mystère du chiffre neuf

hamster jovial

Depuis maintenant pas mal d'années, je me demande pourquoi il y a un mystère dans le chiffre neuf (9)
lorsque vous multipliez n'importe quel nombre par le chiffre neuf, la somme des chiffres du résultat est toujours égale à 9.

Petite explication :
3x9 = 27 ; 7+2=9
8 x 9 = 54 ; 5+4 = 9

Ceci ne marche qu'avec le chiffre neuf
Y a-t-il une explication cohérente et logique à cela ?
Merci d'avance de vos commentaires car ça fait quand même pas mal d'années que je me pose la question.

Aleg

"lorsque vous multipliez n'importe quel nombre par le chiffre neuf, la somme des chiffres du resultat est toujours egale a 9."

Ah bon, "n'importe quel nombre ?"....

willouuu

9*0=...

aléa

$9\times x =(10-1)\times x =10\times x -x=10\times (x-1)+10-x=10\times (x-1) + 9-(x-1)$, donc $x-1$ est le chiffre des dizaines, $10-x=9-(x-1)$ celui des unités.

aléa

Oui, bon, chiffre, donc $1\le x\le 9$, vous êtes moqueurs...

Richard André-Jeannin

hamster jovial est sur la voie de la preuve par 9.

Zo!

Mais il faudra qu'il révise sa table de multiplication par 9. Je cite : 8 x 9 = 54

Toto.le.zero

bien vu Zo!

jean-yves.tallet

Intuitivement on pourrait supposer que c'est valable dans toutes les bases de numération pour la multiplication par le plus grand chiffre que l'on note dans cette base, mais je suis trop rouillé et fatigué pour poser plus avant le problème.
Cependant je perçois vaguement, à moins de dire une grosse c.....ie, que le binaire est une exception puisque tout nombre, même écrit en binaire qui est multiplié par 1 est identique à lui-même d'une part et... comporte effectivement un certain nombre de bits à 1, sauf le 0. Donc ce n'est pas une exception et j'allais en dire une... Je me suis mélangé les idées avec la notion de parité et de CRC ( cyclic redondancy check ) qui n'a ici rien a voir.
En fait oui et non : à part pour 0 x 1 qui vaut 0, la somme des bits vaut 1 en binaire ou 2 = 10 en binaire qui vaut aussi 1 en parité mais jamais 0.

Mais ce qui m'étonne est que l'on n'a pas clairement les deux classes avec 0 d'un côté et 1 de l'autre. Sauf si on admet le déséquilibre du remplissge avec tous les éléments notés avec un un au minimum par rapport à l'unique zéro.

Pouvez-vous répondre ?

aléa

En base $b$ on a la même propriété pour la multiplication par $b-1$ d'un nombre $x$ qui vérifie $1\le x\le b$: la somme des chiffres fait $b-1$. La preuve est la même que pour $10$, il suffit de remplacer $10$ par $b$ et 9 par $b-1$. Pour $b=2$, c'est encore vrai: la somme des chiffres de l'écriture en base 2 de 1.1=1="01" et la somme des chiffres l'écriture de 2.1=2="10" font bien 1.

christophe c

Ces petis moments ("8×9=54") font tout le charme d'un forum...

Sinon "hamster", c'est parce que, en utilisant la notation*****:

...+100c+10b+a=...+99c+9b+c+b+a=9×(plein de trucs) + [...+c+b+a]

et donc "nombre" == "somme de ses chiffres"

Ce raisonnement est indépendant de la base

*****"x==y" signifie "x=y + un multiple de 9"

remarque

Ce que rappelle Christophe, c'est un truc qu'on apprenait tout petit dans le temps : le critère de divisibilité par $9$. Un joli truc récursif, soit dit en passant. Par contre, ce n'était pas expliqué. Ca marche pareil en base $b$, bien sûr, sauf que pour $b=2$, le critère de divisibilité par $2-1=1$ n'est pas très excitant, ni mystérieux.

geo

Remarque c'est toujours enseigné au collège en sixième mais en étant admis

Helips0

bonjour,

c'est aussi enseigné (et prouvé) en première L (option)

lardon1

Petite démo

Soit un nombre entier "a" à deux chiffres. Alors il existe un unique "q0" et un unique "r0" tels que :
a=10*q0+r0 (division euclidienne (division entière)).
Il existe un unique "q1" et un unique "r1" tels que:
q0 = 10*q1+r1
De là on a :
a=10*(10*q1+r1)+r0 = 100*q1+10*r1+r0
Comme "a" est un nombre à deux chiffres, q1=0.
Donc :
a=10*r1+r0
r1 est le chiffre des dizaines de "a" et r0 celui des unités. Si on soustrait à "a" r0+r1 on obtient :
a-(r1+r0)=a-r1-r0=10*r1+r0-r1-r0=10*r1-r1=9*r1, r1 étant un nombre entier. On a donc montré que a-r1-r0 = 9 k, k entier.
Cela signifie que a-r1-r0 est toujours multiple de 9 (0, 9, 18...54...72, 81...)
C'est facilement vérifiable : sur n'importe quel chiffre ou nombre de 0 à l'infini, si vous soustrayez de ce chiffre ou nombre la somme des chiffres qui le compose, vous trouverez invariablement un multiple de 9.

Dites moi ce que vous en pensez.
Merci

Cidrolin

Bonjour,

Comment fonctionne ce tour de magie divinatoire :http://www.echecsetmaths.com/enigme/magie/magicien.htm ?

En voici un autre http://www.slideshare.net/jeanbamin/le-tour-de-magie-de-sarkozy qui fonctionne autrement.

Christian Vassard

On peut faire plus court non?
Un nombre à deux chiffres s'écrti sous la forme $a*10+b$, avec $a$ et $b$ entier compris entre 0 et 9. Si l'on retire $a+b$, il reste $9a$... qui est bien un multiple de 9. Non?
Christian

nicolas.patrois

Ou modulo 9, 10a+b=a+b.

LEF0

Je vais faire mon lourd, mais je ne suis pas d'accord avec les gens qui disent qu'un chiffre c'est un $x$ tel que $1 \leq x \leq 9$, je pense qu'un chiffre c'est un caractère, une lettre, qui représente un nombre. Pour moi, dire "lorsque vous multipliez n'importe quel nombre par le chiffre neuf" c'est pareil que de dire "lorsque vous multipliez n'importe quel nombre par la lettre $a$", donc ça n'a aucun sens, on multiplie des nombres et pas des chiffres (même si bien sûr je chipote et qu'on comprend le sens).

lardon1

En quelque sorte Christian, mais la démo est-elle valable avec un nombre à 3 chiffres et plus ?

lardon1

Bonjour Cidrolin

Il ne s'agit pas de tours de magie divinatoires.

Peux t-on penser raisonnablement qu'un ordinateur puisse lire dans les pensées?

On l'a démontré plus haut, et c'est valable pour tous les nombres de 0 à l'infini : si l'on soustrait à un nombre (ou chiffre) la somme des chiffres qui le compose on obtient un multiple de 9.
Lorsque vous penser à votre chiffre (32 par exemple) vous obtenez 27 (32-3-2) auquel correspond un symbole dans la grille (par exemple €)
Recommencez avec le meme nombre, donc toujours 32 et regardez ce coup ci le symbole lié à 27 (ce coup ci c'est £ par exemple). Il a changé. Bizarre non? Regardez maintenant les symboles liés à tout les multiples de 9 en commençant par 0. Alors, ils ne seraient pas tous identiques par hasard ?
En fait à chaque nouvelle grille le symbole lié aux multiples de 9 change ce qui déroute effectivement.

Concernant le tour de cartes de Nicolas, il s'agit d'une escroquerie. Qui serait étonné ?
6 cartes au départ. 5 cartes restantes, mais aucune ne correspond à celle du départ, donc forcément la carte choisie a disparu avec les 6 du départ.

Cordialement

Christian Vassard

A lardon1
Bien sûr, il suffit d'écrire. Ainsi:
a*10^4+b*10^3+c*10^2+d*10+e = a*9999+b*999+c*99+d*9+e+d+c+b+a.
On comprend que dès que la somme des chiffres est divisible par 3, ou 9, il en est de même du nombre considéré (sans congruence donc, sinon c'est encore plus évident).
Idem avec un nombre de n chiffres...
Bien cordialement,
Christian

Braun

Bonsoir,
Pour ceux qu'un peu d'exotisme intéresse, le site de l'Iufm:
http://mathsplp.creteil.iufm.fr/ht_works/arithmetique/arit0196/xrit0196.htm
Propose en animation Java la "preuve par quinze", voire la "preuve par neuf", mais pour ma part je ne vois toujours pas en quoi ce chiffre est si mystérieux.
Par contre je touve beaucoup plus symbolique que la preuve par un n'existe pas, ce qui implique d'autres méthodes pour les "contrôles" en informatique.

mounir_ISLAM

bsr
autre mystere dans le nombre 19


19*1=19 et 1+9=10 et 1+0=1 (le nombre multiplié par 19)
19*2=38 et et 3+8=2 (le nombre multiplié par 19)
19*3=57 et 5+7=3 (......................


19*8=152 et 1+5+2=8
19*9=171 et 1+7+1=9


19*12=228 et 2+2+8=3 1+2=3 !!!!!!!!!!


et à vous de continuer l'éxpérience et voir est ce que ca est valable pour tout entier !!!!
lool

Ciara

Tout à fait, et on a la même propriété en remplacant 19 par 10, 28, 37, 46... i.e. tous les nombres c ongrus à 1 modulo 9.

Elisa5

Astuce, Prend tes dix doigs, mets les devant toi, multipli 9 par un chiffre de 1 a 10, ex: 9 x 6 = besse ton sixième doigs (en partant de la guauche) tu trouve a ta guauche 6 doigs, et a ta droite 3 doigs separés pas ton sixième doigs / = 9 x 6 = 63 si tu est logique tu peux comprendre pourquoi la somme des chiffre multiplier par 9 (entre 1 à 10) est egale a 9,

remarque

Prend tes dix doigs,

C'est pas possible, il n'en reste plus.

Goava

Salut tu m'a fait bien rire....:)-D

mathman13

le mystere et aussi avec 3

Amédé

Ne serait-ce pas la propriété tout nombre est congru à la somme de ses chiffres modulo 9 ?
$8\times 9=72$ et $7+2=9$ ...

Amédé

Et modulo 3 d'ailleurs. Pour le voir on décompose en base 10 et on passe aux modulos.

francois51

Une preuve simple c'est par congruence, prenons un nombre divisible par 9, $n=\sum a_i 10^i$ en décomposant en écriture décimale, de plus $10^i\equiv 1 [9]$, par combinaison linéaire $n\equiv \sum a_i \equiv 0 [9]$ car le nombre est divisible par 9, ainsi la somme des chiffres est divisible par 9.


Sinon vous alliez par récurrence sur n : pour tout $p\leq n$, si p est divisible par 9, alors la somme des chiffres de p est divisible par 9.
Supposons alors que n+1 soit divisible par 9, alors n-8 est divisible par 9 aussi et donc la somme des chiffres de n-8 est divisible par 9.
Ensuite il y a plus qu'à distinguer les cas pour calculer la somme des chiffres de n+1 en fonction de n-8 (cela va dépendre du chiffre des unité de n-8 soit 10 cas à traiter, quoique certains sont similaires).

Amédé

C'est un "classico" de terminale S B-)-

UneJeune4emeQuiAvaitBesoinDaide

#lardon1
Je suis en 4ème et j'ai eu un exercice sur se sujet.
N'ayant pas encore découvert le "mystere du chiffre 9", votre post m'a beaucoup aidé, même si jai eu un peu de mal a le "déchiffrer" ;-)
Bref, merci beaucoup de votre explication qui était quand-même plutôt claire :-)

UneJeune4emeQuiAvaitBesoinDaide

ivisis31

Bonjour autre mystère de 9
143-134=9,
587-578=9,
598-589=9:-)

Et aussi...
4573-3754=819[8+9+1=18(1+8=9)]:-)
9575-5759=3816[3+8+1+6=18(1+8=9)]

Qu'en pensez-vous?
Merci<3<3<3<3:

GreginGre

Que ça marche tout le temps, et que cela se démontre très facilement en décomposant en écriture décimale.

Bon travail ;-)

Cidrolin

Le nombre $11$ est aussi mystérieux, on l'utilise pour ajouter des fractions par juxtaposition des chiffres

$\dfrac {2}{7} +\dfrac {6}{7} =\dfrac {26}{77}+\dfrac {62}{77}=\dfrac {88}{77}=\dfrac {8}{7}$

$\dfrac {3}{4}+\dfrac {7}{4}=\dfrac {37}{44}+\dfrac {73}{44}=\dfrac {110}{44}=\dfrac {10}{4}$

Amicalement

tari

Correction pour Elisa qui avait fait une démonstration intéressante

6*9
Baisse ton sixième doigt : il reste 5 doigts à gauche et 4 à droite ce qui fait bien 54

Cidrolin

Quand on divise par $9$ un nombre dont la somme des chiffres de l'écriture décimale vaut $9$,

on trouve un nombre dont les chiffres non nuls sont croissants.

Par exemple $\dfrac{40120101}{9}=4457789$

kioups

C'est intéressant ça ! Tu as une preuve ?

Cidrolin

Non pas de preuve.

Par contre il est facile de démontrer que si un nombre $n$ a tous ses chiffres différents

écrits du plus petit au plus grand (comme $1247$) alors la somme des chiffres de $9n$

vaut $9$. Ces nombres $n$ constituent la suite :

List of numbers whose decimal digits are in strictly increasing order

samok

\begin{racontage de life}
Cette année je joue à domicile (je suis TZR) pour une durée indéterminée.
Je peux me rendre à pieds sur mon lieu de travail.
Avant d'arriver il y a un trottoir goudronné que je chemine et qui est troué par l'apparition, l'éclosion, ou l'explosion (?) de plantes vertes ! (bon là elles commencent à se flétrir)
\end{racontage de life}

Vos rares écrits me font le même effet sieur Cidrolin, merci à vous.

(pour les esprits chagrins à force de formalisme, je me place dans ZFB où le beau est un axiome.)



S

Rescassol

Bonne nuit,

Saluons dignement le retour de sieur Samok, Hallelujah !!

Cordialement,

Rescassol

Amtagpa

Voici une preuve du résultat de Cidrolin (bien vu !).

On écrit $a=\sum_{i=0}^N c_i10^i$ avec $\sum_{i=0}^N c_i=9$ et $c_i$ compris entre $0$ et $9$. Alors \begin{align*}\frac{a}9&=\sum_{i=0}^N c_i \frac{10^i-1}9+\sum_{i=0}^N \frac{c_i}9\\
&=\sum_{i=0}^N c_i \underbrace{\overline{1\cdots1}}_{i \textrm{ fois}}+1\\
&=\sum_{i=1}^N \underbrace{\overline{c_i\cdots c_i}}_{i\textrm{ fois}}+1.
\end{align*}
Quitte à diviser $a$ par $10^m$, on peut supposer $c_0\ge1$ et alors le résultat est clair en posant l'addition car $$0\le c_N=\sum_{i=N}^N c_i\le \cdots\le\sum_{i=2}^N c_i \le\sum_{i=1}^N c_i+1=10-c_0\le9.$$

(Donc sauf erreur, on a même les chiffres de $\frac{a}9$ et il n'y a pas de zéros au milieu.)

Cidrolin

Bravo Amtagpa (tu)

Utilisateur anonyme

Joli :-).

Amtagpa

On a en fait l'équivalence suivante en base $10$ pour $a=9b$ avec $a,b$ entiers naturels non divisibles par $10$ (s'ils sont divisibles par $10$, on rajoute des zéros à droite, et ça s'adapte aussi en base quelconque) :

La somme des chiffres de $a=9b$ vaut $9$ si est seulement si les chiffres de $b=\frac{a}9$ sont croissants (de gauche à droite) et l'inégalité est stricte pour les deux derniers chiffres.

Cidrolin

Pour la réciproque on peut utiliser la méthode d'Arthur Benjamin

dans The magic of math page 70 :

Amtagpa

Merci Cidrolin pour cette méthode du Mathemagician pour la réciproque. (tu)

J'avais une version inutilement compliquée (qui utilise la preuve de l'implication directe) : si $(d_i)_{0\le i\le N-1}$ sont les chiffres de $b$, on définit $(c_i)_{0\le i\le N}$ par $c_0=10-d_0$, $\sum_{i=1}^N c_i+1=d_0$ et $\sum_{i=k}^N c_i=d_{k-1}$ pour $2\le k\le N$ (c'est bien défini avec les hypothèses sur $b$ et on a $0\le c_i\le 9$ et $c_0\ge1$). Le nombre $a'$ dont les chiffres sont les $c_i$ a la somme de ses chiffres égale à $9$ et on a vu que $\frac{a'}9=b$ donc $a=a'$...

On pourrait aussi utiliser ta preuve de la réciproque pour montrer l'implication initiale. :-)

kioups

Merci Amtagpa !

Cidrolin

Bonjour,

Pour $n\in\N^*$, on considère $f(n)$ le nombre de chiffres de la concaténation $123456789101112 \cdots n$.

Par exemple $f(104)=204$, dans la concaténation il y a $9$ nombres de $1$ chiffre; $90$ nombres de $2$ chiffres; $5$ nombres de $3$ chiffres et $1\times9+2\times90+3\times5=204$.

Montrer que $f(10n)-f(n)-n$ est toujours un multiple de neuf.