier. On cherche deux fonctions $f,g$ allant $(E^k)^2$ dans $E^k$ ayant les propriétés suivantes:
pour tout $x,y, z, t$ tous les quatre dans $E^k$, il existe $i\in k$ tel que $f(x,y)(i) = t_i$ ou $g(z,t)(i) = x_i$
Quand il existe de telles fonctions, on dit que $k$ est $E$-correct.
Question 463: existe-t-il un ensemble fini $E$ tel que $\forall k\in \N: k$ n'est pas $E$-correct?
(j'ai mis "ensemble fini" plutôt qu'entier pour aider à la distinction, bien entendu, la question ne dépend que du cardinal de $E$)
EDIT:
voire post suivant, je reformule la question:
Soit $E$ un ensemble fini et $k$ un entier. On cherche deux fonctions $f,g$ allant $E^k$ dans $E^k$ ayant les propriétés suivantes:
pour tout $x, t$ tous les deux dans $E^k$, il existe $i\in k$ tel que $f(x)(i) = t_i$ ou $g(t)(i) = x_i$
Quand il existe de telles fonctions, on dit que $k$ est $E$-correct.
Question 463bis: existe-t-il un ensemble fini $E$ tel que $\forall k\in \N: k$ n'est pas $E$-correct?
(les 463 et 463bis semblent équivalentes)
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Quelle définition peut-on proposer pour la suite de suites de nombres du fichier joint (à lire en colonnes, j'ai mis 9 colonnes pour que ça ne prenne pas trop de place, mais passage d'une colonne à la suivante revient à "continuer" (comme pour passer d'une page à la suivante)
Question R466: je répète (d'où le "R") une question, bien sûr déjà posée dans les profondeur du fil, mais dont l'activité récente du forum, me laisse penser que c'est un moment favorable, qui n'a l'air de rien mais qui me semble un "défi-carrefour" pour différentes spécialités:
Soit $C:=[0,1]^2$ et A,B des connexes (mais tout l'intérêt est qu'on ne suppose rien de plus) inclus dans $C$. A-t-on forcément:
si $(x,0)\in A$ et $(y,1)\in A$ et $(0,t\in $ et $(1,r)\in B$ alors $A\cap B\neq \emptyset$.
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Question467: voici un problème officiellement ouvert et amusant. Il concerne une un peu plus ancienne conjecture, celle de Hedetniemi. Il est appelé conjecture généralisée de Hedetniemi.
1) On appelle hypergraphe, un couple $G:=(E_G,A_G)$ où $A_G\subseteq P(E_G)$
2) On appelle coloration de $G$ avec les éléments de $X$, une application de $E$ dans $X$ telle que $\forall U\in A: f_{|U}$ n'est pas constante
3) on dit que $G$ peut être colorié avec $X$ couleurs quand il existe une coloration de $G$ avec les éléments de $X$
4) Pour $G,H$ des hypergraphes, on note $G\otimes H$ l'hypergraphe (**) obtenu par:
$E_{G\otimes H} := E_G\times E_H$ et $A_{G\otimes H} :=\{U\subseteq E_{G\otimes H} | proj_{gauche} (U)\in A_G$ et $proj_{droite}(U)\in A_H\}$
en notant $proj_{gauche } (X) := \{x | \exists y: (x,y)\in X\}$, def similaire pour "droite"
La conjecture dit: soient $G,H$ des hypergraphes finis et $X$ un ensemble fini. Si ni $G$, ni $H$ ne peuvent être coloriés avec $X$ couleurs alors $G\otimes H$ non plus
[size=x-small](**) j'ai choisi $\otimes$ comme notation à cause "d'une erreur de point de vue" généré par l'approche catégorique (qui a ses qualités, mais se fourvoie dans les notions profondes via le rebus catégories $\to $ théorèmes / bon point de vue $\to $ énoncés, ie elles "effacent" (un peu comme des élèves coincés qui n'arriveraient pas à même écrire "2=3" (je ne parle pas de l'affirmer) sous le prétexte qu'elle est fausse). Je crois que dans la littérateure c'est un autre signe, plus naif , qui est utilisé pour le produit d'hypergraphes[/size]
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J'essaie de regarder la 466 avec l'axiome du choix et x=y=t=r = 1/2.
on suppose qu'on s'est donné une sujection $u$ d'un ordinal (le plus petit possible) sur $C$, et une surjection $v$ sur l'ensemble des couples d'ouverts. On construit progressivement des éléments $f(i), g(j)$ des futurs connexes disjoints désirés.
à l'étape (paire) $a:$, on regarde le couple $(U,V):=v(a)$. On veut qu'il ne sépare aucun de deux futurs connexes $A,B$ qu'on essaie de construire. On ne s'inquiète que quand $(U,V)$ sépare les $f(i),i\in a$ (formant l'ensemble provisoire $A'$) déjà construits du futur $A$. On a donc le "problème" que $U\cap V\cap A' = \emptyset$. On souhaite donc choisir un point qui sera dans le futur $A$ (qui n'est pas encore dans $A'$) qui n'a pas l'interdiction d'être dans le futur $B$ (ie qui n'est pas déjà dans $B'$) et qui est dans $U\cap V$. Cela n'est possible que si $U\cap V\neq \emptyset$ (et cela est possible dans ce cas). Par contre, il se peut que $U\cap V=\emptyset$. Auquel cas il faut trouver un point en dehors de $U\cup V$ qui a le droit d'être dans le futur $A$ et qu'on va ajouter à $A'$ (et qui sera $f(a):=$ ce point). C'est possible dès lors qu'on a l'énoncé suivant:
deux ouverts disjoints du carré C sont tels que le complémentaire de leur réunion a la puissance du continu
Or cet énoncé me parait tout à fait raisonnable ??
Cela donne la question468:
est-ce que deux ouverts disjoints du carré C sont tels que le complémentaire (dans C) de leur réunion a la puissance du continu?
Ainsi que la question 469: même question que 466 en remplaçant connexe par connexe borélien?
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Question 470: Soit $A$ un anneau fini sans éléments nilpotents. Soit $T\subseteq A$ stable par produits, ie $\forall (a,b)\in T^2: ab\in T$ et qui contient au moins un élément non inversible. Existe-t-il forcément un idéal maximal $M$ tel que $card(M\cap T)\geq card(T\setminus M)$?
Question 471: Soit $A$ un anneau fini. Soit $T\subseteq A$ stable par produits, ie $\forall (a,b)\in T^2: ab\in T$ et qui contient au moins un élément non inversible. Existe-t-il forcément un idéal maximal $M$ tel que $card(M\cap T)\geq card(T\setminus M)$?
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Pour la question 470, $\Z / 2\Z$ ne convient-il pas avec $T=\{0\}$ et $M=\{0\}$ ?
[Edit: je n'avais pas compris la question ... donc ma réponse n'est pas correcte]
Dans anneau fini $A$ sans élément nilpotent, la caractéristique est forcément un produit de nombre premiers distincts $p_1 ... p_k$. Soit un idéal maximal $M$, le quotient est un corps extension de $\Z / p_i \Z$ pour $i=1,2 ... k$. De plus, on peut écrire $A$ comme produit cartésien d'anneau de caractéristique $p_i$. On appelle idempotents minimaux des éléments qui ne s'écrivent pas comme somme de deux idempotents $u$ et $v$ avec $uv=0$. Alors $Au$ est un corps si $u$ est idempotent minimal. Donc $A$ est produit de corps finis.
Oui ça je suis bien d'accord qu'un anneau fini sans nilpotent est un produit fini de corps. Mais tu voulais aller vers quoi?
en fait, la 470 est probablement très difficile car je pense qu'elle est équivalente à une conjecture relativement "célèbre" (elle l'implique), dite conjecture de Frankl (sui po sûr)
La 471 a des chances d'être cassable car la conjecture de Frankl a parait-il la réputation d'être particulièrement résistante aux tentatives de généralisations (ie à chaque parait-il que quelqu'un la généralise c'est trouvé faux très vite).
Conjecture de Frankl:
si $T\subseteq P(P(E))$ ne contient pas que l'ensemble vide et est stable par $x,y\mapsto x\cup y$, alors il y a un élément de $E$ qui appartient à au moins la moitié des éléments de $T$ (E fini)
Voici des exemples que j'ai fait en caml pour voir (en lignes la situation d'un élément en colonnes chaque ensemble de la famille):
Hélas, ça s'apprécie que si tu le visualises avec un editeur de texte qui égalise tous les caractères en largeur de sorte que le côté matrice soit visible:
Question 473: est-il possible d'avoir les polynômes suivants (existent-ils?), à coefficients dans $\Z$ et l'entier $k\in \N^*$ vérifiant tout ce qui suit:
$P = Q_1 - R_1 = Q_1 + V - T_1$ et
$P = Q_2 - R_2 = Q_2 + V - T_2$ et $k$ est racine de $P$ mais pas de $Q_1,Q_2,R_1,R_2, V, T_1,T_2$. On veut aussi $\forall n\leq k-1: $ si $n\in \N$ alors $n$ est racine de $P;Q_1,Q_2,R_1,R_2, V, T_1,T_2$ et les fonctions polynomiales $f$ associées respectivement à $P, Q_1,Q_2,R_1,R_2, V, T_1,T_2$ sont toutes telles que $f(\N)\subseteq \N$ et sont croissantes
edit: la réponse est "oui", je rajouterai une condition plus tard.
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Question 474: on représente un polynôme $\in \Q[X]$ par la liste de ses coefficients et une fraction par un couple d'entiers. Soit $A$ l'ensemble des $P\in \Q[X]$ tels que $\forall n\in \Z: P(n)\in \Z$. Question: $A$ est-il récursif?
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Q474: oui car il y a une base notoire du sous-module de $\Q[X]$ précité. On pose $f_n(X)=\frac{1}{n!}\prod_{k=0}^{n-1}(X-k)$. $(f_n)_{n\in \N}$ est échelonnée en degré donc constitue une base de $\Q$ et comme pour tout $n$, $f_{n+1}(X+1)-f_{n+1}(X)=f_n(X)$, il est facile de montrer par récurrence que $P=\sum_{k=0}^{d}a_k f_k$ envoie $\Z$ dans $\Z$ si et seulement si $\forall k,a_k\in \Z$. Le calcul des $a_k$ se fait par divisions euclidiennes successives.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Question 475: dans ce fil -->http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,761894,762396#msg-762396, suite à une question de gammatilde, il est prouvé qu'en présence de grands cardinaux il existe un ensemble infini E et une tribu B sur E telle que pour toute topologie T sur E, B n'est pas la plus petite tribu telle que $T\subseteq B$.
475.1: peut-on prouver cet énoncé dans ZFC seul?
475.2: peut-on prouver cet énoncé dans ZF seul?
Question 476: soit $E$ un ensemble. Soit $R$ une partie de $E^4$. Soient $U,V$ des ultrafiltres sur $\N$. On note $G(E,R,U,V)$ le jeu suivant:
Alice joue $a_1\in E$ et Bob répond par $x_1$, puis Alice joue $b_1$ puis Bob répond par $y_1$ puis alice joue $a_2$ puis Bob répond par $x_2$, etc, etc.
Alice est déclarée gagnante quand $\{(n,p)\in \N^2 \ |\ (a_n,x_n,b_p,y_p)\in R \}\in U\times V$.
Quand pour tout couple d'ultrafiltres $(U,V)$, Bob n'a pas de stratégie infaillible qui lui permette de gagner $G(E,R,U,V)$ on dit que $(E,R)$ est "anté".
Soient $A,B$ deux ensembles. On appelle "toile" de $A\times B$ une partie $Z$ de $A\times B$ telle que $\forall x\in A\exists y\in B: (x,y)\in Z$ et $\forall y\in B\exists x\in A: (x,y)\in Z$.
Est-ce que pour tout couple de $(E,R)$ si $(E,R) $ est anté alors $\exists (a,b)\in E^2: \{(x,y)\in E^2: (a,x,b,y)\in R\}$ est une toile de $E\times E$?
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Voici un exercice difficile dont une partie est classique et l'autre de moi (mais je pense connue). Son intérêt est qu'il propose une formule vraiment étonnante.
Question 477: Soient $G,H$ deux graphes (non orientés). Je ne rapelle pas ce que veut dire "nombre chromatique" on trouve ça partout. On note $\phi(G,H)$ le graphe obtenu de la manière suivante:
1) ses sommets sont les couples $(x,y)$ tels que $x$ est un sommet de $G$ et $y$ est un sommet de $H$
2) $(a,x)$ est relié à $(b,y)$ quand $a=b$ et $x$ relié à $y$ dans $H$ ou quand $a$ et $b$ sont reliés dans $G$.
477.1: prouver que si on ne peut pas colorier $G$ avec 1 couleur et qu'on ne peut pas colorier $H$ avec $n$ couleurs alors on ne peut pas colorier $\phi(G,H)$ avec $2n+1$ couleurs
477.2: prouver que si on ne peut pas colorier $G$ avec 2 couleurs et qu'on ne peut pas colorier $H$ avec $n$ couleurs alors on ne peut pas colorier $\phi(G,H)$ avec $2n+2$ couleurs
477.3: soient $n,p$ des entiers. On note $\psi(n,p)$ le plus grand entier $k$ tel que pour tous graphes G,H si on ne peut pas colorier $G$ avec n couleurs et qu'on ne peut pas colorier $H$ avec $p$ couleurs alors on ne peut pas colorier $\phi(G,H)$ avec $k$ couleurs. Prouver que $\psi(n+1,p) \geq 1+\psi(n,p)$
477.4: prouver que pour tous entiers $n,p\geq 1: \psi(n+1,p) = 1+\psi(n,p)$
477.5: prouver que $\psi (n,p) = 2p + n$
(remarque: cette formule est quand-même insipide, non?)
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Si E est vide, sa dimension vaut -1 par convention, sinon :
0) L'espace E est de dimension 0 si sa topologie admet une base de parties à la fois ouvertes et fermées (clopen en anglais), soit encore une base de parties à frontière vide (ou de dimension -1). (Ceci implique que E est totalement discontinu.)
1) L'espace E est au plus de dimension 1 si sa topologie admet une base d'ouverts à frontière de dimension au plus 0.
n) L'espace E est de dimension au plus n si sa topologie admet une base d'ouverts à frontière de dimension au plus n-1.
Enfin l'espace E non vide est dit de dimension n s'il est de dimension au plus n mais n'est pas de dimension au plus n-1, et de dimension infinie s'il n'existe pas de n tel qu'il soit de dimension au plus n. Définition: soit E un ensemble. On appelle nombre chromatique de $E$ (chrom(E)) le plus petit cardinal $n$ tel qu'il existe $f: E\to n$ avec $\forall A,B$ élements de $E$, si $A\cap B\neq \emptyset$ alors $f(A)\neq f(B)$
Définition: soit E un espace topologique, R,S des recouvrements ouverts. On dit que $R\leq S$ quand $\forall U\in R\exists V\in S: U\subseteq V$
Définition: soit $E$ un espace topologique. On appelle dimension de $E$, le plus petit n tel que pour tout recouvrement ouvert $R$, il existe un recouvrement ouvert $S$ tel que $S\leq R$ et $chrom(S)\leq n+1$
les deux notions sont-elles équivalentes pour les espaces de dimension finie (pour l'une des deux déf, en précisant le sens, ça fait plusieurs questions en une)?
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Information: l'une des questions précédentes demande la chose suivante:
Existe-t-il deux connexes $C,D$ inclus dans $[0,1]^2$ disjoints, et des $x,y,z,t$ dans $[0,1]$ vérifiant: $(0,x)\in C$ et $(1,y)\in C$ et $(z,0)\in D)$ et $(t,1)\in D$?
La réponse est oui (quelqu'un me l'a fait remarquer incidemment hier): utiliser** le graphe de $x\mapsto sin(1/x)$ auquel on ajoute par exemple $(0,1/3)$
** en le faisant grossir progressivement à l'approche des abscisses nulles
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Pour tout $n\in \N^*$, il existe $k\in \N$ tel que pour tout $P$ polynome à coefficients dans $\R$ à $n$ indéterminées, si $\forall x_1,..,x_n: P(x_1,..,x_n)\geq 0$ alors il existe $k$ polynomes (à coefs dans $\R$) $Q_1,..,Q_k$ tels que $\forall x_1,..,x_n : P(x_1,..,x_n) = \sum_i (Q_i(x_1,..,x_n))^2$
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J'ai recopié soigneusement un contre-exemple du lien que tu donnes, qui est d'ailleurs un contre-exemple à un énoncé moins fort que 482, donc un contre-exemple plus fort:
X^4Y^2 + Y^4Z^2 + Z^4X^2 - 3X^2Y^2Z^2 est un polynome toujours positif qui n'est pas une somme de carrés de polynomes (si j'ai bien compris le paragraphe).
edit: voir message de Meu (en fait, je ne suis pas sûr d'être allé à la bonne page, j'essairai de mettre un bon exemple un peu plus tard, quand j'aurai bien lu toutes les infos)
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Réponses
on a:
Noetherien et fBezout =>Q (je rappelle que (Bezout =>Q est ouvert, c'est ça la question 440)
J'ai donné un exemple d'énoncé simple répondant à la 441, en utilisant les anneaux de Boole.
Par contre, on a aussi banalement: (compact et Bezout) => Q
D'où question 442:, trouver un énoncé du premier ordre, si possible calculatoire $P$ vérifiant:
1) pour tout anneau commutatif unitaire $A$, si $A$ est noethérien ou $A$ est compact (compactifiable) alors $A\models P$ et
2) il existe un anneau commutatif unitaire $A$ tel que $A\models nonP$
Rappel: l'énoncé $Q$ est l'énoncé calculatoire du premier ordre qui dit: "toute matrice 2×2 est équivalente à une diag(a,ab)"
1) Il est bien connu que tous les anneaux principaux sont Smith
2) C'est un problème ouvert de savoir si tous les anneaux de Bézout sont Smith (d'après H.Lombardi qui me l'a confirmé par mail, en ce qui concerne aussi le cas précis des matrices 2×2, car Smith(2) =>Smith(n) pur tout n, parait-il)
Je ne m'intéressais pas du tout à ce genre de problème avant qu'un autre fil ne me permette de réaliser que:
3) Tous les anneaux Smith sont supercool.
Là, ça m'a mis sur le "Q", et du coup je me suis intéressé à ce truc bien connu de l'académisme à savoir le théorème (1).
Alors pourquoi je sépare:
a) parce que être Bézout / intègre / Smith sont des propriétés calculatoires simples du premier ordre (stables par tout un tas de choses, passage au produit bien souvent (quand on enlève des propriétés du genre "être intègre") , en tout cas à l'ultraproduit systématiquement!, sous le champ du théorème de la compacité de la logique, etc)
b) être noethérien / principal / (et plein d'autres trucs habituels sur les anneaux) sont des propriétés du deuxième ordre (ce sont des énoncés qui disent que toutes les parties de l'anneau vérifient ceci ou cela)
c) être supercool est une propriété d'aucun ordre borné en l'anneau
Or (3) est un théorème hallucinant de facilité (un tout petit rouage calculatoire fait qu'on prouve en quelques lignes un énoncé qui portent sur tous les ensembles de l'univers). Et ce rouage calculatoire (être Smith) est un problème ouvert (on ne sait pas si tous les Bézout sont smith).
C'est une situation fascinante! D'autant plus qu'il est routine de prouver:
4) tout anneau compact et Bézout est smith
Il est donc naturel de séparer et surtout le problème ouvert lui-même "sépare" les concepts. Ce qui est drôle est que la notion de "Smithitude" ne vient qu'après une découverte classique et pas comme ça de manière ad hoc. Et crois-moi, il me semble très rare de lier comme ça, dans les maths une artillerie du second ordre, une artillerie d'ordre $\infty$ et un rouage calculatoire $\forall \exists : calcul simple$
Définition:
D1) $A$ est Smith quand toute matrice 2×2 est équivalente dans $A$ à une matrice de la forme $diag(a,ab)$
D2) $A$ est supercool quand pour tout entier p, tous modules $M_1,..,M_p$ et toute forme $f$ qui est p-linéaire de $:=M_1\times ..\times M_p$ dans $A$, l'image de $P$ par $f$ est un idéal
D3) $A$ est p-supercool quand tous modules $M_1,..,M_p$ et toute forme $f$ qui est p-linéaire de $:=M_1\times ..\times M_p$ dans $A$, l'image de $P$ par $f$ est un idéal
et ce qui est fascinant est que:
T1) $A$ est 2-supercool => $A$ est p supercool est une évidence quasi formelle (un peu longue à écrire c'est tout)
T2) Smith => 2 supercool est "facile" mais un poil calculatoire
T3) Bézout + noethérien => Smith est difficile même si passé dans les moeurs (mais le principe est simple)
Tout ça pour des histoires de matrices 2×2 ...
T1) soit $f$ une forme p-linéaire sur $P:=\prod_i M_i$. Soit $g$ la forme bilinéaire de $Q:=M_1\times (R:=M_2\otimes M_3...)$ dans $A$ vérifiant $\forall x\in P: g(x_1, x_2\otimes ...) = f(x)$. L'image de $g$ est un idéal. Soit $r$ un élément de l'idéal $J$ engendré par $image(f, P)$. Il est donc dans $image(g, Q)$ qui est étant un idéal, $\supseteq J$. Soit $x_1\in M_1$ et $w\in (M_2\otimes M_3...)$ tel que $r=g(x_1, w)$. Or $r=g(x_1, w)$ est une somme de multiples d'éléments de $image(h, R)$ en notant $h(y):=g(x_1, (y_1\otimes ...))$. Or (récurrence), $image(h, R)$ est un idéal. Donc il existe $(x_2,..)$ tels que $f(x_1,x_2,..)=r$
T2) Soit $f$ bilinéaire de $P:=M\times N$ dans $A$. Soit $r\in $ l'idéal engendré par $image(f, P)$. On peut l'écrire sous la forme $r=f(e_1,u_1) + .. + f(e_k,u_k)$ pour un certain $k$ que l'on peut choisir minimum possible. Mais Smith entraine que $\exists x,y,z,t: f(e_1,u_1)+f(e_2,u_2) = f(xe_1+ye_2, zu_1+ tu_2)$, donc $k=1$
(exercice (difficile pour moi car calculatoire, mais easy pour toi) que si $M = Udiag(a,ab)V$ avec des $U,V$ inversibles, alors on peut utiliser $U,V$ pour obtenir $e'_i,u'_j$ avec les $e_i,u_j$ et $r= truc.f(e'_1,u'_1) + bidulef(e'_2,u'_2) = truc.a+bidule.a.b = machin.a$)
T3) est le grand classique académique. Pour les matrices 2×2, j'ai même fait un programme caml.
Partant d'une matrice 2×2 quelconque, tu construis une suite de matrices $n\mapsto \begin{pmatrix} a_n&b_n \\ c_n & d_n\end{pmatrix}$, telle que par une procédure qui est dans tous les cours classiques (je l'ai reproduite dans le fil rubrique = latex, sujet= matrice *****) si l'un des $b_n, c_n$ est non nul, tu remplaces $(a_n,b_n)$ (resp $(a_n,c_n)$ par $(a_{n+1}, 0)$ avec $a_{n+1}$ qui est pgcd de $a_n,b_n$ (resp $a_n,c_n$). S'ils sont tous les deux nuls, tu passes à $\begin{pmatrix} a_n&0 \\ d_n & d_n\end{pmatrix}$. A un moment, il y aura un $n$ tel que $a_{n+1}$ est un multiple de $a_n$ (noethérianité) et donc ça voulait dire que $a_n$ divisait $d_n,b_n,c_n$ et tu peux remettre des zéros partout sauf en $d_n$ qui est un multiple de $a_n$ et c'est la forme de Smith voulue (tu enregistres les opérations élémentaires et les multiplications par des matrices inversibles que tu as fait).
***** http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?10,746630,746649#msg-746649 (bon j'ai galéré un peu parce que je ne sais pas multiplier les matrices me faut 20mn à chaque fois, donc y a un "(-b)" inoffensif à la place de b, mais le principe sera rien pour toi)
Dans ce pdf, on trouve un exemple sophistiqué d'anneau intègre dont tous les idéaux finiment engendrés sont principaux. De plus, il vérifie, en outre, une propriété très puissante: toute intersection d'idéaux principaux est un idéal principal, et pour toute ensemble $L$ d'idéaux principaux, il existe un idéal principal $(d)$ tel que $\forall X\in L: (d)\supseteq X$ et pour tout $e$ vérifiant $\forall X\in L: (e)\supseteq X:$, forcément $(d))\subseteq (e)$. Il s'agit de l'anneau $H(\C)$ des fonctions entières (holomorphes définies sur $\C$). En gros, il a les mêmes propriétés que n'importe quel anneau de Boole, mais en plus il est intègre (alors que tout anneau de Boole intègre est isomorphe à $F_2$.
Comme exemple nécessitant moins d'acquis techniques, n'importe quelle ultrapuissance*** (non triviale) de $A:=(\Z, \times , +,0,1 )$ (ou de n'importe quel (enfin de beaucoup d'entre eux) anneau principal) est un anneau de Bézout intègre non principal
*** je "rappelle" ce que c'est pour ceux que ça intéresse: soit $E$ un ensemble et $W$ un ultrafiltre sur $E$. La $W$-ultrapuissance de $A$ est le quotient de l'anneau $(\Z^E, \times_{can}, +_{can}, Cste(0), Cste(1)) $ par $==$ où $f==g$ est déifni par $\{x\in E | f(x)=g(x)\}$
http://hlombardi.free.fr/publis/Hermite-Smith.pdf
429.i; 430.i; 431; 432; 433 (qui est une sorte de réciproque); 436; 440 ; 442
Les autres sont des curiosités ou exercice que j'ai posées un peu trop tôt avant d'enquêter sur le sujet.
$ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} i & j \\ k & l \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} u & 0 \\ 0 & uv \end{pmatrix} $
1) $ax+bz = iu$
2) $dz = ku $
3) $ ay + bt =juv$
4) $ dt = luv$
5) $xt =1+yz$
6) $il=1+jk$
(mais évidemment une fois écrit ça, je ne "vois" toujours pas, vu mon handicap calculatoire, "ce qui se passe" et en particulier où sont les pgcd, etc dans cette histoire, mais les lecteurs "voient" peut-être au premier coup d'oeil)
Ah siiiiiiiiiiiiiiii, je vois !!!!!!!! si on suppose a,b,d nuls, on obtient la nullité de u ce qui montre que $u\in (a)+(b)+(d)$ et réciproquement, la nullité de $u$ entraine la proportionnalité des lignes (x,z); (y,t) dans une matrice de det 1 et donc la nullité des coefs a,b et la nullité de d à cause du fait que ça enrtainerait dz=dt=0 donc une combi lin non triv dans la matrice des x,y,.. rooo je suis fier!
Question 444: Intuitivement parlant, je voudrais savoir si, étant donné une forme bilinéaire $f$ de $M\times N$ dans $A$, $A$ étant un anneau et $M,N$ des $A$-modules, et des éléments $(e_i,u_j), (i,j)$ variant dans $2$ de $M\times N$, il peut y avoir strictement plus d'éléments dans $\{f(e,u) | \exists x,y,z,t$ dans $A: e'=xe_0+ye_1,u'=zu_0+tu_1\}$ que dans l'ensemble des (multiples des) coefficients des matrices équivalentes dans $A$ à $(i,j)\mapsto f(e_i,u_j)$? (Voilà, je crois qu'elle est à peu près fidèle à mon manque. C'est peut-être trivial ou peut-être infidèle à ce que je voulais demander, on verra..)
Motivation: ce qui m'a capté dans ce thème est l'implication: Smith =>supercool (définitions ci-dessus). Mais j'ai fait grand bruit ensuite sur l'histoire de la Smithitude et sa relation avec Bézout et la noethérianité dans les documents existant. Par contre, alors que pourtant ça semble naturelle, je n'ai pas beaucoup interrogé sur l'éventualité suivante:
peut-être que de manière simple, Bézout (ou même faible-Bézout) =>supercoolitude, sans pour autant que Bézout => Smith ne soit vrai.
Voici une question que je pense en fait être un exercice que j'ai réussi à faire pendant que je laissais tourner la télé en attente des résultats (qu'on peut voir sur tous les sites étrangers lool mais bon...)
(Dans presque tous les anneaux ***) Soit $n\in \N$. On prend la matrice générique $M$ avec $n+1$ colonnes et $n$ lignes. Il existe alors une matrice colonne $X$ de $n+1$ cases composées de polynomes en les $(n+1)\times n$ indéterminées et une matrice ligne $Y$ de $n+1$ cases qui est idem et telles que:
1) $MX=0$ (dans l'anneau $\Z[indeterminees]$)
2) $YX=1$
Et tout ça, sans le déterminant
(*** je préciserai lesquels)
Je préfère énoncer une question 447 courte et excitante pour "certains" j'imagine.
On se donne les indéterminées $X(i,j)$ pour $(i,j)$ variant dans $n\times p$ et on prend la matrice générique** $M$ qui a p colonnes et n lignes, en se plaçant dans l'anneau $\Z[X_{i,j}, (i,j)\in n \times p]$
Exercice (ou question?)447: Pour tout entier $n$, montrer l'existence d'un $p$ et construire un vecteur colonne $A$ constitué de $p$ polynomes $(P_1,..,P_{p}) $ et vérifiant les deux choses suivantes:
1) L'idéal engendré par les $P_i$ contient tous les coefficients de $M$ qui sont sur une ligne dont le numéro i est tel que $P_i\neq 0$
2) $MA=0$
edit: non désolé, ce n'est encore pas le bon énoncé grrrr, bon je laisse à titre d'exo: trouver un contre-exemple
** ce qui signifie que les coefficients de $M$ sont les $X_{i,j}$
Remarque: en gros, la 446 disait qu'on pouvait remplacer (1) par une condition (1') plus forte dans la plupart des anneaux, mais dans ce cas, c'est pénible à énoncer car on ne peut plus énoncer le truc en fixant un simple anneau de polynomes
[size=x-small](1') l'idéal engendré est l'anneau entier[/size]
1) comme certains s'en souviennent, j'avais été obsédé dans le passé par trouver une preuve de trois lignes que dans tout anneau (commutatif) toute matrice ayant plus de lignes que de colonnes ases lignes liées. (***)
2) J'avais finalement réussi (lien à mettre), mais récemment, le problème ouvert mentionné par H.Lombardi et Meu ont rouvert m'ont appétit pour ces sujets amusants (et semblent-ils puissants).
3) Du coup je me suis dit "dans quelle classe d'anneaux non seulement le théorème évoqué en (1) est vrai, mais en plus il est vrai avec un témoin de Skolem en quelques sortes "constant" par rapport au problème". Et j'ai trouvé: il s'agit des "anneaux-tests".
4) Je les appelle comme ça, car ce sont des anneaux qui transforment des raisonnements en calculs (ils sont faits pour) et qui permettent donc de réécrire tout programme (fini quand-même lol) en un polynôme. Plus besoin de "if ... then ... else", dans ces anneau tout devient calcul.
5) Dans ces anneaux, la propriété de la 447 est trivialement vérifiée, mais j'ai eu à un moment l'impression qu'on pouvait l'étendre à tout anneau.
6) [size=x-small]Une remarque importante à faire est que ce procédé de transformer des raisonnements en calcul, ou des programmes en calculs est "bien connu", et ça s'appelle... faire du forcing. "In some sense", c'est un peu comme si on arrivait à obtenir $\forall x\exists yR(x,y)$ =>$\exists y\forall x R(x,y)$ et c'est "magique". Disons que "l'objet y" devient un objet dynamique: par exemple, en forcing, si on a une algèbre de Boole et une antichaine de $a_i$ de valeurs de vérité, une suite $i\mapsto u_i$ il existe un nom $z$ tel que $\forall i: $ si c'est $i$ qui est choisi par le générique alors $z=u_i$. Le $z$ (qui est pourtant un objet fixe), sera un vrai caméléon et prendre chaque fois la bonne valeur, quelque soit le "i" choisi par "l'oracle". Ca n'a rien de mystérieux, ce n'est que dû à la définition $z:=\{x | \forall i: (b_i $ => $ x\in u_i)\}$ qui même "classiquement" oblige $z$ à être "le" $u_i$ tel que $b_i$ est vrai mais en même temps ça révèle pourquoi l''axiome d'extensionnalité n'est pas innocent. .[/size]
Bon bref, je donne maintenant une série d'exos amusants et la définition de ce que j'ai décidé d'appeler "anneau-test". Je ne garantis pas la validité de tout (mais comme c'est précis, c'est pas grave, si c'est faux, quelqu'un fournira peut-être un contre-exemple), car j'ai juste passé tout ça en revue de tête vite fait, mais ça me semble ok:
a) Définition: un anneau test est un anneau dans lequel tout élément est multiple de son carré.
b) Exos 448 prouver que:
b.1) les idéaux premiers des anneaux-tests sont maximaux
b.2) un anneau noethérien est un anneau-test si et seulement si il est produit de corps
b.3) un anneau noethérien est un anneau-test si et seulement si il est artinien sans nilpotents
b.3) un anneau noethérien est un anneau-test si et seulement si tous les idéaux de $A[X]$ sont principaux
b.4) pour tous les anneaux A, si $A[X]$ est faiblement de Bézout alors $A$ est un anneau test (les anneaux que j'appelle "faiblement de Bézout" sont définis plus haut)
(concernant b3 c'est un truc que j'avais deja prouvé dans un autre fil il y a longtemps, mais à l'époque je n'avais vraiment remarqué le lien avec "les anneaux tests")
Ca donne un certain intérêt à ces anneaux toutes ces propriétés amusantes.
Pourquoi "anneaux-test"?
Réponse: soit $a, r,s$ des éléments de l'anneau: soit $k$ tel que $a=ka^2$. Dans tout quotient de $A$ par un idéal premier $ r(1-ak) + aks$ a la valeur de if a=0 then r else s.
Autrement dit programmer dans les anneaux tests (boucles mises à part) revient à juste construire une expression polynomiale (ce qui en passant illustre pourquoi les anneaux sont hautement indécidables en général).
Je pense, entre autre avoir prouvé une forme "uniforme" de (***) qui dit la chose suivante, dans les anneaux-tests. Etant donné une matrice avec strictement plus de lignes que de colonnes, il existe une série de coefficients (fixes, qui sont des polynomes en les coefs de la matrice) qui sont premiers entre eux et lient les lignes de la matrice dans tout quotient de l'anneau. (Autrement dit, on élimine les raisonnements par cas).
Exo 449: prouver l'énoncé précédent
Question 450: en l'absence de l'axiome du choix est-il consistant qu'il existe un anneau-test $K$ non fini tel que pour toute application $ f\in K\to K$ il existe $P\in K[X]$ tel que $\forall x\in K: "P(x)"=f(x)$?
(Remarque: en présence de l'axiome du choix, cette propriété caractérise les corps finis parmi les corps)
Est-ce que dans tout anneau( commutatif unitaire) un polynome ayant une infinité de racines peut se factoriser (je crois qu'on dit peut-être se scinder) en facteurs du premier degré?
Soit $E$ un ensemble, soit $T$ l'ensemble des fonctions partielles de $E$ dans $E$, et $G$ l'ensemble des couples $(f,g)\in E^{E\times E} \times T$ tels que $\forall e\in E\exists n\in \N: [x\mapsto f(g^n(e), x)]$ est constante, où $g^n$ désigne $g\circ g...\circ g$ (n fois).
On sait alors que pour tout $(f,g)\in G$ il existe une unique $a\in T$ telle que
$\forall e\in E: a(e) = f(g(e), a(g(e))) $
en effet, pour le comprendre, vous pouvez imaginer concrêtement avec les entiers une définition par récurrence du genre $a_{n+1}:=f(n,a_n)$ où $g$ est $0\mapsto 0, n+1\mapsto n$ sur $\N$ et où $h\mapsto f(0,h)$ est constante, par exemple.
Vous pouvez aussi imaginer la définition abstraite en caml suivante:
let rec a x = f(g x, a (g x))
qui est telle que si $(f,g)\in G$ alors "c'est une bonne définition qui n'est pas sensé boucler"
(en fait, elle boucle quand-même si caml "ne connait pas l'intimité de f", c'est à dire si caml ne "jette" pas t au moment du calcul de $f(e,t)$ quand $h\mapsto f(e,h)$ est constante)
Or il est difficile de connaitre "l'intimité" des objets mathématiques abstraits. Et pourtant, il y a une solution, précisément:
Exercice 452: démontrer l'existence d'une procédure "caml" (ou dans n'importe quel autre langage "correct") tel que pour tout couple $(f,g)\in G$ la procédure en question retourne la bonne fonction a telle que $\forall e\in E: a(e) = f(g(e), a(g(e))) $
sans violer l'intimité*** ( ) de $f$ et en considérant $g$ comme une boite noire.
(Evidemment, les informaticiens ne feront qu'une bouchée de cet exo, alors je les invite à poster leur éventuelle solution en encre blanche de manière à ne pas gacher le plaisir de ceux qui voudraient chercher)
*** pas le droit à un test du genre "if h est constante then blabla1 else blabla2
(si 5 ne convient pas, trouver le plus petit $n$ tel que c'est possible avec $2n+1$ à la place de $5$)
Remarque: par le théorème de Gleason, c'est possible (il existe au moins un $n$).
Question R454 (déjà posée dans un contexte plus général au début du fil, do'ù le "R" devant le numéro de la question): quel est le nombre chromatique $c$ de l'espace euclidien $\R^3\setminus \{(0,0,0)\}$ où il y a une arête entre deux vecteurs quand ils sont orthogonaux? (Idem par Gleason, $c\geq 4$).
Je reprécise la 451. C'est est-ce qu'il existe un polynome (non nul) qui ne puisse pas s'écrire sous la forme $\prod (a_iX+b_i)$ et qui a une infinité de racines? (précision: est-ce qu'il existe un anneau dans lequel ...(suite cidessus))
On prend le polynôme $(X^2+X+1) \times X(X-1) $ dans $\mathbb{F}_2[X]$ et on considère l'anneau $A= \mathbb{F}_2^{\N}$.
Toutes les suites de $0$ et de $1$ sont solutions, mais le polynôme n'est pas scindé.
Ou bien $(X^2+1) (X-1)X$ dans $\R^{\N}$.
question 457: existe-t-il, un anneau $A$ commutatif unitaire, un polynome $P$ de $A[X]$, qui a une infinité de solutions et tel qu'il n'existe aucun polynome scindable dont la fonction polynomiale coincide avec celle de $P$?
Pour motiver ces questions, je rappelle en fait le contexte qui était celui des questions qui ont précédé la 451, dont une qui me semblait succulente, donc je la répète: on n'a pas droit à l'axiome du choix, on est dans ZF + DC.
Existe-t-il un anneau infini $A$ (commutatif unitaire) tel que pour toute application $f$ de $A$ dans $A$, il existe un polynome $P$ de $A[X]$ dont la fonction polynomiale associée est exactement $f$?
christophe chalons écrivait:
> Existe-t-il un anneau infini $A$ (commutatif
> unitaire) tel que pour toute application $f$ de
> $A$ dans $A$, il existe un polynome $P$ de $A$
> dont la fonction polynomiale associée est
> exactement $f$?
C'est hautement suspect puisqu'on construit le cas échéant une application surjective d'une partie de A[X]=A^(N) dans 2^A evidemment, qu'en est-il avec les restrictions demandées (ZF+)...
L'intérêt de mon énoncé avec un anneau est qu'elle donne plus de grain à moudre car il y a la structure bien aimée des matheux addition et multiplication et pas seulement une surjection paradoxale, mais je ne sais pas si c'est consistant.
bin 460:= meme question que 457 en remplacant meme fn poly par ayant les memes racines
il y a essentiellement UNE fonction dont le fait qu elle SOIT un olynome suffit a rendre l anneau fini.
celle qui envoie tout le monde non nul sur 1 et envoie 0 sur 0. Son caractere polynome rend tous les non nuls inversobles
l anneau est donc un corps.
puis celle egale a 1 moins l autre qui envoie tt.le monde sur 0 et 0 sur
1 va se factoriser et le corps = l anneau = l ensemble fini des racines
On se place dans $\R^3$ muni de sa structure euclidienne usuelle. On note $G$ l'ensemble des droites vectorielles de $\R^3$ (celles qui passent par $0$). On note $A\subseteq G^2$ l'ensemble des couples de droites orthogonales. Comme je l'ai souvent redit, le graphe $(G,A)$ ne peut pas être colorié avec 3 couleurs (c'est un résultat superexcitant qui concerne entre autre la MQ). Bon, bref, le problème n'est pas là. La preuve qui suit prouve qu'on peut colorier $(G,A)$ avec quatre couleurs. Mais il y a un petit passage espiègle (très facile vous zinquiétez pas ) et la présente question 462 consiste à demander si on peut s'en passer.
Voici la preuve et je mets le passage espiègle en rouge.
On peut canoniquement couper l'espace via 3 plans qui passent par l'origine "orthogonaux" (je ne détaille pas, c'est facile de deviner de quoi je parle en disant "orthogonaux") entre eux (ce qui au passage découpe l'espace en 8 régions). Chaque droite à part très peu d'entre elles (ie un ensemble de mesure nulle que vous devinez aisément) passe par deux régions opposées (symétriques par rapport à l'origine). En dehors des droites incluses dans les plans, on vient ainsi de colorier avec 4 couleurs toutes les autres, et le coloriage est correct.
Par compacité, si $(G,A)$ n'était pas coloriable avec 4 couleurs, il aurait un de ses sous-graphes finis qui ne le serait pas, ie un ensemble fini $F$ de droites non coloriables avec 4 couleurs. Or c'est absurde, car il suffirait alors d'appliquer le raisonnement précédent en choissant les 3 plans de sorte qu'il ne contienne aucune des droites de $F$
Qui c'est qui aurait envie de nous faire un zoli coloriage avec 4 couleurs sans passer par l'étape rouge ci-dessus?
pour tout $x,y, z, t$ tous les quatre dans $E^k$, il existe $i\in k$ tel que $f(x,y)(i) = t_i$ ou $g(z,t)(i) = x_i$
Quand il existe de telles fonctions, on dit que $k$ est $E$-correct.
Question 463: existe-t-il un ensemble fini $E$ tel que $\forall k\in \N: k$ n'est pas $E$-correct?
(j'ai mis "ensemble fini" plutôt qu'entier pour aider à la distinction, bien entendu, la question ne dépend que du cardinal de $E$)
EDIT:
voire post suivant, je reformule la question:
Soit $E$ un ensemble fini et $k$ un entier. On cherche deux fonctions $f,g$ allant $E^k$ dans $E^k$ ayant les propriétés suivantes:
pour tout $x, t$ tous les deux dans $E^k$, il existe $i\in k$ tel que $f(x)(i) = t_i$ ou $g(t)(i) = x_i$
Quand il existe de telles fonctions, on dit que $k$ est $E$-correct.
Question 463bis: existe-t-il un ensemble fini $E$ tel que $\forall k\in \N: k$ n'est pas $E$-correct?
(les 463 et 463bis semblent équivalentes)
Quelle définition peut-on proposer pour la suite de suites de nombres du fichier joint (à lire en colonnes, j'ai mis 9 colonnes pour que ça ne prenne pas trop de place, mais passage d'une colonne à la suivante revient à "continuer" (comme pour passer d'une page à la suivante)
Soit $C:=[0,1]^2$ et A,B des connexes (mais tout l'intérêt est qu'on ne suppose rien de plus) inclus dans $C$. A-t-on forcément:
1) On appelle hypergraphe, un couple $G:=(E_G,A_G)$ où $A_G\subseteq P(E_G)$
2) On appelle coloration de $G$ avec les éléments de $X$, une application de $E$ dans $X$ telle que $\forall U\in A: f_{|U}$ n'est pas constante
3) on dit que $G$ peut être colorié avec $X$ couleurs quand il existe une coloration de $G$ avec les éléments de $X$
4) Pour $G,H$ des hypergraphes, on note $G\otimes H$ l'hypergraphe (**) obtenu par:
$E_{G\otimes H} := E_G\times E_H$ et $A_{G\otimes H} :=\{U\subseteq E_{G\otimes H} | proj_{gauche} (U)\in A_G$ et $proj_{droite}(U)\in A_H\}$
en notant $proj_{gauche } (X) := \{x | \exists y: (x,y)\in X\}$, def similaire pour "droite"
La conjecture dit: soient $G,H$ des hypergraphes finis et $X$ un ensemble fini. Si ni $G$, ni $H$ ne peuvent être coloriés avec $X$ couleurs alors $G\otimes H$ non plus
[size=x-small](**) j'ai choisi $\otimes$ comme notation à cause "d'une erreur de point de vue" généré par l'approche catégorique (qui a ses qualités, mais se fourvoie dans les notions profondes via le rebus catégories $\to $ théorèmes / bon point de vue $\to $ énoncés, ie elles "effacent" (un peu comme des élèves coincés qui n'arriveraient pas à même écrire "2=3" (je ne parle pas de l'affirmer) sous le prétexte qu'elle est fausse). Je crois que dans la littérateure c'est un autre signe, plus naif , qui est utilisé pour le produit d'hypergraphes[/size]
on suppose qu'on s'est donné une sujection $u$ d'un ordinal (le plus petit possible) sur $C$, et une surjection $v$ sur l'ensemble des couples d'ouverts. On construit progressivement des éléments $f(i), g(j)$ des futurs connexes disjoints désirés.
à l'étape (paire) $a:$, on regarde le couple $(U,V):=v(a)$. On veut qu'il ne sépare aucun de deux futurs connexes $A,B$ qu'on essaie de construire. On ne s'inquiète que quand $(U,V)$ sépare les $f(i),i\in a$ (formant l'ensemble provisoire $A'$) déjà construits du futur $A$. On a donc le "problème" que $U\cap V\cap A' = \emptyset$. On souhaite donc choisir un point qui sera dans le futur $A$ (qui n'est pas encore dans $A'$) qui n'a pas l'interdiction d'être dans le futur $B$ (ie qui n'est pas déjà dans $B'$) et qui est dans $U\cap V$. Cela n'est possible que si $U\cap V\neq \emptyset$ (et cela est possible dans ce cas). Par contre, il se peut que $U\cap V=\emptyset$. Auquel cas il faut trouver un point en dehors de $U\cup V$ qui a le droit d'être dans le futur $A$ et qu'on va ajouter à $A'$ (et qui sera $f(a):=$ ce point). C'est possible dès lors qu'on a l'énoncé suivant:
deux ouverts disjoints du carré C sont tels que le complémentaire de leur réunion a la puissance du continu
Or cet énoncé me parait tout à fait raisonnable ??
Cela donne la question468:
est-ce que deux ouverts disjoints du carré C sont tels que le complémentaire (dans C) de leur réunion a la puissance du continu?
Ainsi que la question 469: même question que 466 en remplaçant connexe par connexe borélien?
Question 471: Soit $A$ un anneau fini. Soit $T\subseteq A$ stable par produits, ie $\forall (a,b)\in T^2: ab\in T$ et qui contient au moins un élément non inversible. Existe-t-il forcément un idéal maximal $M$ tel que $card(M\cap T)\geq card(T\setminus M)$?
Pour la question 470, $\Z / 2\Z$ ne convient-il pas avec $T=\{0\}$ et $M=\{0\}$ ?
[Edit: je n'avais pas compris la question ... donc ma réponse n'est pas correcte]
en fait, la 470 est probablement très difficile car je pense qu'elle est équivalente à une conjecture relativement "célèbre" (elle l'implique), dite conjecture de Frankl (sui po sûr)
La 471 a des chances d'être cassable car la conjecture de Frankl a parait-il la réputation d'être particulièrement résistante aux tentatives de généralisations (ie à chaque parait-il que quelqu'un la généralise c'est trouvé faux très vite).
Conjecture de Frankl:
si $T\subseteq P(P(E))$ ne contient pas que l'ensemble vide et est stable par $x,y\mapsto x\cup y$, alors il y a un élément de $E$ qui appartient à au moins la moitié des éléments de $T$ (E fini)
Voici des exemples que j'ai fait en caml pour voir (en lignes la situation d'un élément en colonnes chaque ensemble de la famille):
Hélas, ça s'apprécie que si tu le visualises avec un editeur de texte qui égalise tous les caractères en largeur de sorte que le côté matrice soit visible:
$P = Q_1 - R_1 = Q_1 + V - T_1$ et
$P = Q_2 - R_2 = Q_2 + V - T_2$ et $k$ est racine de $P$ mais pas de $Q_1,Q_2,R_1,R_2, V, T_1,T_2$. On veut aussi $\forall n\leq k-1: $ si $n\in \N$ alors $n$ est racine de $P;Q_1,Q_2,R_1,R_2, V, T_1,T_2$ et les fonctions polynomiales $f$ associées respectivement à $P, Q_1,Q_2,R_1,R_2, V, T_1,T_2$ sont toutes telles que $f(\N)\subseteq \N$ et sont croissantes
edit: la réponse est "oui", je rajouterai une condition plus tard.
475.1: peut-on prouver cet énoncé dans ZFC seul?
475.2: peut-on prouver cet énoncé dans ZF seul?
Question 476: soit $E$ un ensemble. Soit $R$ une partie de $E^4$. Soient $U,V$ des ultrafiltres sur $\N$. On note $G(E,R,U,V)$ le jeu suivant:
Alice joue $a_1\in E$ et Bob répond par $x_1$, puis Alice joue $b_1$ puis Bob répond par $y_1$ puis alice joue $a_2$ puis Bob répond par $x_2$, etc, etc.
Alice est déclarée gagnante quand $\{(n,p)\in \N^2 \ |\ (a_n,x_n,b_p,y_p)\in R \}\in U\times V$.
Quand pour tout couple d'ultrafiltres $(U,V)$, Bob n'a pas de stratégie infaillible qui lui permette de gagner $G(E,R,U,V)$ on dit que $(E,R)$ est "anté".
Soient $A,B$ deux ensembles. On appelle "toile" de $A\times B$ une partie $Z$ de $A\times B$ telle que $\forall x\in A\exists y\in B: (x,y)\in Z$ et $\forall y\in B\exists x\in A: (x,y)\in Z$.
Est-ce que pour tout couple de $(E,R)$ si $(E,R) $ est anté alors $\exists (a,b)\in E^2: \{(x,y)\in E^2: (a,x,b,y)\in R\}$ est une toile de $E\times E$?
Question 477: Soient $G,H$ deux graphes (non orientés). Je ne rapelle pas ce que veut dire "nombre chromatique" on trouve ça partout. On note $\phi(G,H)$ le graphe obtenu de la manière suivante:
1) ses sommets sont les couples $(x,y)$ tels que $x$ est un sommet de $G$ et $y$ est un sommet de $H$
2) $(a,x)$ est relié à $(b,y)$ quand $a=b$ et $x$ relié à $y$ dans $H$ ou quand $a$ et $b$ sont reliés dans $G$.
477.1: prouver que si on ne peut pas colorier $G$ avec 1 couleur et qu'on ne peut pas colorier $H$ avec $n$ couleurs alors on ne peut pas colorier $\phi(G,H)$ avec $2n+1$ couleurs
477.2: prouver que si on ne peut pas colorier $G$ avec 2 couleurs et qu'on ne peut pas colorier $H$ avec $n$ couleurs alors on ne peut pas colorier $\phi(G,H)$ avec $2n+2$ couleurs
477.3: soient $n,p$ des entiers. On note $\psi(n,p)$ le plus grand entier $k$ tel que pour tous graphes G,H si on ne peut pas colorier $G$ avec n couleurs et qu'on ne peut pas colorier $H$ avec $p$ couleurs alors on ne peut pas colorier $\phi(G,H)$ avec $k$ couleurs. Prouver que $\psi(n+1,p) \geq 1+\psi(n,p)$
477.4: prouver que pour tous entiers $n,p\geq 1: \psi(n+1,p) = 1+\psi(n,p)$
477.5: prouver que $\psi (n,p) = 2p + n$
(remarque: cette formule est quand-même insipide, non?)
Voici deux définitions: tirées du fil http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,764299,764718#msg-764718
Si E est vide, sa dimension vaut -1 par convention, sinon :
0) L'espace E est de dimension 0 si sa topologie admet une base de parties à la fois ouvertes et fermées (clopen en anglais), soit encore une base de parties à frontière vide (ou de dimension -1). (Ceci implique que E est totalement discontinu.)
1) L'espace E est au plus de dimension 1 si sa topologie admet une base d'ouverts à frontière de dimension au plus 0.
n) L'espace E est de dimension au plus n si sa topologie admet une base d'ouverts à frontière de dimension au plus n-1.
Enfin l'espace E non vide est dit de dimension n s'il est de dimension au plus n mais n'est pas de dimension au plus n-1, et de dimension infinie s'il n'existe pas de n tel qu'il soit de dimension au plus n.
Définition: soit E un ensemble. On appelle nombre chromatique de $E$ (chrom(E)) le plus petit cardinal $n$ tel qu'il existe $f: E\to n$ avec $\forall A,B$ élements de $E$, si $A\cap B\neq \emptyset$ alors $f(A)\neq f(B)$
Définition: soit E un espace topologique, R,S des recouvrements ouverts. On dit que $R\leq S$ quand $\forall U\in R\exists V\in S: U\subseteq V$
Définition: soit $E$ un espace topologique. On appelle dimension de $E$, le plus petit n tel que pour tout recouvrement ouvert $R$, il existe un recouvrement ouvert $S$ tel que $S\leq R$ et $chrom(S)\leq n+1$
les deux notions sont-elles équivalentes pour les espaces de dimension finie (pour l'une des deux déf, en précisant le sens, ça fait plusieurs questions en une)?
Existe-t-il deux connexes $C,D$ inclus dans $[0,1]^2$ disjoints, et des $x,y,z,t$ dans $[0,1]$ vérifiant: $(0,x)\in C$ et $(1,y)\in C$ et $(z,0)\in D)$ et $(t,1)\in D$?
La réponse est oui (quelqu'un me l'a fait remarquer incidemment hier): utiliser** le graphe de $x\mapsto sin(1/x)$ auquel on ajoute par exemple $(0,1/3)$
** en le faisant grossir progressivement à l'approche des abscisses nulles
Pour tout $n\in \N^*$, il existe $k\in \N$ tel que pour tout $P$ polynome à coefficients dans $\R$ à $n$ indéterminées, si $\forall x_1,..,x_n: P(x_1,..,x_n)\geq 0$ alors il existe $k$ polynomes (à coefs dans $\R$) $Q_1,..,Q_k$ tels que $\forall x_1,..,x_n : P(x_1,..,x_n) = \sum_i (Q_i(x_1,..,x_n))^2$
J'ai recopié soigneusement un contre-exemple du lien que tu donnes, qui est d'ailleurs un contre-exemple à un énoncé moins fort que 482, donc un contre-exemple plus fort:
X^4Y^2 + Y^4Z^2 + Z^4X^2 - 3X^2Y^2Z^2 est un polynome toujours positif qui n'est pas une somme de carrés de polynomes (si j'ai bien compris le paragraphe).
edit: voir message de Meu (en fait, je ne suis pas sûr d'être allé à la bonne page, j'essairai de mettre un bon exemple un peu plus tard, quand j'aurai bien lu toutes les infos)