Il reste donc 4) Tout bâtir sur le sable en espérant ne pas être là quand ça va s'écrouler.
Non, (3) suffit dans ce cas-là. Mais je ne pense pas que la notion d'ensemble soit si tabou que ça, il faut distinguer entre les restes psychanalytiques de l'antiboubakisme et le sérieux. Les intervalles et les courbes sont des ensembles, les figures du clg aussi, etc.. Bref, même pour les enfants, tout l'est ou presque
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
quand on pense que la définition correcte des relations binaires et des fonctions était au programmes de 6-ième ou 5-ième dans les années 80...ce qui permettait, raffinement indéniablede définir les vecteurs et les fractions comme classe d'équivalence...Au total, ce sont les mêmes personnes qui défendent le programmes actuels et ceux d'autrefois...En ce qui concerne les tabous, il n'y a pas d'autre risque que celui de se faire critiquer; dans ce cas, il reste à juger sereinement de la valeur de la critique et de la personne qui émet cette critique.
Christophe,
Il me semble qu'il y a malentendu. Sur l'axiomatique je suis d'accord avec
toi mais la on parle d'enseigner a des eleves de 15 - 16 ans.
Si tu acceptes d'identifier une fonction a une courbe, un releve de temperatures
au jour le jour sera considere par les eleves comme une fonction.
Or si axiomatiquement c'est valable, ca n'est pas du tout ce qu'on veut
faire comprendre aux eleve quand on leur explique ce qu'est une fonction,
car pour eux c'est la premiere fois qu'ils verront cette notion et ils
n'auront aucun recul. Donc autoriser d'identifier les deux est une source
evidente de confusion chez les eleves. Mais peut-etre n'as tu jamais
eu l'occasion d'enseigner, ce qui peut expliquer...
Va leur expliquer que dans un releve de temperature, la fonction sous-jacente
associe a un nombre identifiant la date un nombre reel, et que
par definition l'ensemble de ces associations forme la fonction...
j'attend de voir leur yeux .... ;-)
Une fonction numérique est un sous-ensemble particulier de $\R^2$. Ensemble inconnu des élèves de seconde. Ce n'est que par identification de $\R^2$ au plan muni d'un repère qu'on peut dire "une fonction est une courbe", et encore, vu la diversité des repérages possibles, à une fonction numérique correspondent une infinité de courbes.
Ce n'est pas pour rien qu'on distinguait autrefois le graphe (sous ensemble de $E \times F$) de la courbe.
Il vaut mieux alors dire que c'est un ensemble (Aie! Pas sur la tête ! Pas sur la tête !) de couples (Aie! Aie ! Pas sur la tête ! Pas sur la tête !) tels que ...
De plus, à ce niveau, l'idée intéressante est la dépendance fonctionnelle, l'idée d'antécédent (ou argument) et d'image, la compréhension de la notation (*), toutes notions qui ne sont pas dans le graphe. Donc une mauvaise définition qui cherche à aider à comprendre est une bonne idée.
Cordialement
(*) Mes étudiants, tous bacheliers, ont du mal à comprendre la différence entre $\ln(x+1)$ et $2(x+1)$. Exactement le contraire de Maple qui considère le $2$ de $2(x+1)$ comme une fonction et dit que ça fait $2$. Et je vous rappelle que selon les modes d'emploi des calculettes "pour multiplier, on peut appuyer sur la touche * ou mettre une parenthèse". Ce que de nombreux collégiens traduisent par "la parenthèse sert à multiplier.
J'ai personnellement choisi d'essayer de leur faire comprendre la différence entre la fonction et sa courbe, car il me semble que pour être ensuite capable de faire l'identification de R² au plan, il faut avoir commencé par identifier les deux ensembles (de façon très implicite pour des 2nd) , non ? Le problème posé par cette confusion pour les secondes, c'est qu'ils ont alors du mal à faire la différence entre l'antécédent et l'image, de faire la relation entre un point et ce que ses coordonnées représentent : si on demande l'antécédent ou l'image d'une valeur, ils vont répondre "c'est le point 3", ce qui ne veut évidemment rien dire.
Autre exemple, pour les résolutions de systèmes à 2 inconnus, les élèves ont tendance à penser que les solutions sont 1 point, alors qu'il s'agit des coordonnées du point d'intersection des deux droites représentatives.......... dans le plan, je crois qu'il faut bien distinguer les 2 pour les secondes, sinon, ils ne savent plus de quoi ils parlent.
Rebonjour, j'ai l'impression qu'il y a eu un gros bug sur le forum non? Quand je me connectais je tombais directement dans les dossiers au format txt ou php... En tout cas ça a l'air arrangé.
Donc Eric tu parlais bien de "pédagogie" en fait (je l'avais évoqué entre parenthèses comme éventualité).
Et bien grave question (précision oui Gerard, je l'ai déjà précisé pour "courbe-graphe"): là c'est un extraordinaire problème de pédagogie assez noble sur lequel il faudrait écrire des pages. Si si, j'ai enseigné et si autant j'ai fait moult bourdes psychologiques et pédagogiques, autant ce point-là je l'ai validé objectivement en étudiant les retours dès la 3e.
Ce qu'il faut comprendre est qu'on perd plus en trichant "par pédagogie" qu'on ne gagne. Dire un mensonge pour faire mieux digérer un truc doit s'étudier sur le long terme. Qu'à la rigueur soit froide la bonne définition existante pose problème. Mais c'est mégalo de vouloir le résoudre alors que les maths elles-mêmes ne l'ont jamais résolu.
Dans ce cas autant poser la notion de fonction comme notion première MAIS IL FAUT AJOUTER L'EXTENSIONNALITE ad hoc, donc il y a un prix à payer. On ne s'adresse pas qu'à des cerveaux conscients, mais aussi à des cerveaux sensibles à la suggestion.
Effectivement, devant la def officielle, les élèves sont rebutés: mais comme tout le monde, ils gardent présent à l'esprit qu'il y a un problème de compréhension d'une vraie notion (donc pas de mensonge) et la suite dépend des efforts divers pour le "résoudre". Un certain nombre (bcp plus élevé qu'on croit) le résout finalement et assez rapidement.
Par contre, les présentations mensongères sont "validées affectivement" tout de suite et de manière fallacieuse. C'est d'ailleurs une des raisons que pullullent ici même, des profs en grand nombre, très compétents par ailleurs mais dont on voit que cette partie-là de ce problème a laissé un trou (ils ne savent toujours pas ce qu'est une fonction) parce que plutôt que d'être confrontés au problème d'abstraction que ça avait généré pour eux à l'époque, ils avaient "hypnotiquement" validé "un vide" (ie un non def circulaire et pédago).
Dans cette histoire on leur a "volé" un problème et donc ils n'ont même pas eu la chance d'avoir à le résoudre: un peu comme si on cachait les lettres d'un huissier à quelqu'un et un jour il découvre l'arnaque, mais trop tard.
Quand on enseigne quelque chose, que ce soit facile ou difficile, il faut prendre garde de l'ENSEIGNER et non de le "contourner": le contourner ne l'enseigne pas et en plus ça le "vole" à l'enseigné.
En l'occurence la notion de fonction (certes un peu abstraite) ne serait qu' un banal saut qui pose problème (une simple difficulté d'abstraction qui arrive au moment de la 3e-2nde) s'il était présenté sans mentir alors que en mentant, c'est une forfaiture. La façon la plus marrante de l'illustrer est bel et bien que j'ai rappelé ici plusieurs fois la définition (la seule qui existe en maths, et celle où "fonction=son graphe") dans plusieurs fils et chaque fois ya comme une sorte "d'évitement" de cette def des uns et des autres, mais jamais personne (sur 2 ou 3 fils) n'a proposé la moindre définition alternative (valable mathématiquement je veux dire, y a eu du blabla, certes).
Je spécule que cet évitement renvoie à une sorte de malaise dû justement au fait qu'un certain nombre de gens ici n'ont jamais connu ou connu très tard la def officielle et que quelque chose en eux se refuse à le prendre de face.
Dans les exemples que tu cites, bin oui, le "réel" donne lieu à plein de fonctions, et pas plus ici qu'ailleurs, le réel n'a jamais été égal aux objets mathématiques (ça ne peut pas d'ailleurs, sinon plus de certitudes). C'est absolument banal qu'un relevé de températures, par exemple, induit (sans lui être égal) un ensemble de couples d'objets.
De toute façon, je te mets au défi de me présenter UN SEUL exo raté (ie un texte et une solution proposée par un élève) au seul motif qu'il y a eu identification fonction-son graphe. Tu verras c'est même pas possible d'en écrire un, même en n'étant pas un élève... Et même si tu t'y essaies, tu découvriras le contraire, ie que l'identification est simplificatrice et efficace et renforce les arguments.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Si tu acceptes d'identifier une fonction a une courbe, un releve de temperatures
au jour le jour sera considere par les eleves comme une fonction.
Or si axiomatiquement c'est valable, ca n'est pas du tout ce qu'on veut
faire comprendre aux eleve quand on leur explique ce qu'est une fonction
Ah c'est marrant: bah bien sûr que si c'est exactement ce qu'on veut (ou plutôt ce qu'il faudrait vouloir) leur faire comprendre!!!!!!
C'est très exactement toute restriction qu'on veut éviter (par exemple, les gens qui ne voient que "fonction" que ce qui a un code simple", etc)
C'est même une faute déontologique que de chercher à présenter pédagogiquement une fonction comme un truc calculable!
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Concernant tes 2 pemières lignes (relevé de temp), relis le fil, j'ai même donné un exemple précis encore "pire" de fonction (l'histoire des gens ne dépend que de leur date de naissance, de leur nom et de leur prénom!) dont il est ESSENTIEL qu'un élève (sans parler de faire des exos subtils) soit conscient qu'il s'agit d'une fonctio, même si elle est étonnante...
Sinon, tu mets ds l'inconscient des contre-sens graves
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Ouh la, faut pas s'énerver comme ça Christophe ! Je te rappelle que dire qu'une
courbe ne doit pas être considérée comme une fonction n'est pas un mensonge
dans le contexte étudié en seconde, c'est à dire où la variable supposée être représentée
par l'axe des abscisse. Si tu dis aux élèves qu'une fonction c'est une courbe du plan je ne t'explique
même pas le résultat quand tu abordes la fonction racine carrée... On prend une parabole d'équation
$y=x^2$ et hop on la tourne à 90 degrés et le tour est joué... Parce que tu auras beau leur avoir
parlé d'image unique, il auront bien du mal à comprendre comment ça se traduit sur la courbe à leur
niveau. En seconde le but n'est pas d'introduire la notion de fonction, mais
la notion de fonction de R dans R, voire à la limite de Z dans R. Dans ce contexte il n'y a aucun
mensonge à leur donner une définition qui n'est pas la définition générale d'une fonction, mais
une définition suffisante dans le contexte présenté, et séparer explicitement la notion
de représentation graphique d'une fonction.
"C'est même une faute déontologique que de chercher à présenter pédagogiquement une fonction comme un truc calculable !"
Christophe, le BOEN en référence plus haut dit exactement le contraire : les exemples se baseront sur la notion de dépendance dans la variable (et on pourra présenter en contre-exemple des exemples de non dépendance, comme par exemple le poids et la taille pour bien montrer que dans la notion de fonction c'est bien la notion de dépendance dans la variable qui est importante).
Donc présenter le graphe d'un phénomène pseudo-aléatoire comme une fonction est bien contraire aux programmes officiel de seconde, en tous cas de la façon dont je les comprends.
Encore une fois, à mon avis ce que tu dis s'applique a un niveau plus élevé, mais pas en seconde
(encore moins avec le niveau actuel des secondes...).
à Eric: non, mais je ne m'énerve pas -D , je comprends ce que tu "veux" dire, mais la racine carrée est l'ensemble des couples de réels $(x,y)$ tels que $y^2=x$ et $y\geq 0$ et encore une fois je ne discutes pas de la difficulté bien réelle qui existe quand on aborde ce concept, mais de l'utilité de ne pas mentir.
Les programmes ne sont pas une référence d'une manière générale, ils contiennnent environ une incohérence interne / 10 lignes et ce sur toutes les classes.
Concernant "courbes-graphes, j'ai déjà précisé: dois-je le redire? C'est pour aller plus vite que j'ai répondu à l'essentiel (il va de soi qu'un ensemble de points du plan n'est pas le thème dont je discute ici, puisque pour le ramener à un ensemble de couples, il faut passer par le repérage.
Je ne discute QUE du fait que les fonctions sont des ensembles de couples (ie égales à leur graphe) et que disparaitront des programmes (dès lors que quelqu'un qui s'en occupe aura reçu l'information qu'ils disent une connerie) le passage que tu as mentionné (je ne savais pas qu'il existait, j'ai assez peu d'estime pour les textes de programmes, dont on sait qu'ils sont bâclés (comme bcp de choses le sont actuellement) ou hésitants.
Il faudrait que tu relises plusieurs longs fils, j'ai plusieurs fois précisé mon point de vue en détails et répondu à tes objections de manière très détaillée . Je sais que ça n'a l'air de rien mais cette mièvrerie pédagogique ne manifeste pas sa conséquence négative tout de suite, mais à plus long terme.
Je ne suis pas contre les efforts pédagogiques, mais à 2 conditions:
1) qu'ils marchent
2) (nécessaire) qu'ils ne substituent pas un mensonge (sous prétexte que ça marche mieux avec, sous des critères non définis) à une définition.
Dans le cas présent, le pédagogisme ne respecte pas (2) (et j'ai constaté qu'il échoue à satisfaire (1)).
J'ai eu 4 secondes en 8 ans et CET aspect des choses est confirmé. "L'ensemble de couples" authentique ne pose aucun problème (on gagne bcp sur les élèves qui continueront les maths et on ne perd rien sur les autres qui disent: c'est trop abstrait pour moi). Statistiquement, le maniement pratique donne les mêmes résultats, voire meilleurs, sur les élèves en diffculté qui ne sont pas plus aidés par l'entourloupe circulaire "une fonction c'est quand on calcule en fonction de" dont, à défaut que ce soit conscient, l'inconscient des élèves perçoit qu'une telle définition est circulaire et inapplicable.
De plus (2) suffit à condamner toute "sorcellerie. J'avoue que je suis fasciné tant en général les profs ne sont pas si "fermés", même si parfois un peu butés, quand on leur fait remarquer leurs erreurs de maths qu'ils font consécutivement à une volonté de pédagogisme. Ce thème est une exception et comme je l'ai expliqué, il me semble que l'explication tient au fait qu'eux-même ont été "floués" assez tôt de la notion de fonction et ont lgtps gaspillé des efforts nuisibles à essayer de construire eux-même cette notion dont l'école les privait. Quand enfin (et tardivement) ils accèdent à la définition mathématique officielle (qui même si elle est abstraite, et relativement courte et formelle) ils n'en "croient que mal leurs yeux" et s'étaient édifiés dans une croyance qu'elle n'existait pas et que la notion était première. C'est tjs un peu dur de s'apercevoir qu'on "était passé à côté d'un truc" et explique surement les réticences.
Pour autant, je ne vois pas l'utilité de prolonger un fléau quand il n'a pas lieu d'être: il y a des notions bcp plus difficiles en maths au collège-lycée pour ne pas perdre du temps dans de la vexation inutile à vouloir transmettre une erreur, sous prétexte qu'on en a soi-même été victime (voir le serpent de mer, le fil sur le sujet où moult intervenants s'étaient un peu "ridiculisés").
D'autant que la situation étant devenue d'une médiocrité qu'on sait en termes d'enseignement des maths (voire débats programmes de 2nde) et EN PARTICULIER la notion de fonction étant complètement RATEE par l'enseignement (si elle ne l'était pas, encore pourrais-je comprendre les tentations irrationnelles de donner une "fausse" définition) puisqu'un grosse part des programmes de lycée repose dessus, je ne vois pas du tout pourquoi ce réflexe de vouloir continuer dans l'échec manifeste à procéder de même: en effet, "on ne change peut-être pas une équipe qui gagne", mais quand 99 pour cents des gens l'enseignent de manière erronée, avec face à elle une définition officielle totalement banale jamais utilisée et que 80pour cents des élèves réagissent mal à cette manière, je ne vois pas quel critère pédagogique autre peut justifier de continuer.
La simplicité me semble être de mise: falsifier une définition officielle en prétendant que c'est dans un but pédagogique doit être au moins sanctionné par un succès. Sinon, autant prendre la def officielle et basta. Les maths ne sont pas toujours "faciles".
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Je t'avais d'ailleurs lancé un défi: IL N EST MEME PAS POSSIBLE DE RATER un exercice avec la bonne définition pour le seul motif qu'on a confondu une fonction et sa courbe.
Vas-y essaies d'écrire un texte raté pour ce seul motif, tu verras...
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
On a déjà eu l'occasion de débattre de ta façon de présenter les choses, comme si tu était un prophète, le héraut des mathématiques, ou bien, et ceux à qui tu parles peuvent le sentir ainsi, si tu étais le seul à être intelligent. Je te signale qu'après une période où j'ai beaucoup apprécié tes interventions, je ressens que tu redeviens le Christophe que je ne supportais plus.
Pour t'expliquer, prenons ton expression "un mensonge", "mentir", ... A ton avis, comment quelqu'un qui utilise tous les jours une fonction comme un procédé (Et c'en est un, même si parfois, la seule façon de définir le procédé est ...la fonction) et très rarement comme un graphe peut-il recevoir ceci? Sans compter que le mot mensonge est à connotation morale.
Je crois que moins t'écouter écrire et plus essayer de comprendre le vécu des autres (y compris leur vécu mathématique, qui n'est pas le même que le tien, mais qui a sa valeur) te rendrait plus accessible, plus compréhensible.
Et tu éviterais de répéter 15 fois ton message de plus en plus long, mais toujours aussi incompréhensible par d'autres.
Merci Gérard, bin du coup, je vais y réfléchir... avant de reposter une énième autre réponse.
Il est vrai que ce sujet me tient à coeur, donc peut-être que la machine s'emballe. Mais par contre, mes mots sont, hélas, une affaire d'habitude qui ne s'est jamais améliorée.
Par mensonge, effectivement, je n'entends pas le côté "connotation morale" alors que les lecteurs l'y voient, donc c'est un défaut de mon texte puisque je ne me fais pas comprendre ce que je veux dire
Bon, je ne redédaille pas par contre, je veux juste dire que quand on enseigne un truc X et qu'on donne une définition de X qui n'est pas équivalente(1) à la définition mathématique du truc X c'est une autre étape franchie (qui consiste à avoir présenté un truc VRAIMENT différente de X) dans la stratégie pédagogique que celle(2) qui consiste à donner une définition équivalente, mais différente de la définition officielle (qui donne le truc X voulu, même si défini autrement).
Et comme sur le terrain il m'a semblé voir les effets négatifs l'emporter j'y suis sensible.
Quel mot aurais-je pu utiliser à la place de "mensonge", par contre, et bien je vais chercher? D'un coup là, je ne vois pas "dire une chose fausse" par exemple n'est pas un verbe l'utilité du mot "mensonge" c'est qu'il y a un verbe "mentir" et on peut raccourcir.
Cependant je revendique mon droit à n'être pas toujours supportable, sympathique, etc -D
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J'ai relu les derniers posts en je plussois (lol) ce que tu me dis Gerard, mais:
ne peut-on faire l'effort d'oublier parfois la forme et voir le fond. J'en suis franchement désolé de "ce ton", mais il m'aurait fallu probablement 4 à 5 fois plus de temps pour rédiger un truc avec le bon ton.
j'ai réagi vivement à une phrase précise de plusieurs intevrenants, parlant eux-mêmes, comme si telle affaire était entendue: ils ont dit (comme sur l'autre fil où j'avais eu du mal à me faire entendre).
pour éviter l'écueil qu'une fonction soit confondue avec son graphe (ie l'ensemble des couples (x,y) tels que)
Comme cette phrase réflexe émanait de plusieurs, et surtout de profs, j'ai "haussé" bien maladroitement le ton avec tous les défauts qui vont avec, mais ce n'était pas méchant, c'était pour BIEN INSISTER sur le fait qu'une fonction est bien EGALE A SON GRAPHE (je ne parle même pas du triplet, je vais pousser lol) et ainsi répondre à une assertion CONTRAIRE énoncée par des profs
S'en est suivi des argumentations pédagogiques, des uns et des autres, visant plus ou moins à justifer que ce ne serait peut-être pas si idiot, pour des raisons pédagogiques de maintenir l'assertion fausse annoncée aux élèves qu'une fonction est différente de son graphe.
N'est-il pas un peu important, sur un forum de maths que parfois le "ton monte" avec ses dégats collatéraux, quand est en controverse une opposition (noble) entre pédagogie et maths où la pédagogie revendique (ce qui est encore somme toute rare, en tout cas ici) de dire "nonA" pour des raisons "heuristiques" alors que c'est "A" la vérité mathématique?
Quand on "oublie" une hypothèse, ou quand on fait un abus de langage, c'est une autre affaire, mais là, il s'agit d'un point de maths totalement limpide où la "pédagogie" revendique une position non pas d'oubli ou de raccourcis, mais carrément de négation d'un fait.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Ce n'était qu'un exemple, et du coup, tu passes à côté du fond du problème : Il y a d'autres pratiques des maths, la notion de fonction contient bien des significations que sa définition mathématique "pure" ne contient pas (la notion de "correspondance fonctionnelle", la notion d'évolution d'une variable guidée par celle d'une autre variable, en informatique la notion de procédure,.. j'en oublie sans doute).
J'ai appris les fonctions comme tu le dis avec "un mensonge", par l'idée de dépendance stricte de variable : y dépend de x de façon si stricte que chaque fois que je reprendrai la même valeur pour x j'obtiendrai un résultat identique pour y. Mais ensuite, quand j'ai découvert ta "définition officielle" de la fonction comme graphe, je n'ai eu aucun mal à retrouver ma notion et bien d'autres qui étaient apparues. J'ai aussi découvert à l'époque (mais c'est bien oublié) qu'on pouvait décider de prendre les fonctions comme objets de base pour définir le reste des mathématiques. Je pense que ce n'est que pour des raisons ontologiques que cette démarche (du début du XXième siècle) a été écartée : On aime bien avoir des objets mathématiques à "toucher".
L'un des arts du pédagogue est de ne pas se limiter à une définition, mais de permettre à ses élèves de voir des "niveaux de signification", de mettre en lien (intellectuels) les pratiques, de saisir la richesse des pensées différentes d'une même notation, ... rien n'est malsain si on fait progresser intellectuellement l'élève.
Là où je te rejoins : Chaque année, je présente les limites "avec les mains", ce qui ne m'empêche pas de présenter une définition mathématisée qu'on n'utilisera pas (99,9% de mes étudiants refuseraient de l'utiliser).
c'était pour BIEN INSISTER sur le fait qu'une fonction est bien EGALE A SON GRAPHE
Malheureusement, dans les programmes scolaires, le mot graphe est utilisé pour désigner la "représentation graphique" (objet géométrique), la courbe.
Donc tu es monté sur tes grands chevaux pour rien, ce n'est qu'un problème de vocabulaire. Car je ne pense pas que pour toi, la fonction carrée (x --> x²) est une parabole.
Ah mais là je suis d'accord, mais justement je l'ai dit: rien ne nous interdit de présenter la notion de fonction comme notion première
Et j'ai dit pourquoi ça "m'inquiète" un peu: car dans ce cas il y a le risque d'oublier (je ne fais pas de procès d'intention, mais tu avoueras que c'est une crainte réaliste) de mettre l'EXTENSIONNALITE avec. En effet, l'inconvénient de la notion de fonction présentée comme notion première, c'est ça** (je pense principalement). Sinon, tout irait bien
** plus le côté arbitraire qui nécessite de fixer 2 symboles "vrai" et "faux"
Or justement, dans le même temps, plusieurs ont signalé ce soucis (si je traduis leurs interrogations) à leur manière.
Je "m'énervais" juste contre la démarche "ni notion première qu'on présente honnêtement, ni définition valable" et le tout avec des airs "comme si ça allait de soi', ie comme si les maths étaient construite sur un consensus humain, à la manière d'un art ou d'une religion.
Dans le post d'avant je t'ai dit ce qui "me choque", et ce n'est rien que ça: c'est un conflit entre 2 choses existantes. Ce n'est pas ni l'abus de langage, ni le côté approximatif, mais uniquement le fait qu'à un moment, la stratégie "abus de langage" sort en quelques sortes de ses limites acceptables parce qu'elle nie une affirmation qui existe à côté.
Pour moi, il y a une relative liberté de faire des abus de langage ou de ne pas définir précisément les choses, mais dans la limite où ça ne vient pas "effacer" ce qui est déjà défini AUTREMENT.
Ou alors, même ça à la rigueur, je veux bien, mais à condition (comme pour les mots de passe lol) de:
1) signaler qu'on CHANGE la définition officielle (en la rappelant)
2) qu'on va en donner UNE AUTRE, qui ne lui est PAS EQUIVALENTE
3) que la nouvelle SOIT UNE DEFINITION.
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Car je ne pense pas que pour toi, la fonction carrée (x --> x²) est une parabole.
et bien je vais peut-être te surprendre, mais là j'avoue que c'est affaire personnelle:
certes, l'ensemble des couples (x,y) de réels tels que y=x² n'est pas une parabole tant qu'on n'a pas fait un petit topo sur la correspondance entre points du plan et couple de réels via le repérage
MAIS: si on (ce qui ne me choque pas) décide de dire que $\R^2$ est LE PLAN CANONIQUE, attitude qui au moins est respectable et sans ambiguité, et bien:
la fonction carré, dans ce cadre est bel et bien une parabole. Et ça pose bcp moins de problèmes dans la mesure où la convention qui fixerait le nom "plan canonique" n'aurait pas spécialement besoin d'être souvent bougée. Et ça ne m'empcèhe pas de militer pour de la vraie géométrie (comme je l'ai fait dans d'autres fils).
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[size=large]en informatique la notion de procédure[/size]
Je pense comprendre ta position générale, mais je pense que nous débattons sur un désaccord politique plus que mathématique:
les "procedure" et les "function" de l'informatique NE SONT PAS des fonctions, et ELLES ONT DES DEFINITIONS mathématiques parfaitement précises, et on pourrait même donner comme exercice de maths de prouver LA NON EQUIVALENCE entre les "fonctions" des maths et les "function" du pascal par exemple.
Je pense que tu défends une position consistant à dire que pédagogiquement, il peut être judicieux, selon toi, de déroger à ces non équivalences mathématiques en "faisant croire" (je ne trouve pas d'autres mots) aux étudiants ou élèves à une sorte "d'équivalence" pendant un temps, pour ENSUITE les informer de la non-équivalence (le tout pour des raisons heuristiques)
C'est un débat, mais je veux juste dire que ce n'est pas le même que celui consistant à "faire semblant" de faire exister des objets mathématiques qui ne sont pas définis par les maths. Là il s'agit d'autre chose: il s'agit de "cacher" une non-équivalence "provisoirement" avant de la révéler.
Ce débat nécessiterait de toute façon bien des développements, surtout à l'heure actuelle... Personnellement, je m'inscris dedans surtout parce que les démarches de ce genre*** peuvent être évaluées depuis quelques décennies et je les accuse d'être MANIFESTEMENT en situation d'échec (comme tu le dis assez toi-même d'ailleurs)
Si ce n'était pas un fiasco, je n'y mettrai pas autant de passion.
*** en un certain sens, on peut quand-même reconnaitre qu'elles sont plus qu'à l'honneur depuis au moins 1985-1990
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je ne peux pas continuer.
Tu es dans le mode péremptoire, tu dénies aux autres le droit à une pensée indépendante, tu traduits dans ton vocabulaire les paroles des autres sans les accepter pour autres que ta pensée. J'ai déjà abandonné un autre débat (celui qui parlait récemment de religion) parce que je n'accepte pas qu'on me dise : "tu penses cela", même quand je dis le contraire.
Tu ne m'as même pas lu (faut-il que moi aussi je crie ? Avec des gras, du rouge ou des majuscules). Je te disais que la notion de fonction est plurielle, tu ne l'as même pas entendu. Tu as une (seule) notion de fonction, pas moi. Les maths ne sont pas une religion révélée, tu n'en es pas un prêtre.
D'ailleurs, je n'obéis pas aux prêtres.
pour le rouge, le vert, et les polices, désolé, je suis un peu comme un gamin qui joue avec les nouvelles fonctionnalités du forum.
Pour le reste, je te trouve dur: je n'ai pas été si concis, j'ai pas mal développé. Bien entendu, on peut (je ne dénie aucun droit) toujours donner les définitions qu'on veut, je ne voulais pas donner l'impression de vouloir imposer une "dictature" (et même je pense que ça va de soi, enfin franchement... ). Mais simplement, faire des distinctions entre diverses définitions comment dire "déjà publiées" par "l'académie des sciences" ou par Boubaki, mais ça ne sous-entend nullement que ce sont "des définitions de droit divin", simplement elles existent, et ça sucite discussion et "oppositions" (ce qui ne serait pas le cas si elles n'existaient pas).
C'est dommage que tu prennes mal des maladresses de communication, car, si elles sont réelles chez moi, je rentre dans quand-même bcp de détails pour essayer de ne pas laisser d'ambiguité. Lors de plusieurs posts, j'ai précisé "OK, pour changer la définition, etc" et expliquer mon point de vue (qui n'est qu'un point de vue!).
Je trouve un peu injuste de me dire que je t'attribue des pensées (à part le dernier post, mais c'était plutôt une question)
EDIT-PS: bien sûr que si j'ai bien lu que tu la pensais "pluriel", et justement j'ai répondu à ça, car non seulement "plurielle", mais surtout plurielle aussi au sens plusieurs notions non équivalentes.
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J'ai du rater une étape car je ne comprends pas tout ce que dit Christophe.
Quand une fonction est définie sur l'ensemble de patates douces transalpines, est-elle égale à son graphe ?
Les graphes et courbes des fonctions $\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R},\ x \longmapsto x^2$ et $\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^2$ sont-ils égaux ?
Et pour $x \longmapsto \frac{1}{x}$ définie sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{R}^*$ ?
Désolé si tu as déjà répondu, j'aimerais avoir ton point de vue là-dessus.
Bin, je suis pressé, mais de toute façon, mathématiquement une fonction c'est un ensemble de couples tel que 2 couples de l'ensemble ne peuvent avoir même abscisse et des ordonnées différentes.
Les précisions supplémentaires sont dites en français, ou via des conventions généralement.
Le domaine de la fonction est l'ensemble des abscisses des couples qu'elle contient. Et son image est l'ensemble des ordonnées des couples qu'elle contient.
L'abscisse du couple (x,y) est x et son ordonnée est y.
Ensuite, si tu veux parler dans un contexte conventionnel autre que les maths (un cours, de la pédagogie, que sais-je), il t'appartient de préciser par toi-même ce que tu veux.
Par exemple, la donnée d'un triplet $(D,A,f)$ où $f$ est une fonction (au sens ci-dessus) et $D$ contient le domaine de $f$ et $A$ contient son image est aussi appelé "fonction de $D$ dans $A$" (mais alors on précise "de .. dans.."), et quand $D$ est exactement le domaine de $f$, ce triplet est appelé "application de $D$ dans $A$"
Il est assez rare que soit fait usage de ces notations quand $D$ ne contient pas $dom(f)$ (ou alors on la "coupe" lol)
Ca n'y est plus, mais pendant un temps, il y avait un bug dans les programmes des lycées, les gens parlaient "d'ensembles de définition" (ce qui n'a mathématiquement pas de sens), et pire, demandaient aux élèves de "le chercher...."
Autrement dit, ça consistait à demander de répondre à une question qui n'était pas posée. C'était dû à une confusion, assez répandue consistant à utiliser le verbe "exister", de la même manière que dans la preuve erronée de l'existence de Dieu célèbre "Dieu existe forcément sinon, il aurait le défaut de ne pas exister, or Dieu n'a pas de défaut" (étant admis que ne pas exister est un défaut, et que Dieu n'en a pas)
A comparer avec "il y a des solutions à l'équation ($x=2$ et $x=3$), car si $x=2$, x existe forcément, puisque 2existe, donc un $x$ tel que $x=2$ et $x=3$", étant en particulier égal à 2 ne peut pas ne pas exister
"Exister" en maths est un quantificateur et non un verbe.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
christophe chalons écrivait:
>
> Ca n'y est plus, mais pendant un temps, il y avait
> un bug dans les programmes des lycées, les gens
> parlaient "d'ensembles de définition" (ce qui n'a
> mathématiquement pas de sens), et pire,
> demandaient aux élèves de "le chercher...."
Je ne comprend pas ce que tu veux dire, ou tout mes bouquins de maths contiennent le même bug ??
Oui hélas, c'est possible, mais je crois que ce n'est pas exigible (en "justice", le réclamant gagnerait sans conteste, et pour le coup ce serait légitime): le problème des gens qui écrivent les bouquins, c'est qu'ils gardent des habitudes erronées. En effet, pour demander l'ensemble de définition d'une fonction, il faut l'avoir évoquée correctement, donc presque l'avoir donné d'avance.
Par exemple, on peut demander quel est le domaine de l'ensemble des couples $(x,y)\in \R ^2$ tels que $xy=1$; mais ce n'est jamais formulé ainsi.. La notation en usage est $x\to 1/x$ qui est ambigue, puisqu'elle ne désigne que "vaguement" un ensemble de couples, et les gens, dans le doute considère cette abus de langage comme voulant dire "ensemble de couples maximal pour l'inclusion pour lequel la notation a un sens", mais autant dans des contexte pédago scolaires on peut controler (subjectivement) l'usage de la notation, autant, mathématiquement, (par exemple, avec les fonctions holomorphes) l'ordre "inclusion" n'étant pas total, maximal ne veut plus dire "maximum", et il y a ambiguité.
Par ailleurs (pour la raison mentionnée ci-dessu) l'utilisation de "quand 1/x" existe est invalide et mène à des contradictions.
En effet, (c'est devenu d'ailleurs très connu en correspondance de Curry Howard) confondre un "nom" et sa valeur est la pire des confusion logiques car un "nom" est un pointeur de type $A\to faux$ alors que la valeur a le type $A$ (on ne peut imaginer pire conflit, qu'entre A et $A\to faux$
En pascal par exemple, cette erreur correspond à la confusion entre passer un paramètre par valeur ou par référence.
En toute "sanité", un paramètre var ne devrait être utilisé qu'en écriture seule alors qu'un paramètre passer par valeur ne devrait l'être qu'un lecture seule.
"L'existence" de "1/x" correspond à une utilisation de "x" comme paramètre var, ie elle concerne non pas la valeur de x, mais la lettre x (ou plutôt l'expression "1/x", en tant qu'expression).
C'est donc hyperambitieux (et en fait idiot, car même les profs ne "comprennent" pas vraiment ce qui se passe) de jouer avec des "quand est-ce que ceci ou cela existe?" (et c'est d'ailleurs de la pure paresse, pour ne pas poser "bien" les questions sous-jacentes)
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Je te donne un exemple: bcp de raisonnements se "programment" par l'absurde (car on ne sait démontrer le truc que par l'absurde).
Typiquement un raisonnement par l'absurde consiste à prouver qu'en supposant $A\to tout$ on déduit $A$.
on déclare alors une variable de type $A\to tout$, qui joue le rôle de "exit" en fait elle est un pointeur sur une adresse (quelque part, mais on ne sait où) de type A.
Elle sert de "chèque sans provision" pour attraper un "bandit". La preuve donne un programme qui utilise cette variable comme si c'était l'hypothèse $A\to tout$ et donc "réalise $A$.
On lance le programme, il tourne, il tourne et au bout d'une moment, s'affiche à l'écran la valeur du $A$ qu'on cherche.
Qu'est-ce qui s'est passé?
Et bien ou bien le programme n'a jamais eu à utiliser le pointeur $A\to tout$, parce que les données entrées l'ont détourné vers un calcul effectif de $A$, ou bien la variable de type $A\to tout$ a été appelée par le programme qui croyait pouvoir s'en servir. Le protocole exigeait alors que ce programme pour "encaisser" le chèque présente d'abord un "patte blanche" p de type A (afin de pouvoir le passer en argument du $A\to tout$ qu'il appelait. La variable pointeur, au lieu de donner satisfaction au programme l'a "buté" de force, et lui a dérobé p pour l'afficher à l'écran.
Une autre manière de le dire, si tu sais un peu programmer, c'est que quand je te donne un pointeur qui pointe sur une adresse de type A, tu ne peux rien en faire d'autre que t'en servir pour "écrire" une valeur de type A que tu as déjà.
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Est-ce qu'une bonne âme pourrait poster un scan de la définition d'une fonction figurant dans le manuel Dimathème 3e (édition 2008),
C'est dans le chapitre 7, page 104 et suivantes.
A propos, le schéma qui figure dans la définition me fait rappeler que l'an passé en cinquième, j'expliquais une propriété comme une machine qui transforme une condition en une conclusion. Ca craint ?
S
Alala, c'est triste... Mais personne ne rend jamais de compte de toute façon, alors ce n'est pas étonnant.
Dès l'école primaire on trouve les mêmes suggestions du genre:
"a+3=10"
ba, maitresse, a c'est 7 car 7+3=10
bravo Tony, c'est bien
Et quelques années plus tard, Tony "confond" (fait exprès de) allègrement A-->B et B-->A, mais jamais on ira avouer que son cerveau aurait enregistré des années durant que les matheux "semblent" encourager à les confondre (contre toute logique)
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Je n'aime pas du tout cette idée de transformation, je préfères celle de relation (ou d'association). Je ne suis pas sure que cette idée de transformation permette de comprendre l'idée d'une fonction constante par exemple. Et surtout, je n'aime pas l'idée de "boite noire", ou de machine infernale mystérieuse qui donne l'impression aux élèves que ce n'est pas compréhensible et que peut-être même, il n'y a rien a comprendre.
J'avais dix ans et j'étais en sixième. Nous travaillions alors en mathématiques sur les relations entre ensembles : flèches, ensembles de départ et d'arrivée... Après quelques séances de travail, l'enseignante nous demanda: "Eh bien, maintenant, pouvez-vous me dire ce qu'est une relation?" Elle voulait bien sûr parler d'une relation entre ensembles, un de ces objets mathématiques que nous étions en train d'étudier. J'ai répondu "C'est un lien." Alors elle a pris un foulard qu'elle portait autour du cou, et elle a dit en souriant: "Ca aussi c'est un lien mais ce n'est pas une relation." Puis tranquillement: "Une relation, c'est la donnée d'un ensemble de départ, d'un ensemble d'arrivée, et d'un graphe".
Je n'ai jamais oublié cette scène [...].
Extrait de l'introduction par Jean Tardieu du livre "Les mathématiques, dans l'ensemble" de Yasmina Liassine
Tu peux constater qu'il n'y a guère de différence entre la "définition" du manuel et la mienne. Procédé vs processus.
Gageons que l'inspection va mettre cet ouvrage à l'index.
Je ne crois pas que l'inspection, l'IG, etc s'occupe bcp des ouvrages B-)- Le débat sur ces question, c'est plutôt entre nous... Vu leur "recul" (voir autre fil) je pense qu'en alinéa il y aura souvent un "débrouillez-vous, nous, on vous note"
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Bien vu Gérard, c'est tout le problème. Le bouquin emploi le mot fonction sans jamais définir la notion ... Au prof de se débrouiller (ce que j'ai fait).
Ton collègue de sciences naturelles définit - il ce qu'est une grenouille ou un homme ? Celui de géographie définit - il ce qu'est un pays ? Et le prof de français évite désormais de définir ce qu'est un substantif.
A mes 2nde je donne la définition suivante (après moult exemples en exercice : fonctions affines, définies par un graphique, définie par une formule) :
Définition :
Pour définir une fonction f, on se donne d'abord une partie de R, notée Df.
La fonction f associe, à tout nombre x appartenant à Df, un unique nombre que l'on note f(x).
[Oralement : une fonction est donc définie par "ce qu'elle fait", et non "ce qu'elle est"]
C'est marrant toute cette production de propositions circulaires, comme semblant vouloir répondre à un besoin de définir "autrement" les fonctions que les mathématiciens ne l'ont fait.
Merci Rebellin, ça m'a donné une idée...
Un truc que je n'ai peut-être pas dit (mais qui allait de soi) est que c'est après avoir bcp cherché, sans trouver, que les meilleurs mathématiciens ont fini par se rabattre sur la définition officielle (qui "déplait").
S'ils avaient pu faire autrement, il est probable qu'ils l'auraient fait. Peut-on considérer alors que "faire autrement" est un problème ouvert?
En fait, non...
Théorème
toutes les définitions correctes du mot "fonction" sont équivalentes à la définition officielle.
preuve
On ne définit, donc, bien sûr pas ici la notion de fonction, mais le minimum qu'on en attend. On utilise le terme "fonction2" pour la notion "désirée" et le terme "fonction" pour la notion officielle (celle que j'ai rappelée)
Soit $T $ l'ensemble des fonction2s dont le domaine est $E$ et à valeurs dans $F$.
Soit $W$ l'ensemble des fonctions (au sens officiel, donc bien défini) dont le domaine est $E$ et à valeurs dans $ F$.
On suppose qu'il y a un élément $g$ de $T$ qui n'est pas dans $W$ en un sens important, ie que pour chaque $f\in W$, il existe un élément $a(f)\in E$ tel que l'unique couple $(a(f);b)\in f$ d'abscisse $ a(f)$ et tel que.$g\big(a(f)\big) \neq b$
On s'intéresse alors à l'ensemble $K$ des couples $(x,y)$ tel que pour tout $f \in W$; si $a(f)=x$ alors $(x,y) \notin f$
Soit, si c'est possible une fonction $f\in W$ incluse dans $ K$, et regardons le couple $(x;y)$ de $f$ tel que $ x:=a(f)$
On obtient une contradiction : il s'ensuit qu'il existe $x \in E$ tel que $\forall y\in E g(x)\neq y$
Le même raisonnement, en interchangeable $W$ et $T$ donne une identification entre les 2.
Le seul moyen donc, de trouver une définition "autre" serait qu'elle entre en contradiction avec l'axiome attendu pour les fonctions : "si $\forall x : f(x)=g(x)$ alors $f=g$, or il est justement crucial dans toutes les maths (et porte le nom d'extensionnalité).
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Réponses
Non, (3) suffit dans ce cas-là. Mais je ne pense pas que la notion d'ensemble soit si tabou que ça, il faut distinguer entre les restes psychanalytiques de l'antiboubakisme et le sérieux. Les intervalles et les courbes sont des ensembles, les figures du clg aussi, etc.. Bref, même pour les enfants, tout l'est ou presque
Il me semble qu'il y a malentendu. Sur l'axiomatique je suis d'accord avec
toi mais la on parle d'enseigner a des eleves de 15 - 16 ans.
Si tu acceptes d'identifier une fonction a une courbe, un releve de temperatures
au jour le jour sera considere par les eleves comme une fonction.
Or si axiomatiquement c'est valable, ca n'est pas du tout ce qu'on veut
faire comprendre aux eleve quand on leur explique ce qu'est une fonction,
car pour eux c'est la premiere fois qu'ils verront cette notion et ils
n'auront aucun recul. Donc autoriser d'identifier les deux est une source
evidente de confusion chez les eleves. Mais peut-etre n'as tu jamais
eu l'occasion d'enseigner, ce qui peut expliquer...
Va leur expliquer que dans un releve de temperature, la fonction sous-jacente
associe a un nombre identifiant la date un nombre reel, et que
par definition l'ensemble de ces associations forme la fonction...
j'attend de voir leur yeux .... ;-)
A+
eric
J'en rajoute :
Une fonction numérique est un sous-ensemble particulier de $\R^2$. Ensemble inconnu des élèves de seconde. Ce n'est que par identification de $\R^2$ au plan muni d'un repère qu'on peut dire "une fonction est une courbe", et encore, vu la diversité des repérages possibles, à une fonction numérique correspondent une infinité de courbes.
Ce n'est pas pour rien qu'on distinguait autrefois le graphe (sous ensemble de $E \times F$) de la courbe.
Il vaut mieux alors dire que c'est un ensemble (Aie! Pas sur la tête ! Pas sur la tête !) de couples (Aie! Aie ! Pas sur la tête ! Pas sur la tête !) tels que ...
De plus, à ce niveau, l'idée intéressante est la dépendance fonctionnelle, l'idée d'antécédent (ou argument) et d'image, la compréhension de la notation (*), toutes notions qui ne sont pas dans le graphe. Donc une mauvaise définition qui cherche à aider à comprendre est une bonne idée.
Cordialement
(*) Mes étudiants, tous bacheliers, ont du mal à comprendre la différence entre $\ln(x+1)$ et $2(x+1)$. Exactement le contraire de Maple qui considère le $2$ de $2(x+1)$ comme une fonction et dit que ça fait $2$. Et je vous rappelle que selon les modes d'emploi des calculettes "pour multiplier, on peut appuyer sur la touche * ou mettre une parenthèse". Ce que de nombreux collégiens traduisent par "la parenthèse sert à multiplier.
[... Et pour quelques dollars de plus, Clint]
Autre exemple, pour les résolutions de systèmes à 2 inconnus, les élèves ont tendance à penser que les solutions sont 1 point, alors qu'il s'agit des coordonnées du point d'intersection des deux droites représentatives.......... dans le plan, je crois qu'il faut bien distinguer les 2 pour les secondes, sinon, ils ne savent plus de quoi ils parlent.
Donc Eric tu parlais bien de "pédagogie" en fait (je l'avais évoqué entre parenthèses comme éventualité).
Et bien grave question (précision oui Gerard, je l'ai déjà précisé pour "courbe-graphe"): là c'est un extraordinaire problème de pédagogie assez noble sur lequel il faudrait écrire des pages. Si si, j'ai enseigné et si autant j'ai fait moult bourdes psychologiques et pédagogiques, autant ce point-là je l'ai validé objectivement en étudiant les retours dès la 3e.
Ce qu'il faut comprendre est qu'on perd plus en trichant "par pédagogie" qu'on ne gagne. Dire un mensonge pour faire mieux digérer un truc doit s'étudier sur le long terme. Qu'à la rigueur soit froide la bonne définition existante pose problème. Mais c'est mégalo de vouloir le résoudre alors que les maths elles-mêmes ne l'ont jamais résolu.
Dans ce cas autant poser la notion de fonction comme notion première MAIS IL FAUT AJOUTER L'EXTENSIONNALITE ad hoc, donc il y a un prix à payer. On ne s'adresse pas qu'à des cerveaux conscients, mais aussi à des cerveaux sensibles à la suggestion.
Effectivement, devant la def officielle, les élèves sont rebutés: mais comme tout le monde, ils gardent présent à l'esprit qu'il y a un problème de compréhension d'une vraie notion (donc pas de mensonge) et la suite dépend des efforts divers pour le "résoudre". Un certain nombre (bcp plus élevé qu'on croit) le résout finalement et assez rapidement.
Par contre, les présentations mensongères sont "validées affectivement" tout de suite et de manière fallacieuse. C'est d'ailleurs une des raisons que pullullent ici même, des profs en grand nombre, très compétents par ailleurs mais dont on voit que cette partie-là de ce problème a laissé un trou (ils ne savent toujours pas ce qu'est une fonction) parce que plutôt que d'être confrontés au problème d'abstraction que ça avait généré pour eux à l'époque, ils avaient "hypnotiquement" validé "un vide" (ie un non def circulaire et pédago).
Dans cette histoire on leur a "volé" un problème et donc ils n'ont même pas eu la chance d'avoir à le résoudre: un peu comme si on cachait les lettres d'un huissier à quelqu'un et un jour il découvre l'arnaque, mais trop tard.
Quand on enseigne quelque chose, que ce soit facile ou difficile, il faut prendre garde de l'ENSEIGNER et non de le "contourner": le contourner ne l'enseigne pas et en plus ça le "vole" à l'enseigné.
En l'occurence la notion de fonction (certes un peu abstraite) ne serait qu' un banal saut qui pose problème (une simple difficulté d'abstraction qui arrive au moment de la 3e-2nde) s'il était présenté sans mentir alors que en mentant, c'est une forfaiture. La façon la plus marrante de l'illustrer est bel et bien que j'ai rappelé ici plusieurs fois la définition (la seule qui existe en maths, et celle où "fonction=son graphe") dans plusieurs fils et chaque fois ya comme une sorte "d'évitement" de cette def des uns et des autres, mais jamais personne (sur 2 ou 3 fils) n'a proposé la moindre définition alternative (valable mathématiquement je veux dire, y a eu du blabla, certes).
Je spécule que cet évitement renvoie à une sorte de malaise dû justement au fait qu'un certain nombre de gens ici n'ont jamais connu ou connu très tard la def officielle et que quelque chose en eux se refuse à le prendre de face.
Dans les exemples que tu cites, bin oui, le "réel" donne lieu à plein de fonctions, et pas plus ici qu'ailleurs, le réel n'a jamais été égal aux objets mathématiques (ça ne peut pas d'ailleurs, sinon plus de certitudes). C'est absolument banal qu'un relevé de températures, par exemple, induit (sans lui être égal) un ensemble de couples d'objets.
De toute façon, je te mets au défi de me présenter UN SEUL exo raté (ie un texte et une solution proposée par un élève) au seul motif qu'il y a eu identification fonction-son graphe. Tu verras c'est même pas possible d'en écrire un, même en n'étant pas un élève... Et même si tu t'y essaies, tu découvriras le contraire, ie que l'identification est simplificatrice et efficace et renforce les arguments.
Ah c'est marrant: bah bien sûr que si c'est exactement ce qu'on veut (ou plutôt ce qu'il faudrait vouloir) leur faire comprendre!!!!!!
C'est très exactement toute restriction qu'on veut éviter (par exemple, les gens qui ne voient que "fonction" que ce qui a un code simple", etc)
C'est même une faute déontologique que de chercher à présenter pédagogiquement une fonction comme un truc calculable!
Sinon, tu mets ds l'inconscient des contre-sens graves
[[Christophe, que gagnes-tu à écrire "fctn" 4 lettres et un effort supplémentaire demandé au lecteur pour te comprendre ! j'ai corrigé. AD]
je fuis donc je fais
je sais donc tu suis
S
courbe ne doit pas être considérée comme une fonction n'est pas un mensonge
dans le contexte étudié en seconde, c'est à dire où la variable supposée être représentée
par l'axe des abscisse. Si tu dis aux élèves qu'une fonction c'est une courbe du plan je ne t'explique
même pas le résultat quand tu abordes la fonction racine carrée... On prend une parabole d'équation
$y=x^2$ et hop on la tourne à 90 degrés et le tour est joué... Parce que tu auras beau leur avoir
parlé d'image unique, il auront bien du mal à comprendre comment ça se traduit sur la courbe à leur
niveau. En seconde le but n'est pas d'introduire la notion de fonction, mais
la notion de fonction de R dans R, voire à la limite de Z dans R. Dans ce contexte il n'y a aucun
mensonge à leur donner une définition qui n'est pas la définition générale d'une fonction, mais
une définition suffisante dans le contexte présenté, et séparer explicitement la notion
de représentation graphique d'une fonction.
As-tu déjà enseigné en seconde ???
Eric
Christophe, le BOEN en référence plus haut dit exactement le contraire : les exemples se baseront sur la notion de dépendance dans la variable (et on pourra présenter en contre-exemple des exemples de non dépendance, comme par exemple le poids et la taille pour bien montrer que dans la notion de fonction c'est bien la notion de dépendance dans la variable qui est importante).
Donc présenter le graphe d'un phénomène pseudo-aléatoire comme une fonction est bien contraire aux programmes officiel de seconde, en tous cas de la façon dont je les comprends.
Encore une fois, à mon avis ce que tu dis s'applique a un niveau plus élevé, mais pas en seconde
(encore moins avec le niveau actuel des secondes...).
Eric
à Eric: non, mais je ne m'énerve pas -D , je comprends ce que tu "veux" dire, mais la racine carrée est l'ensemble des couples de réels $(x,y)$ tels que $y^2=x$ et $y\geq 0$ et encore une fois je ne discutes pas de la difficulté bien réelle qui existe quand on aborde ce concept, mais de l'utilité de ne pas mentir.
Les programmes ne sont pas une référence d'une manière générale, ils contiennnent environ une incohérence interne / 10 lignes et ce sur toutes les classes.
Concernant "courbes-graphes, j'ai déjà précisé: dois-je le redire? C'est pour aller plus vite que j'ai répondu à l'essentiel (il va de soi qu'un ensemble de points du plan n'est pas le thème dont je discute ici, puisque pour le ramener à un ensemble de couples, il faut passer par le repérage.
Je ne discute QUE du fait que les fonctions sont des ensembles de couples (ie égales à leur graphe) et que disparaitront des programmes (dès lors que quelqu'un qui s'en occupe aura reçu l'information qu'ils disent une connerie) le passage que tu as mentionné (je ne savais pas qu'il existait, j'ai assez peu d'estime pour les textes de programmes, dont on sait qu'ils sont bâclés (comme bcp de choses le sont actuellement) ou hésitants.
Il faudrait que tu relises plusieurs longs fils, j'ai plusieurs fois précisé mon point de vue en détails et répondu à tes objections de manière très détaillée . Je sais que ça n'a l'air de rien mais cette mièvrerie pédagogique ne manifeste pas sa conséquence négative tout de suite, mais à plus long terme.
Je ne suis pas contre les efforts pédagogiques, mais à 2 conditions:
1) qu'ils marchent
2) (nécessaire) qu'ils ne substituent pas un mensonge (sous prétexte que ça marche mieux avec, sous des critères non définis) à une définition.
Dans le cas présent, le pédagogisme ne respecte pas (2) (et j'ai constaté qu'il échoue à satisfaire (1)).
J'ai eu 4 secondes en 8 ans et CET aspect des choses est confirmé. "L'ensemble de couples" authentique ne pose aucun problème (on gagne bcp sur les élèves qui continueront les maths et on ne perd rien sur les autres qui disent: c'est trop abstrait pour moi). Statistiquement, le maniement pratique donne les mêmes résultats, voire meilleurs, sur les élèves en diffculté qui ne sont pas plus aidés par l'entourloupe circulaire "une fonction c'est quand on calcule en fonction de" dont, à défaut que ce soit conscient, l'inconscient des élèves perçoit qu'une telle définition est circulaire et inapplicable.
De plus (2) suffit à condamner toute "sorcellerie. J'avoue que je suis fasciné tant en général les profs ne sont pas si "fermés", même si parfois un peu butés, quand on leur fait remarquer leurs erreurs de maths qu'ils font consécutivement à une volonté de pédagogisme. Ce thème est une exception et comme je l'ai expliqué, il me semble que l'explication tient au fait qu'eux-même ont été "floués" assez tôt de la notion de fonction et ont lgtps gaspillé des efforts nuisibles à essayer de construire eux-même cette notion dont l'école les privait. Quand enfin (et tardivement) ils accèdent à la définition mathématique officielle (qui même si elle est abstraite, et relativement courte et formelle) ils n'en "croient que mal leurs yeux" et s'étaient édifiés dans une croyance qu'elle n'existait pas et que la notion était première. C'est tjs un peu dur de s'apercevoir qu'on "était passé à côté d'un truc" et explique surement les réticences.
Pour autant, je ne vois pas l'utilité de prolonger un fléau quand il n'a pas lieu d'être: il y a des notions bcp plus difficiles en maths au collège-lycée pour ne pas perdre du temps dans de la vexation inutile à vouloir transmettre une erreur, sous prétexte qu'on en a soi-même été victime (voir le serpent de mer, le fil sur le sujet où moult intervenants s'étaient un peu "ridiculisés").
D'autant que la situation étant devenue d'une médiocrité qu'on sait en termes d'enseignement des maths (voire débats programmes de 2nde) et EN PARTICULIER la notion de fonction étant complètement RATEE par l'enseignement (si elle ne l'était pas, encore pourrais-je comprendre les tentations irrationnelles de donner une "fausse" définition) puisqu'un grosse part des programmes de lycée repose dessus, je ne vois pas du tout pourquoi ce réflexe de vouloir continuer dans l'échec manifeste à procéder de même: en effet, "on ne change peut-être pas une équipe qui gagne", mais quand 99 pour cents des gens l'enseignent de manière erronée, avec face à elle une définition officielle totalement banale jamais utilisée et que 80pour cents des élèves réagissent mal à cette manière, je ne vois pas quel critère pédagogique autre peut justifier de continuer.
La simplicité me semble être de mise: falsifier une définition officielle en prétendant que c'est dans un but pédagogique doit être au moins sanctionné par un succès. Sinon, autant prendre la def officielle et basta. Les maths ne sont pas toujours "faciles".
Vas-y essaies d'écrire un texte raté pour ce seul motif, tu verras...
On a déjà eu l'occasion de débattre de ta façon de présenter les choses, comme si tu était un prophète, le héraut des mathématiques, ou bien, et ceux à qui tu parles peuvent le sentir ainsi, si tu étais le seul à être intelligent. Je te signale qu'après une période où j'ai beaucoup apprécié tes interventions, je ressens que tu redeviens le Christophe que je ne supportais plus.
Pour t'expliquer, prenons ton expression "un mensonge", "mentir", ... A ton avis, comment quelqu'un qui utilise tous les jours une fonction comme un procédé (Et c'en est un, même si parfois, la seule façon de définir le procédé est ...la fonction) et très rarement comme un graphe peut-il recevoir ceci? Sans compter que le mot mensonge est à connotation morale.
Je crois que moins t'écouter écrire et plus essayer de comprendre le vécu des autres (y compris leur vécu mathématique, qui n'est pas le même que le tien, mais qui a sa valeur) te rendrait plus accessible, plus compréhensible.
Et tu éviterais de répéter 15 fois ton message de plus en plus long, mais toujours aussi incompréhensible par d'autres.
Très cordialement.
Il est vrai que ce sujet me tient à coeur, donc peut-être que la machine s'emballe. Mais par contre, mes mots sont, hélas, une affaire d'habitude qui ne s'est jamais améliorée.
Par mensonge, effectivement, je n'entends pas le côté "connotation morale" alors que les lecteurs l'y voient, donc c'est un défaut de mon texte puisque je ne me fais pas comprendre ce que je veux dire
Bon, je ne redédaille pas par contre, je veux juste dire que quand on enseigne un truc X et qu'on donne une définition de X qui n'est pas équivalente(1) à la définition mathématique du truc X c'est une autre étape franchie (qui consiste à avoir présenté un truc VRAIMENT différente de X) dans la stratégie pédagogique que celle(2) qui consiste à donner une définition équivalente, mais différente de la définition officielle (qui donne le truc X voulu, même si défini autrement).
Et comme sur le terrain il m'a semblé voir les effets négatifs l'emporter j'y suis sensible.
Quel mot aurais-je pu utiliser à la place de "mensonge", par contre, et bien je vais chercher? D'un coup là, je ne vois pas "dire une chose fausse" par exemple n'est pas un verbe l'utilité du mot "mensonge" c'est qu'il y a un verbe "mentir" et on peut raccourcir.
Cependant je revendique mon droit à n'être pas toujours supportable, sympathique, etc -D
ne peut-on faire l'effort d'oublier parfois la forme et voir le fond. J'en suis franchement désolé de "ce ton", mais il m'aurait fallu probablement 4 à 5 fois plus de temps pour rédiger un truc avec le bon ton.
j'ai réagi vivement à une phrase précise de plusieurs intevrenants, parlant eux-mêmes, comme si telle affaire était entendue: ils ont dit (comme sur l'autre fil où j'avais eu du mal à me faire entendre).
pour éviter l'écueil qu'une fonction soit confondue avec son graphe (ie l'ensemble des couples (x,y) tels que)
Comme cette phrase réflexe émanait de plusieurs, et surtout de profs, j'ai "haussé" bien maladroitement le ton avec tous les défauts qui vont avec, mais ce n'était pas méchant, c'était pour BIEN INSISTER sur le fait qu'une fonction est bien EGALE A SON GRAPHE (je ne parle même pas du triplet, je vais pousser lol) et ainsi répondre à une assertion CONTRAIRE énoncée par des profs
S'en est suivi des argumentations pédagogiques, des uns et des autres, visant plus ou moins à justifer que ce ne serait peut-être pas si idiot, pour des raisons pédagogiques de maintenir l'assertion fausse annoncée aux élèves qu'une fonction est différente de son graphe.
N'est-il pas un peu important, sur un forum de maths que parfois le "ton monte" avec ses dégats collatéraux, quand est en controverse une opposition (noble) entre pédagogie et maths où la pédagogie revendique (ce qui est encore somme toute rare, en tout cas ici) de dire "nonA" pour des raisons "heuristiques" alors que c'est "A" la vérité mathématique?
Quand on "oublie" une hypothèse, ou quand on fait un abus de langage, c'est une autre affaire, mais là, il s'agit d'un point de maths totalement limpide où la "pédagogie" revendique une position non pas d'oubli ou de raccourcis, mais carrément de négation d'un fait.
Ce n'était qu'un exemple, et du coup, tu passes à côté du fond du problème : Il y a d'autres pratiques des maths, la notion de fonction contient bien des significations que sa définition mathématique "pure" ne contient pas (la notion de "correspondance fonctionnelle", la notion d'évolution d'une variable guidée par celle d'une autre variable, en informatique la notion de procédure,.. j'en oublie sans doute).
J'ai appris les fonctions comme tu le dis avec "un mensonge", par l'idée de dépendance stricte de variable : y dépend de x de façon si stricte que chaque fois que je reprendrai la même valeur pour x j'obtiendrai un résultat identique pour y. Mais ensuite, quand j'ai découvert ta "définition officielle" de la fonction comme graphe, je n'ai eu aucun mal à retrouver ma notion et bien d'autres qui étaient apparues. J'ai aussi découvert à l'époque (mais c'est bien oublié) qu'on pouvait décider de prendre les fonctions comme objets de base pour définir le reste des mathématiques. Je pense que ce n'est que pour des raisons ontologiques que cette démarche (du début du XXième siècle) a été écartée : On aime bien avoir des objets mathématiques à "toucher".
L'un des arts du pédagogue est de ne pas se limiter à une définition, mais de permettre à ses élèves de voir des "niveaux de signification", de mettre en lien (intellectuels) les pratiques, de saisir la richesse des pensées différentes d'une même notation, ... rien n'est malsain si on fait progresser intellectuellement l'élève.
Là où je te rejoins : Chaque année, je présente les limites "avec les mains", ce qui ne m'empêche pas de présenter une définition mathématisée qu'on n'utilisera pas (99,9% de mes étudiants refuseraient de l'utiliser).
Cordialement
Malheureusement, dans les programmes scolaires, le mot graphe est utilisé pour désigner la "représentation graphique" (objet géométrique), la courbe.
Donc tu es monté sur tes grands chevaux pour rien, ce n'est qu'un problème de vocabulaire. Car je ne pense pas que pour toi, la fonction carrée (x --> x²) est une parabole.
Cordialement
Et j'ai dit pourquoi ça "m'inquiète" un peu: car dans ce cas il y a le risque d'oublier (je ne fais pas de procès d'intention, mais tu avoueras que c'est une crainte réaliste) de mettre l'EXTENSIONNALITE avec. En effet, l'inconvénient de la notion de fonction présentée comme notion première, c'est ça** (je pense principalement). Sinon, tout irait bien
** plus le côté arbitraire qui nécessite de fixer 2 symboles "vrai" et "faux"
Or justement, dans le même temps, plusieurs ont signalé ce soucis (si je traduis leurs interrogations) à leur manière.
Je "m'énervais" juste contre la démarche "ni notion première qu'on présente honnêtement, ni définition valable" et le tout avec des airs "comme si ça allait de soi', ie comme si les maths étaient construite sur un consensus humain, à la manière d'un art ou d'une religion.
Dans le post d'avant je t'ai dit ce qui "me choque", et ce n'est rien que ça: c'est un conflit entre 2 choses existantes. Ce n'est pas ni l'abus de langage, ni le côté approximatif, mais uniquement le fait qu'à un moment, la stratégie "abus de langage" sort en quelques sortes de ses limites acceptables parce qu'elle nie une affirmation qui existe à côté.
Pour moi, il y a une relative liberté de faire des abus de langage ou de ne pas définir précisément les choses, mais dans la limite où ça ne vient pas "effacer" ce qui est déjà défini AUTREMENT.
Ou alors, même ça à la rigueur, je veux bien, mais à condition (comme pour les mots de passe lol) de:
1) signaler qu'on CHANGE la définition officielle (en la rappelant)
2) qu'on va en donner UNE AUTRE, qui ne lui est PAS EQUIVALENTE
3) que la nouvelle SOIT UNE DEFINITION.
et bien je vais peut-être te surprendre, mais là j'avoue que c'est affaire personnelle:
certes, l'ensemble des couples (x,y) de réels tels que y=x² n'est pas une parabole tant qu'on n'a pas fait un petit topo sur la correspondance entre points du plan et couple de réels via le repérage
MAIS: si on (ce qui ne me choque pas) décide de dire que $\R^2$ est LE PLAN CANONIQUE, attitude qui au moins est respectable et sans ambiguité, et bien:
la fonction carré, dans ce cadre est bel et bien une parabole. Et ça pose bcp moins de problèmes dans la mesure où la convention qui fixerait le nom "plan canonique" n'aurait pas spécialement besoin d'être souvent bougée. Et ça ne m'empcèhe pas de militer pour de la vraie géométrie (comme je l'ai fait dans d'autres fils).
Je pense comprendre ta position générale, mais je pense que nous débattons sur un désaccord politique plus que mathématique:
les "procedure" et les "function" de l'informatique NE SONT PAS des fonctions, et ELLES ONT DES DEFINITIONS mathématiques parfaitement précises, et on pourrait même donner comme exercice de maths de prouver LA NON EQUIVALENCE entre les "fonctions" des maths et les "function" du pascal par exemple.
Je pense que tu défends une position consistant à dire que pédagogiquement, il peut être judicieux, selon toi, de déroger à ces non équivalences mathématiques en "faisant croire" (je ne trouve pas d'autres mots) aux étudiants ou élèves à une sorte "d'équivalence" pendant un temps, pour ENSUITE les informer de la non-équivalence (le tout pour des raisons heuristiques)
C'est un débat, mais je veux juste dire que ce n'est pas le même que celui consistant à "faire semblant" de faire exister des objets mathématiques qui ne sont pas définis par les maths. Là il s'agit d'autre chose: il s'agit de "cacher" une non-équivalence "provisoirement" avant de la révéler.
Ce débat nécessiterait de toute façon bien des développements, surtout à l'heure actuelle... Personnellement, je m'inscris dedans surtout parce que les démarches de ce genre*** peuvent être évaluées depuis quelques décennies et je les accuse d'être MANIFESTEMENT en situation d'échec (comme tu le dis assez toi-même d'ailleurs)
Si ce n'était pas un fiasco, je n'y mettrai pas autant de passion.
*** en un certain sens, on peut quand-même reconnaitre qu'elles sont plus qu'à l'honneur depuis au moins 1985-1990
En maths, une fonction est quasiment l'analogue d'un TABLEAU.
je ne peux pas continuer.
Tu es dans le mode péremptoire, tu dénies aux autres le droit à une pensée indépendante, tu traduits dans ton vocabulaire les paroles des autres sans les accepter pour autres que ta pensée. J'ai déjà abandonné un autre débat (celui qui parlait récemment de religion) parce que je n'accepte pas qu'on me dise : "tu penses cela", même quand je dis le contraire.
Tu ne m'as même pas lu (faut-il que moi aussi je crie ? Avec des gras, du rouge ou des majuscules). Je te disais que la notion de fonction est plurielle, tu ne l'as même pas entendu. Tu as une (seule) notion de fonction, pas moi. Les maths ne sont pas une religion révélée, tu n'en es pas un prêtre.
D'ailleurs, je n'obéis pas aux prêtres.
Désolé pour toi.
Gérard
Hippocrate dit oui, c'est des crêtes de coq
Et Gallien répond, non, c'est des gonocoques.
Pour le reste, je te trouve dur: je n'ai pas été si concis, j'ai pas mal développé. Bien entendu, on peut (je ne dénie aucun droit) toujours donner les définitions qu'on veut, je ne voulais pas donner l'impression de vouloir imposer une "dictature" (et même je pense que ça va de soi, enfin franchement... ). Mais simplement, faire des distinctions entre diverses définitions comment dire "déjà publiées" par "l'académie des sciences" ou par Boubaki, mais ça ne sous-entend nullement que ce sont "des définitions de droit divin", simplement elles existent, et ça sucite discussion et "oppositions" (ce qui ne serait pas le cas si elles n'existaient pas).
C'est dommage que tu prennes mal des maladresses de communication, car, si elles sont réelles chez moi, je rentre dans quand-même bcp de détails pour essayer de ne pas laisser d'ambiguité. Lors de plusieurs posts, j'ai précisé "OK, pour changer la définition, etc" et expliquer mon point de vue (qui n'est qu'un point de vue!).
Je trouve un peu injuste de me dire que je t'attribue des pensées (à part le dernier post, mais c'était plutôt une question)
EDIT-PS: bien sûr que si j'ai bien lu que tu la pensais "pluriel", et justement j'ai répondu à ça, car non seulement "plurielle", mais surtout plurielle aussi au sens plusieurs notions non équivalentes.
Je me rends !
Alea : Bien trouvé !
Christophe : je continuerai, non pas cette discussion qui, dans l'état, ne va nulle part, mais à intervenir sur tes interventions ailleurs.
Cordialement
Quand une fonction est définie sur l'ensemble de patates douces transalpines, est-elle égale à son graphe ?
Les graphes et courbes des fonctions $\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R},\ x \longmapsto x^2$ et $\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^2$ sont-ils égaux ?
Et pour $x \longmapsto \frac{1}{x}$ définie sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{R}^*$ ?
Désolé si tu as déjà répondu, j'aimerais avoir ton point de vue là-dessus.
Les précisions supplémentaires sont dites en français, ou via des conventions généralement.
Le domaine de la fonction est l'ensemble des abscisses des couples qu'elle contient. Et son image est l'ensemble des ordonnées des couples qu'elle contient.
L'abscisse du couple (x,y) est x et son ordonnée est y.
Ensuite, si tu veux parler dans un contexte conventionnel autre que les maths (un cours, de la pédagogie, que sais-je), il t'appartient de préciser par toi-même ce que tu veux.
Par exemple, la donnée d'un triplet $(D,A,f)$ où $f$ est une fonction (au sens ci-dessus) et $D$ contient le domaine de $f$ et $A$ contient son image est aussi appelé "fonction de $D$ dans $A$" (mais alors on précise "de .. dans.."), et quand $D$ est exactement le domaine de $f$, ce triplet est appelé "application de $D$ dans $A$"
Il est assez rare que soit fait usage de ces notations quand $D$ ne contient pas $dom(f)$ (ou alors on la "coupe" lol)
Ca n'y est plus, mais pendant un temps, il y avait un bug dans les programmes des lycées, les gens parlaient "d'ensembles de définition" (ce qui n'a mathématiquement pas de sens), et pire, demandaient aux élèves de "le chercher...."
Autrement dit, ça consistait à demander de répondre à une question qui n'était pas posée. C'était dû à une confusion, assez répandue consistant à utiliser le verbe "exister", de la même manière que dans la preuve erronée de l'existence de Dieu célèbre "Dieu existe forcément sinon, il aurait le défaut de ne pas exister, or Dieu n'a pas de défaut" (étant admis que ne pas exister est un défaut, et que Dieu n'en a pas)
A comparer avec "il y a des solutions à l'équation ($x=2$ et $x=3$), car si $x=2$, x existe forcément, puisque 2existe, donc un $x$ tel que $x=2$ et $x=3$", étant en particulier égal à 2 ne peut pas ne pas exister
"Exister" en maths est un quantificateur et non un verbe.
>
> Ca n'y est plus, mais pendant un temps, il y avait
> un bug dans les programmes des lycées, les gens
> parlaient "d'ensembles de définition" (ce qui n'a
> mathématiquement pas de sens), et pire,
> demandaient aux élèves de "le chercher...."
Je ne comprend pas ce que tu veux dire, ou tout mes bouquins de maths contiennent le même bug ??
Par exemple, on peut demander quel est le domaine de l'ensemble des couples $(x,y)\in \R ^2$ tels que $xy=1$; mais ce n'est jamais formulé ainsi.. La notation en usage est $x\to 1/x$ qui est ambigue, puisqu'elle ne désigne que "vaguement" un ensemble de couples, et les gens, dans le doute considère cette abus de langage comme voulant dire "ensemble de couples maximal pour l'inclusion pour lequel la notation a un sens", mais autant dans des contexte pédago scolaires on peut controler (subjectivement) l'usage de la notation, autant, mathématiquement, (par exemple, avec les fonctions holomorphes) l'ordre "inclusion" n'étant pas total, maximal ne veut plus dire "maximum", et il y a ambiguité.
Par ailleurs (pour la raison mentionnée ci-dessu) l'utilisation de "quand 1/x" existe est invalide et mène à des contradictions.
En effet, (c'est devenu d'ailleurs très connu en correspondance de Curry Howard) confondre un "nom" et sa valeur est la pire des confusion logiques car un "nom" est un pointeur de type $A\to faux$ alors que la valeur a le type $A$ (on ne peut imaginer pire conflit, qu'entre A et $A\to faux$
En pascal par exemple, cette erreur correspond à la confusion entre passer un paramètre par valeur ou par référence.
En toute "sanité", un paramètre var ne devrait être utilisé qu'en écriture seule alors qu'un paramètre passer par valeur ne devrait l'être qu'un lecture seule.
"L'existence" de "1/x" correspond à une utilisation de "x" comme paramètre var, ie elle concerne non pas la valeur de x, mais la lettre x (ou plutôt l'expression "1/x", en tant qu'expression).
C'est donc hyperambitieux (et en fait idiot, car même les profs ne "comprennent" pas vraiment ce qui se passe) de jouer avec des "quand est-ce que ceci ou cela existe?" (et c'est d'ailleurs de la pure paresse, pour ne pas poser "bien" les questions sous-jacentes)
Typiquement un raisonnement par l'absurde consiste à prouver qu'en supposant $A\to tout$ on déduit $A$.
on déclare alors une variable de type $A\to tout$, qui joue le rôle de "exit" en fait elle est un pointeur sur une adresse (quelque part, mais on ne sait où) de type A.
Elle sert de "chèque sans provision" pour attraper un "bandit". La preuve donne un programme qui utilise cette variable comme si c'était l'hypothèse $A\to tout$ et donc "réalise $A$.
On lance le programme, il tourne, il tourne et au bout d'une moment, s'affiche à l'écran la valeur du $A$ qu'on cherche.
Qu'est-ce qui s'est passé?
Et bien ou bien le programme n'a jamais eu à utiliser le pointeur $A\to tout$, parce que les données entrées l'ont détourné vers un calcul effectif de $A$, ou bien la variable de type $A\to tout$ a été appelée par le programme qui croyait pouvoir s'en servir. Le protocole exigeait alors que ce programme pour "encaisser" le chèque présente d'abord un "patte blanche" p de type A (afin de pouvoir le passer en argument du $A\to tout$ qu'il appelait. La variable pointeur, au lieu de donner satisfaction au programme l'a "buté" de force, et lui a dérobé p pour l'afficher à l'écran.
Une autre manière de le dire, si tu sais un peu programmer, c'est que quand je te donne un pointeur qui pointe sur une adresse de type A, tu ne peux rien en faire d'autre que t'en servir pour "écrire" une valeur de type A que tu as déjà.
Est-ce qu'une bonne âme pourrait poster un scan de la définition d'une fonction figurant dans le manuel Dimathème 3e (édition 2008),
C'est dans le chapitre 7, page 104 et suivantes.
Merci d'avance.
e.v.
A propos, le schéma qui figure dans la définition me fait rappeler que l'an passé en cinquième, j'expliquais une propriété comme une machine qui transforme une condition en une conclusion. Ca craint ?
S
Dès l'école primaire on trouve les mêmes suggestions du genre:
"a+3=10"
ba, maitresse, a c'est 7 car 7+3=10
bravo Tony, c'est bien
Et quelques années plus tard, Tony "confond" (fait exprès de) allègrement A-->B et B-->A, mais jamais on ira avouer que son cerveau aurait enregistré des années durant que les matheux "semblent" encourager à les confondre (contre toute logique)
pourquoi exprimer cette tristesse? Parce que je ne sais pas distinguer proposition de propriété ?
S
J'avais dix ans et j'étais en sixième. Nous travaillions alors en mathématiques sur les relations entre ensembles : flèches, ensembles de départ et d'arrivée... Après quelques séances de travail, l'enseignante nous demanda: "Eh bien, maintenant, pouvez-vous me dire ce qu'est une relation?" Elle voulait bien sûr parler d'une relation entre ensembles, un de ces objets mathématiques que nous étions en train d'étudier. J'ai répondu "C'est un lien." Alors elle a pris un foulard qu'elle portait autour du cou, et elle a dit en souriant: "Ca aussi c'est un lien mais ce n'est pas une relation." Puis tranquillement: "Une relation, c'est la donnée d'un ensemble de départ, d'un ensemble d'arrivée, et d'un graphe".
Je n'ai jamais oublié cette scène [...].
Extrait de l'introduction par Jean Tardieu du livre "Les mathématiques, dans l'ensemble" de Yasmina Liassine
je donne la suite si vous le souhaitez,
S
Tu peux constater qu'il n'y a guère de différence entre la "définition" du manuel et la mienne. Procédé vs processus.
Gageons que l'inspection va mettre cet ouvrage à l'index.
e.v.
M'dame, c'est quoi une fonction ?
Cordialement
Ton collègue de sciences naturelles définit - il ce qu'est une grenouille ou un homme ? Celui de géographie définit - il ce qu'est un pays ? Et le prof de français évite désormais de définir ce qu'est un substantif.
Cordialement
A mes 2nde je donne la définition suivante (après moult exemples en exercice : fonctions affines, définies par un graphique, définie par une formule) :
Définition :
Pour définir une fonction f, on se donne d'abord une partie de R, notée Df.
La fonction f associe, à tout nombre x appartenant à Df, un unique nombre que l'on note f(x).
[Oralement : une fonction est donc définie par "ce qu'elle fait", et non "ce qu'elle est"]
ça serait bien pratique pour définir un homme-grenouille.
amicalement,
e.v.
Merci Rebellin, ça m'a donné une idée...
Un truc que je n'ai peut-être pas dit (mais qui allait de soi) est que c'est après avoir bcp cherché, sans trouver, que les meilleurs mathématiciens ont fini par se rabattre sur la définition officielle (qui "déplait").
S'ils avaient pu faire autrement, il est probable qu'ils l'auraient fait. Peut-on considérer alors que "faire autrement" est un problème ouvert?
En fait, non...
Théorème
toutes les définitions correctes du mot "fonction" sont équivalentes à la définition officielle.
preuve
On ne définit, donc, bien sûr pas ici la notion de fonction, mais le minimum qu'on en attend. On utilise le terme "fonction2" pour la notion "désirée" et le terme "fonction" pour la notion officielle (celle que j'ai rappelée)
Soit $T $ l'ensemble des fonction2s dont le domaine est $E$ et à valeurs dans $F$.
Soit $W$ l'ensemble des fonctions (au sens officiel, donc bien défini) dont le domaine est $E$ et à valeurs dans $ F$.
On suppose qu'il y a un élément $g$ de $T$ qui n'est pas dans $W$ en un sens important, ie que pour chaque $f\in W$, il existe un élément $a(f)\in E$ tel que l'unique couple $(a(f);b)\in f$ d'abscisse $ a(f)$ et tel que.$g\big(a(f)\big) \neq b$
On s'intéresse alors à l'ensemble $K$ des couples $(x,y)$ tel que pour tout $f \in W$; si $a(f)=x$ alors $(x,y) \notin f$
Soit, si c'est possible une fonction $f\in W$ incluse dans $ K$, et regardons le couple $(x;y)$ de $f$ tel que $ x:=a(f)$
On obtient une contradiction : il s'ensuit qu'il existe $x \in E$ tel que $\forall y\in E g(x)\neq y$
Le même raisonnement, en interchangeable $W$ et $T$ donne une identification entre les 2.
Le seul moyen donc, de trouver une définition "autre" serait qu'elle entre en contradiction avec l'axiome attendu pour les fonctions : "si $\forall x : f(x)=g(x)$ alors $f=g$, or il est justement crucial dans toutes les maths (et porte le nom d'extensionnalité).