AX-XA=A

jonattan

Bonjour
A une matrice nilpotente de M(n,R)

Comment démontrer qu'il existe une matrice X de M(n,R) telle que

AX - XA = A

Merci.

john_john0

Jonattan$>$
Il y a une méthode brillantissime dans les bouquins d'algèbre de Mneimné. Je la résume sous forme d'exercice :

1. $(X,Y)\mapsto\mathrm{tr}(MN)$ est une forme bilinéaire non dégénérée sur $M_n(\R)$.
2. Si on note $ad$ l'endo de $M_n(\R)$ qui à $X$ associe $AX-XA$, alors le noyau et l'image sont orthogonaux pour cette forme (propriétés classiques de la trace).
3. Pour montrer que $A\in\mathrm{im}(ad)$, il suffit de montrer qu'elle est orthogonale au noyau, càd que si $M$ commute à $A$, alors $AM$ est de trace nulle ; or, cette matrice est nilpotente aussi.

Bon courage, j__j

Coucoubernard

Ou bien penser à Jacobson-Morosov...
Bonne journée

jonattan

merci pour ta réponse John John
Je me demande s'il y a un moyen de montrer l'existence de X sans passer par l'algèbre bilinéaire.

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Merci pour ta réponse coucoubernard
c'est quoi Jacobson-Morosov ?

John-John

Bonsoir, Jonattan,
sans algèbre bilinéaire ? Sans doute en jordanisant $A$ et en cherchant $X$ diagonale par blocs de mêmes tailles respectives. Cela revient donc à étudier le problème pour chaque bloc de Jordan.

Cordialement, j__j

Coucoubernard

Si A=J_n le bloc de Jordan plein
alors X peut être choisie diagonale et à coeff entiers.
Le th de J-M a rapport avec les sl2 triplets

Coucoubernard

plutôt A=J/2

Milas

 Bonjour
Je propose qu'on recherche des solutions pour cet exercice 
Si A est nilpotente alors il existe une matrice X tel que    AX-XA=A

Math Coss

J'ai trouvé une solution en suivant les indications de @john_john d'après Mneimné.

On peut aussi utiliser la réduction de Jordan, ce qui réduit le problème à un bloc de Jordan, pour lequel on se débrouille (indication : on peut prendre $X$ diagonale).

[Utilisateur supprimé]

tiens un crochet de Lie.

Milas

Oui math coss
Cette même démonstration était utilisé dans le sujet mines ponts mp1 année 2011
L'auteur de sujet l'a pris peut-être du livre de Rached Mneimne

john_john

À propos de ce sujet des ponts, je ne sais pas s'il s'agit d'une étourderie de l'auteur du sujet ou d'une volonté de tester les candidats, mais il faisait établir la réduction de Jordan avec des $1$ sous la diagonale alors que, pour la suite, ils devaient se trouver au-dessus. Je préfère penser qu'il s'agit d'une étourderie (honte au cobaye, dans ce cas  )

Une remarque pédago(go)gique en prime : j'ai remarqué que beaucoup d'élèves croient que, lorsque l'on inverse le sens de lecture d'une base, la matrice d'un endomorphisme se transpose ! lorsqu'il s'agit de blocs de Jordan, c'est sans conséquence.

Milas

Bonjour john_john
Dans ce sujet ponts 2011 il n' y a pas de reduction de Jordan ,
On parle de même sujet?

john_john

Bonjour, Milas,
tu as raison : seule la décomposition de Dunford est requise ; c'est en 2014 que se situe l'étourderie.
Au temps pour moi...

Milas

Bonjour john_john
Je vois ce que tu veux dire mais je pense que l'auteur de sujet cherché à testé les étudiants sur une question très classique et donc ce n'est pas une étourderie de sa part.
En fait comme le sujet de 2011 l'auteur a pris le résultat de son sujet dans le livre de Rached Mneimne 

john_john

Je veux bien, mais je trouve cela un peu futile...